1、2020 年高考数学二模试卷（理科）年高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 AxZ|x1，Bx|x22，则 AB（ ） Ax|1x2 B C1，0，1 D0，1 2已知复数 z 满足 z（3i）10，则 z（ ） A3i B3+i C3i D3+i 3已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 ， ，则 a1（ ） A B1 C D2 4已知 P（2，2）为抛物线 C：y22px（p0）上一点，抛物线 C 的焦点为 F，则|PF| （ ） A2 B C3 D 5将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 f（x），则函数 的图 象大致为（ ） A B C D 6已知
2、0ab1，则下列结论正确的是（ ） Ababb Babbb Caaab Dbaaa 7若 425+a（aR）能被 9 整除，则|a|的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 8第 41 届世界博览会于 2010 年月 1 日至 10 月 31 日，在中国上海举行，气势磅礴的中国 馆一一“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百 姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱它 有四根高 33.3 米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为 60.3 米，上方的“斗冠”类似 一个倒置的正四棱台，上底面边长是 139.4 米，下底面边长是 69.9
3、米，则“斗冠”的侧 面与上底面的夹角约为（ ） A20 B28 C38 D48 9 已知双曲线 E： ， 0） 的左右焦点分别为 F1， F2， 以原点 O 为圆心， |OF1|为半径的圆与双曲线 E 的右支相交于 A，B 两点，若四边形 AOBF2为菱形，则双 曲线 E 的离心率为（ ） A B C D 10算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以 梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一算珠梁上部分叫上珠，梁下部分 叫下珠例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字 65若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择
4、两个档位各拨一颗下 珠，则所拨数字大于 200 的概率为（ ） A B C D 11现有边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形及半径为 1 的圆各一个，在水平桌面上 无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为 l1，l2，l3，l4，则（ ） Al1l2l3l4 Bl1l2l3l4 Cl1l2l3l4 Dl1l2l3l4 12已知函数 f（x）xlnx1，g（x）ln|x|，F（x）fg（x），G（x）gf（x）， 给出以下四个命题： yF（x）为偶函数；yG（x）为偶函数；yF（x）的最小值为 0；yG（x） 有两个零点其中真命题的是（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题，每
5、小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 ， 满足| |1，| |2， （ ），则向量 ， 夹角的大小为 14设 x，y 满足约束条件 ，则 z3x2y 的最大值是 15如图，在一个底面边长为 2，侧棱长为 的正四棱锥 PABCD 中，大球 O1内切于该 四棱锥，小球 O2与大球 O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球 O2的体积为 16 已知单调数列an的前 n 项和为 Sn， 若 Sn+Sn+1n2+n， 则首项 a1的取值范围是 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 abc 已知 sinAcosBcos
6、CsinB sin2BsinA （）求证：a，b，c 成等差数列； （）若 b5， ，求 a，c 的值 18 如图所示的几何体 ABCA1B1C1中， 四边形 ABB1A1是长方形， 四边形 BCC1B1是梯形， B1C1BC，且 ， ，平面 ABB1A1平面 ABC （）求证：平面 A1CC1平面 BCC1B1； （）若CAB120，二面角 CA1C1B1为 120，求 的值 19在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，左右焦点 分别为 F1，F2，过 F1且 斜率不为 0 的直线 1 与椭圆 C 交于 A，B 两点，AF1，BF1的中点分别为 E，F，OEF 的
7、 周长为 2 （）求椭圆 C 的标准方程； （）设ABF2的重心为 G，若|OG| ，求直线 l 的方程 20已知函数 f（x）xlnx+x2ax（aR） （）若 a3，求 f（x）的单调性和极值； （）若函数 至少有 1 个零点，求 a 的取值范围 21羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢 方得 1 分且获得发球权每一局中，获胜规则如下：率先得到 21 分的一方贏得该局比 赛；如果双方得分出现 20：20，需要领先对方 2 分才算该局获胜；如果双方得分出 现 29：29，先取得 30 分的一方该局获胜现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争 夺中，若甲
8、发球时，甲得分的概率为 p；乙发球时，甲得分的概率为 q （）若 ，记“甲以 21：i（i19，iN）赢一局”的概率为 P（Ai），试比较 P（A9）与 P（A10）的大小； （） 根据对以往甲、 乙两名运动员的比赛进行数据分析， 得到如22列联表部分数据 若 不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为 p，q 的值 甲得分 乙得分 总计 甲发球 50 100 乙发球 60 90 总计 190 完成 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？ 已知在某局比赛中，双方战成 27：27，且轮到乙发球，记双方再战 X 回合此局比赛结 束，求 X 的分
9、布列与期望 参考公式： ，其中 na+b+c+d 临界值表供参考： P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标 系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 E 的参数方程为 （ 为参数），以 O 为极 点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l1，l2的极坐标方程分别为 0， 0 ， ，l1交曲线 E 于点 A，B，l2交曲线 E 于点 C，D （）求曲线 E 的普通方程及极坐标方程； （）求|BC|2
10、+|AD|2的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 的最大值为 m （）求 m 的值； （）若 a，b，c 为正数，且 a+b+cm，求证： 参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 AxZ|x1，Bx|x22，则 AB（ ） Ax|1x2 B C1，0，1 D0，1 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 AxZ|x1， Bx|x22x| ， AB1，0，1 故选：C 2已知复数 z 满足 z（3i）10，则 z（ ） A3i B3+i C3i D3+i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由 z（3
11、i）10，得 z 故选：D 3已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 ， ，则 a1（ ） A B1 C D2 【分析】 根据题意， 分析可得 a2+a4 5， 由等比数列的性质可得 q 2， 据此可得 a1+a3a1+4a1 ，解可得答案 解：根据题意，等比数列an 中， ， ，则 a2+a4 5， 则有 q 2， 又由 a1+a3a1+4a1 ，解可得 a1 ； 故选：A 4已知 P（2，2）为抛物线 C：y22px（p0）上一点，抛物线 C 的焦点为 F，则|PF| （ ） A2 B C3 D 【分析】求出抛物线方程，得到焦点坐标，然后求解即可 解：P（2，2）为抛物线 C：y22p
12、x（p0）上一点， 可得 p1，所以 F（ ，0）， 则|PF|2 故选：B 5将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 f（x），则函数 的图 象大致为（ ） A B C D 【分析】先根据三角函数图象的变换法则求出 f（x）2sin2x，进而求得 的 解析式，再根据解析式的奇偶性及函数值的正负确定函数图象即可 解：将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 ， 故 ， ，易知函数 为奇函数，其 图象关于原点对称，可排除 BC； 又 ， ，可排除 A 故选：D 6已知 0ab1，则下列结论正确的是（ ） Ababb Babbb Caaab Dbaaa 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性求解 解：
13、对于选项 A：由指数函数 ybx（0b1）为减函数，且 ab，所以 babb，故选 项 A 错误； 对于选项 B：由幂函数 yxb（0b1）在（0，+）上为增函数，且 ab，所以 ab bb，故选项 B 正确； 对于选项 C：由指数函数 yax（0a1）为减函数，且 ab，所以 aaab，故选项 C 错误； 对于选项 D：由幂函数 yxa（0a1）在（0，+）上为增函数，且 ab，所以 aa ba，故选项 D 错误； 故选：B 7若 425+a（aR）能被 9 整除，则|a|的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】 根据 425+a （3+1） 25+a 3 25 3 24 3 23
14、 3 2 3 1 a； 研究最后三项即可求解结论 解： 因为 425+a （3+1） 25+a 325 324 323 32 31 a； （ 325 324 323 32）可提公因式 329； 故只需： 31 a76+a 能被 9 整除； a4 时， 31 a76+a 能被 9 整除且|a|最小值； 故|a|的最小值为：4 故选：B 8第 41 届世界博览会于 2010 年月 1 日至 10 月 31 日，在中国上海举行，气势磅礴的中国 馆一一“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百 姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱它 有四根
15、高 33.3 米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为 60.3 米，上方的“斗冠”类似 一个倒置的正四棱台，上底面边长是 139.4 米，下底面边长是 69.9 米，则“斗冠”的侧 面与上底面的夹角约为（ ） A20 B28 C38 D48 【分析】求出“斗冠”的高为 60.333.327 米，作出直观图，得 PE27，ME （MN EF） ，PME 为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，由此能求出“斗冠”的侧面 与上底面的夹角 解：依题意得“斗冠”的高为 60.333.327 米，如图，PE27， ME （MNEF） ， PME 为“斗冠”的侧面与上底面的夹角， tan 0.78 tan30 ，t
16、an451， 0.580.781，30PME45， 故选：C 9 已知双曲线 E： ， 0） 的左右焦点分别为 F1， F2， 以原点 O 为圆心， |OF1|为半径的圆与双曲线 E 的右支相交于 A，B 两点，若四边形 AOBF2为菱形，则双 曲线 E 的离心率为（ ） A B C D 【分析】通过四边形 AOBF2为菱形，求出 A 的坐标，代入双曲线方程，列出关系式，然 后求解双曲线的离心率即可 解：双曲线 E： ， 0）的左右焦点分别为 F1，F2，以原点 O 为圆心， |OF1|为半径的圆，与双曲线 E 的右支相交于 A，B 两点，若四边形 AOBF2为菱形， 可得：A（ ， ），代入
17、双曲线方程可得： ， 可得： ，e1，解得 e 故选：A 10算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以 梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一算珠梁上部分叫上珠，梁下部分 叫下珠例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字 65若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下 珠，则所拨数字大于 200 的概率为（ ） A B C D 【分析】所拨数字共有 n 24，所拨数字大于 200 包含两种上珠拨的是千位档 或百位档，有 种，上珠拨的是个位档或十位档，则有 6 种，所拨数 字大于 200 包含的基
18、本事件有 m12+618 种，由此能求出所拨数字大于 200 的概率 解：在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠， 再随机选择两个档位各拨一颗下珠， 依题意得所拨数字共有 n 24， 所拨数字大于 200 包含两种情况： 上珠拨的是千位档或百位档，有 种， 上珠拨的是个位档或十位档，则有 6 种， 所拨数字大于 200 包含的基本事件有 m12+618 种， 则所拨数字大于 200 的概率为 p 故选：D 11现有边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形及半径为 1 的圆各一个，在水平桌面上 无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为 l1，l2，l3，l4，则（ ） Al1l2l3l4
19、 Bl1l2l3l4 Cl1l2l3l4 Dl1l2l3l4 【分析】由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为 2 的弧长，设半径 分别为 r1，r2，r3，r4，则半径为中心与顶点的距离，由正方形、正五边形、正六边形得 几何特征可知 ，r1r21，r3r41，再利用弧长公式即可得到 l 1l2l3l4 解：由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为 2 的弧长， 设半径分别为 r1，r2，r3，r4，由题意可知，半径为中心与顶点的距离， 又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为 1，圆的半径为 1， 对于正方形，如图所示：，AOB90， ； 对于正五边形，如图所示：，
20、AOB7290，OABOBA 5472，r1r21； 对于正六边形， 如图所示：， AOB60， AOB 为等边三角形， r3OA1； 而 r41， 又因为 l12 r1，l22 r2，l32 r3，l42 r4， 所以 l1l2l3l4， 故选：B 12已知函数 f（x）xlnx1，g（x）ln|x|，F（x）fg（x），G（x）gf（x）， 给出以下四个命题： yF（x）为偶函数；yG（x）为偶函数；yF（x）的最小值为 0；yG（x） 有两个零点其中真命题的是（ ） A B C D 【分析】首先利用函数的奇偶性的判定函数 F（x）为偶函数，进一步利用函数的导数求 出函数的单调区间和函数的
21、最值，进一步利用函数的图象求出函数的交点的个数从而 确定出结果 解：函数 f（x）xlnx1，g（x）ln|x|，F（x）fg（x），G（x）gf（x）， 所以F（x）ln|x|ln（ln|x|）1，由于 x（，0）（0，+），且 F（x） F（x），所以函数 yF（x）为偶函数故正确 G（x）gf（x）ln|xlnx1|，由于 x（0，+）函数的定义域不关于原点对称， 所以函数 yG（x）不为偶函数，故错误 由于函数为偶函数，所以当 x0 时，F（x）lnxln（lnx）1，所以 F（x） 由于 x0，所以当 xe 时，F（x）0， 所以 x（0，e）时函数为单调递减函数，x（e，+）时，函
22、数为单调递增函数，所以 xe 时，函数取的极小值，即最小值 F（e）lneln（lne）10， 故 yF（x）的最小值为 0，故正确 yG（x）有两个零点，即方程 G（x）0 由两个实数根， 即 G（x）ln|xlnx1|0，整理得 xlnx11 或 xlnx11 （1）x2lnx，在同一坐标系内画出函数的图象，令 k（x）x2，h（x）lnx， 如图所示： 当 xlnx11 时，即 xlnx设 k（x）x，h（x）lnx 如图所示： 所以函数的图象由两个交点，即 yG（x）有两个零点 故选：C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 ， 满足| |1，| |
23、2， （ ），则向量 ， 夹角的大小为 【分析】 运用向量垂直的条件， 即为数量积为 0， 再由向量的夹角公式计算即可得到夹角 解：| |1，| |2， （ ）， 则 （ ）0， 即有 0， 则 1， cos ， ， 由于 0 ， ， 则有向量 ， 夹角为 故答案为： 14设 x，y 满足约束条件 ，则 z3x2y 的最大值是 【分析】根据已知中的约束条件，先画出满足条件的可行域，进而求出可行域的各角点 的坐标，代入目标函数求出目标函数的值，比较后可得目标函数的最大值 解：x，y 满足约束条件 ，的可行区域如下图阴影所示； 目标函数 z3x2y，A（ ， ），B（0，2），C（2，2） zA
24、2 zB4 zC2 故目标函数 z3x2y 的最大值为 故答案为： 15如图，在一个底面边长为 2，侧棱长为 的正四棱锥 PABCD 中，大球 O1内切于该 四棱锥，小球 O2与大球 O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球 O2的体积为 【分析】设 O 为正方形 ABCD 的中心，AB 的中点为 M，连接 PM，OM，PO，则 OM 1PM 3，PO 2 ，如图，分别可求得大球 O1与小 球 O2半径分别为 和 ，进而可得小球的体积 解：设 O 为正方形 ABCD 的中心，AB 的中点为 M，连接 PM，OM，PO，则 OM1， PM 3，PO 2 ，如图，在截面 PMO 中，设 N 为 球 O1
25、与平面 PAB 的切点， 则 N 在 PM 上，且 O1NPM，设球 O1的半径为 R，则 O1NR， 因为 sinMPO ，所以 ，则 PO13R， POPO1+OO14R2 ，所以 R ， 设球 O1与球 O2相切与点 Q，则 PQPO2R2R，设球 O2的半径为 r， 同理可得 PQ4r，所以 r ， 故小球 O2的体积 V r 3 ， 故答案为： 16 已知单调数列an的前n项和为Sn， 若Sn+Sn+1n2+n， 则首项a1的取值范围是 （ ， ） 或（ ， ） 【分析】首先利用赋值法求出关系式，进一步利用数列的单调性的应用求出结果 解：根据题意单调数列an的前 n 项和为 Sn，若
26、 Sn+Sn+1n2+n， 当 n1 时，2a1+a22，整理得 a222a1 由于数列an单调， 所以当数列为单调递增数列时，a2a1，22a1a1，解得 当数列为单调递减数列时，a1a2，即 22a1a1，解得 故项 a1的取值范围是（ ， ）或（ ， ） 故答案为：（ ， ）或（ ， ） 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 abc 已知 sinAcosBcosCsinB sin2BsinA （）求证：a，b，c 成等差数列； （）若 b5， ，求 a，c 的值 【分析】（）由 A+B+C，所以 sin
27、Asin（B+C），再由两角和的正弦公式展开即 2 倍角公式可得 sinAcosB2sinBcosBsinCcosB， 再由题意 cosB0， 可得 2sinBsinA+sinC， 再由正弦定理可得 a，b，c 成等差数列； （）由（）及题意可得 a+c 的值，再由余弦定理可得 ac 的值，由 ac 可得 a，c 的 值 解：（） 证明： sinAcosBcosCsinBsin2BsinA2sinBcosBsinAsin2Bsin （B+C） ， 所以 sinAcosBcosCsinBsin2BsinBcosCcosBsinC， 整理可得 sinAcosB2sinBcosBsinCcosB，因
28、为 abc，所以 cosB0， 所以 sinA2sinBsinC，即 2sinBsinA+sinC， 由正弦定理可得 2ba+c， 即证 a，b，c 成等差数列 （）因为 sinB ，B 为锐角，所以 cosB ， 因为 b5，由（）可得 a+c10， 由余弦定理可得 b2a2+c22accosB（a+c）22ac2accosB， 所以 521022ac2ac ，即 ac21，a+c10，ac， 解得 a7，c3 18 如图所示的几何体 ABCA1B1C1中， 四边形 ABB1A1是长方形， 四边形 BCC1B1是梯形， B1C1BC，且 ， ，平面 ABB1A1平面 ABC （）求证：平面
29、A1CC1平面 BCC1B1； （）若CAB120，二面角 CA1C1B1为 120，求 的值 【分析】 （）取 BC 中点 D，连结 AD，C1D，推导出 ADBC， ，BD B1C1， A1C1BB1，从而 A1C1B1C1，进而 A1C1平面 BCC1B1，由此能证明平面 A1CC1平面 BCC1B1 （）推导出 AA1平面 ABC，以 A 为原点，在平面 ABC 中过 A 作 AB 的垂线为 x 轴， AB 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 的值 解：（）证明：取 BC 中点 D，连结 AD，C1D， 几何体 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1
30、是长方形，四边形 BCC1B1是梯形， B1C1BC，且 ， ，平面 ABB1A1平面 ABC ADBC， ，BD B1C1，A1C1BB1， A1C1B1C1，又 BB1B1C1B1，A1C1平面 BCC 1B1， A1C1平面 A1CC1，平面 A1CC1平面 BCC1B1 （）解：CAB120，平面 ABB1A1平面 ABC四边形 ABB1A1是正方形， AA1平面 ABC， 以 A 为原点，在平面 ABC 中过 A 作 AB 的垂线为 x 轴，AB 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立空 间直角坐标系， 设 AB1， ，则 AA1， C（ ， ，0），A1（0，0，），C1（ ， ，），
31、 （ ， ，）， （ ， ，0）， 设平面 A1CC1的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x1，得 （1， ， ）， 平面 A1B1C1的法向量 （0，0，1）， 二面角 CA1C1B1为 120， cos120| |， 解得 ， 19在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，左右焦点 分别为 F1，F2，过 F1且 斜率不为 0 的直线 1 与椭圆 C 交于 A，B 两点，AF1，BF1的中点分别为 E，F，OEF 的 周长为 2 （）求椭圆 C 的标准方程； （）设ABF2的重心为 G，若|OG| ，求直线 l 的方程 【分析】 （）连接 AF2，BF2，根据条
32、件可知|EF1 | |AF1|，|OE| |AF2|，|FF1 | |BF1|， |OF| |BF2|，则OEF 的周长为 （|AF 1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|）2a2 ，解出 a，结合 离心率可得 c，进而得到 b，即可求得椭圆方程； （）设直线方程为 xmy1，与椭圆方程联立可得（m2+2）y22my10，利用根 与系数关系可以表示出 G（ ， ），则|OG| ，解得 m 即 可 解：（）因为 e ，所以 a c，连接 AF2，BF2， 因为 E，O 分别为 AF1，F1F2的中点，所以|EF1 | |AF1|，|OE| |AF2|， 同理|FF1 | |BF1|，|OF|
33、|BF2|， 所以OEF 的周长为 （|AF 1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|）2a2 ， 则 a ，c1， 又 b2a2c2，所以 b1， 所以椭圆 C 的标准方程为 ； （）因为直线 l 过点 F1（1，0）且斜率不为 0，所以可设 l 的方程为 xmy1， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立 ，整理得（m 2+2）y22my10， 则 y1+y2 ，y1y2 ，所以 x1+x2m（y1+y2）2 ， 又因为 F2（1，0），所以 G（ ， ），即 G（ ， ）， 所以|OG| ， 令 ，解得 m ， 所以直线 l 的方程为 x y+10 或 x y+10 20已知函数
34、f（x）xlnx+x2ax（a一、选择题） （）若 a3，求 f（x）的单调性和极值； （）若函数 至少有 1 个零点，求 a 的取值范围 【分析】（）对原函数求导并求零点，再根据导数的单调性确定导数的符号，则问题 可迎刃而解； （）先两边同除以 x，并把 a 分离出来，然后研究与 a 相等的函数的单调性、极值（最 值）情况，即可使问题获解 解：（）由题意得 f（x）xlnx+x23x，（x0） f（x）lnx+2x2，显然 f（1）0且 ，f（x）是增函数 所以 0x1 时，f（x）0，f（x）递减；x1 时，f（x）0，f（x）递增 故 x1 时，f（x）取得极小值2，无极大值 （）由题意
35、得 xlnx+x2ax （x0）至少有一个根 两边同除以 x，并分离 a 得：alnx+x 令 g（x）lnx+x （x+1） ，显然只需研究 h（x）xex1 的符号 h（x）ex（x+1）0，故 h（x）是增函数 令 xex10 得 ，x0为 h（x）的零点 当 0xx0时，h（x）0，g（x）递减；xx0时，h（x）0，g（x）递增 故 g（x）ming（x0） 由得 ，两边取对数得 lnx0x0，代入式得：g（x0）1， 所以函数 g（x）的最小值为 1，显然 x+时，h（x）+ 所以要使原函数至少有一个零点，只需 a1 21羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在
36、每回合争夺中，赢 方得 1 分且获得发球权每一局中，获胜规则如下：率先得到 21 分的一方贏得该局比 赛；如果双方得分出现 20：20，需要领先对方 2 分才算该局获胜；如果双方得分出 现 29：29，先取得 30 分的一方该局获胜现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争 夺中，若甲发球时，甲得分的概率为 p；乙发球时，甲得分的概率为 q （）若 ，记“甲以 21：i（i19，iN）赢一局”的概率为 P（Ai），试比较 P（A9）与 P（A10）的大小； （） 根据对以往甲、 乙两名运动员的比赛进行数据分析， 得到如22列联表部分数据 若 不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的
37、频率作为 p，q 的值 甲得分 乙得分 总计 甲发球 50 100 乙发球 60 90 总计 190 完成 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？ 已知在某局比赛中，双方战成 27：27，且轮到乙发球，记双方再战 X 回合此局比赛结 束，求 X 的分布列与期望 参考公式： ，其中 na+b+c+d 临界值表供参考： P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 【分析】（）由于甲以 21：i（i19，iN）获胜，则在这 21+i 个回合的争夺中，前 20+i 个回合里，甲赢
38、下 20 个回合，输掉 i 个回合，且最后一个回合必须获胜然后以独 立重复事件的概率写出 P（Ai），从而得到 P（A9）和 P（A10），再比较大小即可； （）由表格中的数据补充完整 22 列联表，根据 K2的公式计算出观测值，并与附 录中的参考值进行对比即可作出判断； 先根据 22 列联表求出 p 和 q 的值，再确定比赛结束时，比分可能是 29：27，30： 28，30：29，即 X2，4，5，然后根据独立事件的概率逐一求出每个 X 的取值所对应的 概率即可得到分布列，进而求得数学期望 解：（）甲以 21：i（i19，iN）获胜，则在这 21+i 个回合的争夺中，前 20+i 个 回合里
39、，甲赢下 20 个回合，输掉 i 个回合，且最后一个回合必须获胜 ， ， ， ， P（A9）P（A10） （）补充完整的 22 列联表如表所示， 甲得分 乙得分 合计 甲发球 50 50 100 乙发球 60 30 90 合计 110 80 190 ， 有 95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关” 由 22 列联表知， ， ，此局比赛结束，比分可能是 29：27，30：28，30： 29， X2，4，5， 若比分为 29：27，则甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ， ， 若比分为 30： 28， 则甲获胜的情况可能为： 甲乙甲甲， 乙甲甲甲， 其概率为 ， 乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲
40、乙乙，其概率为 ， ， 若比分为 30：29，则 P（X5）1P（X2）P（X4） ， X 的分布列为 X 2 4 5 P 数学期望 E（X） 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标 系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 E 的参数方程为 （ 为参数），以 O 为极 点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l1，l2的极坐标方程分别为 0， 0 ， ，l1交曲线 E 于点 A，B，l2交曲线 E 于点 C，D （）求曲线 E 的普通方程及极坐标方程； （）求|BC|2+|AD|2的值 【分析】 （）由同角的平方关系可得曲线
41、E 的普通方程；由 xcos，ysin，x2+y2 2，代入化简可得曲线 E 的极坐标方程； （）分别讨论直线 l1的斜率不存在，求得 A，B，C，D 的坐标，计算可得所求和；若 斜率存在且不为 0，设出两直线的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直 的条件，结合两点的距离公式可得所求和 解：（）曲线 E 的参数方程为 （ 为参数）， 由 cos2+sin2 1，即曲线 E 的普通方程为圆（x1） 2+y24； 由 xcos，ysin，x2+y22，可得 22cos30； （）当直线 l1的斜率不存在，可设 A（0， ），B（0， ）， 可得直线 l2的斜率为 0，可设 C（3，0）
42、，D（1，0）， 则|BC|2+|AD|29+3+1+316； 当直线 l1的斜率存在且不为 0，方程设为 ykx， 直线 l1的方程设为 y x， 由 可得（1+k 2）x22x30， 可设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， 可得 x1+x2 ，x 1x2 ， 即有 x12+x22（x1+x2）22x1x2 ， 将 k 换为 可得 x3 2+x 4 2 ， 则|BC|2+|AD|2|OB|2+|OC|2+|OA|2+|OD|2（|OB|2+|OA|2）+（|OC|2+|OD|2） （1+k2）（x12+x22）+（1 ）（x 3 2+x 4 2） 6 6 12 12+416 综上可得|BC|2+|AD|2的值为 16 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 的最大值为 m （）求 m 的值； （）若 a，b，c 为正数，且 a+b+cm，求证： 【分析】（）利用绝对值不等式的性质可得|x+1|2x|2x1|，进而得到 ，由此求得 m 的值； （）由（）知，a+b+c1，再利用基本不等式累加即可得证 解：（）f（x）的定义域为 ， |x+1|2x|（x+1）（2x）|2x1|，当且仅当 时取等号， ，即 f（x）的最大值为 1， m1； （）证明：由（）知 a+b+c1， ， ， ， ， ，当且仅当 时取等号