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2020年江西省九江市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

1、2020 年高考数学二模试卷(理科)年高考数学二模试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题) 1已知集合 AxZ|x1,Bx|x22,则 AB( ) Ax|1x2 B C1,0,1 D0,1 2已知复数 z 满足 z(3i)10,则 z( ) A3i B3+i C3i D3+i 3已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 , ,则 a1( ) A B1 C D2 4已知 P(2,2)为抛物线 C:y22px(p0)上一点,抛物线 C 的焦点为 F,则|PF| ( ) A2 B C3 D 5将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 f(x),则函数 的图 象大致为( ) A B C D 6已知

2、0ab1,则下列结论正确的是( ) Ababb Babbb Caaab Dbaaa 7若 425+a(aR)能被 9 整除,则|a|的最小值为( ) A3 B4 C5 D6 8第 41 届世界博览会于 2010 年月 1 日至 10 月 31 日,在中国上海举行,气势磅礴的中国 馆一一“东方之冠”令人印象深刻,该馆以“东方之冠,鼎盛中华,天下粮仓,富庶百 姓”为设计理念,代表中国文化的精神与气质其形如冠盖,层叠出挑,制似斗拱它 有四根高 33.3 米的方柱,托起斗状的主体建筑,总高度为 60.3 米,上方的“斗冠”类似 一个倒置的正四棱台,上底面边长是 139.4 米,下底面边长是 69.9

3、米,则“斗冠”的侧 面与上底面的夹角约为( ) A20 B28 C38 D48 9 已知双曲线 E: , 0) 的左右焦点分别为 F1, F2, 以原点 O 为圆心, |OF1|为半径的圆与双曲线 E 的右支相交于 A,B 两点,若四边形 AOBF2为菱形,则双 曲线 E 的离心率为( ) A B C D 10算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以 梁,梁上两珠,每珠作数五,梁下五珠,每珠作数一算珠梁上部分叫上珠,梁下部分 叫下珠例如:在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠,个位档拨上一颗上珠,则表示数字 65若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠,再随机选择

4、两个档位各拨一颗下 珠,则所拨数字大于 200 的概率为( ) A B C D 11现有边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形及半径为 1 的圆各一个,在水平桌面上 无滑动滚动一周,它们的中心的运动轨迹长分别为 l1,l2,l3,l4,则( ) Al1l2l3l4 Bl1l2l3l4 Cl1l2l3l4 Dl1l2l3l4 12已知函数 f(x)xlnx1,g(x)ln|x|,F(x)fg(x),G(x)gf(x), 给出以下四个命题: yF(x)为偶函数;yG(x)为偶函数;yF(x)的最小值为 0;yG(x) 有两个零点其中真命题的是( ) A B C D 二、填空题(共 4 小题,每

5、小题 5 分,满分 20 分) 13已知向量 , 满足| |1,| |2, ( ),则向量 , 夹角的大小为 14设 x,y 满足约束条件 ,则 z3x2y 的最大值是 15如图,在一个底面边长为 2,侧棱长为 的正四棱锥 PABCD 中,大球 O1内切于该 四棱锥,小球 O2与大球 O1及四棱锥的四个侧面相切,则小球 O2的体积为 16 已知单调数列an的前 n 项和为 Sn, 若 Sn+Sn+1n2+n, 则首项 a1的取值范围是 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17 在ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 abc 已知 sinAcosBcos

6、CsinB sin2BsinA ()求证:a,b,c 成等差数列; ()若 b5, ,求 a,c 的值 18 如图所示的几何体 ABCA1B1C1中, 四边形 ABB1A1是长方形, 四边形 BCC1B1是梯形, B1C1BC,且 , ,平面 ABB1A1平面 ABC ()求证:平面 A1CC1平面 BCC1B1; ()若CAB120,二面角 CA1C1B1为 120,求 的值 19在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 1(ab0)的离心率为 ,左右焦点 分别为 F1,F2,过 F1且 斜率不为 0 的直线 1 与椭圆 C 交于 A,B 两点,AF1,BF1的中点分别为 E,F,OEF 的

7、 周长为 2 ()求椭圆 C 的标准方程; ()设ABF2的重心为 G,若|OG| ,求直线 l 的方程 20已知函数 f(x)xlnx+x2ax(aR) ()若 a3,求 f(x)的单调性和极值; ()若函数 至少有 1 个零点,求 a 的取值范围 21羽毛球比赛中,首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球,在每回合争夺中,赢 方得 1 分且获得发球权每一局中,获胜规则如下:率先得到 21 分的一方贏得该局比 赛;如果双方得分出现 20:20,需要领先对方 2 分才算该局获胜;如果双方得分出 现 29:29,先取得 30 分的一方该局获胜现甲、乙两名运动员进行对抗赛,在每回合争 夺中,若甲

8、发球时,甲得分的概率为 p;乙发球时,甲得分的概率为 q ()若 ,记“甲以 21:i(i19,iN)赢一局”的概率为 P(Ai),试比较 P(A9)与 P(A10)的大小; () 根据对以往甲、 乙两名运动员的比赛进行数据分析, 得到如22列联表部分数据 若 不考虑其它因素对比赛的影响,并以表中两人发球时甲得分的频率作为 p,q 的值 甲得分 乙得分 总计 甲发球 50 100 乙发球 60 90 总计 190 完成 22 列联表,并判断是否有 95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”? 已知在某局比赛中,双方战成 27:27,且轮到乙发球,记双方再战 X 回合此局比赛结 束,求 X 的分

9、布列与期望 参考公式: ,其中 na+b+c+d 临界值表供参考: P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-4:坐标 系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 E 的参数方程为 ( 为参数),以 O 为极 点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l1,l2的极坐标方程分别为 0, 0 , ,l1交曲线 E 于点 A,B,l2交曲线 E 于点 C,D ()求曲线 E 的普通方程及极坐标方程; ()求|BC|2

10、+|AD|2的值 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 的最大值为 m ()求 m 的值; ()若 a,b,c 为正数,且 a+b+cm,求证: 参考答案 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1已知集合 AxZ|x1,Bx|x22,则 AB( ) Ax|1x2 B C1,0,1 D0,1 【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB 解:集合 AxZ|x1, Bx|x22x| , AB1,0,1 故选:C 2已知复数 z 满足 z(3i)10,则 z( ) A3i B3+i C3i D3+i 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解:由 z(3

11、i)10,得 z 故选:D 3已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 , ,则 a1( ) A B1 C D2 【分析】 根据题意, 分析可得 a2+a4 5, 由等比数列的性质可得 q 2, 据此可得 a1+a3a1+4a1 ,解可得答案 解:根据题意,等比数列an 中, , ,则 a2+a4 5, 则有 q 2, 又由 a1+a3a1+4a1 ,解可得 a1 ; 故选:A 4已知 P(2,2)为抛物线 C:y22px(p0)上一点,抛物线 C 的焦点为 F,则|PF| ( ) A2 B C3 D 【分析】求出抛物线方程,得到焦点坐标,然后求解即可 解:P(2,2)为抛物线 C:y22p

12、x(p0)上一点, 可得 p1,所以 F( ,0), 则|PF|2 故选:B 5将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 f(x),则函数 的图 象大致为( ) A B C D 【分析】先根据三角函数图象的变换法则求出 f(x)2sin2x,进而求得 的 解析式,再根据解析式的奇偶性及函数值的正负确定函数图象即可 解:将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 , 故 , ,易知函数 为奇函数,其 图象关于原点对称,可排除 BC; 又 , ,可排除 A 故选:D 6已知 0ab1,则下列结论正确的是( ) Ababb Babbb Caaab Dbaaa 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性求解 解:

13、对于选项 A:由指数函数 ybx(0b1)为减函数,且 ab,所以 babb,故选 项 A 错误; 对于选项 B:由幂函数 yxb(0b1)在(0,+)上为增函数,且 ab,所以 ab bb,故选项 B 正确; 对于选项 C:由指数函数 yax(0a1)为减函数,且 ab,所以 aaab,故选项 C 错误; 对于选项 D:由幂函数 yxa(0a1)在(0,+)上为增函数,且 ab,所以 aa ba,故选项 D 错误; 故选:B 7若 425+a(aR)能被 9 整除,则|a|的最小值为( ) A3 B4 C5 D6 【分析】 根据 425+a (3+1) 25+a 3 25 3 24 3 23

14、 3 2 3 1 a; 研究最后三项即可求解结论 解: 因为 425+a (3+1) 25+a 325 324 323 32 31 a; ( 325 324 323 32)可提公因式 329; 故只需: 31 a76+a 能被 9 整除; a4 时, 31 a76+a 能被 9 整除且|a|最小值; 故|a|的最小值为:4 故选:B 8第 41 届世界博览会于 2010 年月 1 日至 10 月 31 日,在中国上海举行,气势磅礴的中国 馆一一“东方之冠”令人印象深刻,该馆以“东方之冠,鼎盛中华,天下粮仓,富庶百 姓”为设计理念,代表中国文化的精神与气质其形如冠盖,层叠出挑,制似斗拱它 有四根

15、高 33.3 米的方柱,托起斗状的主体建筑,总高度为 60.3 米,上方的“斗冠”类似 一个倒置的正四棱台,上底面边长是 139.4 米,下底面边长是 69.9 米,则“斗冠”的侧 面与上底面的夹角约为( ) A20 B28 C38 D48 【分析】求出“斗冠”的高为 60.333.327 米,作出直观图,得 PE27,ME (MN EF) ,PME 为“斗冠”的侧面与上底面的夹角,由此能求出“斗冠”的侧面 与上底面的夹角 解:依题意得“斗冠”的高为 60.333.327 米,如图,PE27, ME (MNEF) , PME 为“斗冠”的侧面与上底面的夹角, tan 0.78 tan30 ,t

16、an451, 0.580.781,30PME45, 故选:C 9 已知双曲线 E: , 0) 的左右焦点分别为 F1, F2, 以原点 O 为圆心, |OF1|为半径的圆与双曲线 E 的右支相交于 A,B 两点,若四边形 AOBF2为菱形,则双 曲线 E 的离心率为( ) A B C D 【分析】通过四边形 AOBF2为菱形,求出 A 的坐标,代入双曲线方程,列出关系式,然 后求解双曲线的离心率即可 解:双曲线 E: , 0)的左右焦点分别为 F1,F2,以原点 O 为圆心, |OF1|为半径的圆,与双曲线 E 的右支相交于 A,B 两点,若四边形 AOBF2为菱形, 可得:A( , ),代入

17、双曲线方程可得: , 可得: ,e1,解得 e 故选:A 10算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以 梁,梁上两珠,每珠作数五,梁下五珠,每珠作数一算珠梁上部分叫上珠,梁下部分 叫下珠例如:在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠,个位档拨上一颗上珠,则表示数字 65若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠,再随机选择两个档位各拨一颗下 珠,则所拨数字大于 200 的概率为( ) A B C D 【分析】所拨数字共有 n 24,所拨数字大于 200 包含两种上珠拨的是千位档 或百位档,有 种,上珠拨的是个位档或十位档,则有 6 种,所拨数 字大于 200 包含的基

18、本事件有 m12+618 种,由此能求出所拨数字大于 200 的概率 解:在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠, 再随机选择两个档位各拨一颗下珠, 依题意得所拨数字共有 n 24, 所拨数字大于 200 包含两种情况: 上珠拨的是千位档或百位档,有 种, 上珠拨的是个位档或十位档,则有 6 种, 所拨数字大于 200 包含的基本事件有 m12+618 种, 则所拨数字大于 200 的概率为 p 故选:D 11现有边长均为 1 的正方形、正五边形、正六边形及半径为 1 的圆各一个,在水平桌面上 无滑动滚动一周,它们的中心的运动轨迹长分别为 l1,l2,l3,l4,则( ) Al1l2l3l4

19、 Bl1l2l3l4 Cl1l2l3l4 Dl1l2l3l4 【分析】由题意可知,它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为 2 的弧长,设半径 分别为 r1,r2,r3,r4,则半径为中心与顶点的距离,由正方形、正五边形、正六边形得 几何特征可知 ,r1r21,r3r41,再利用弧长公式即可得到 l 1l2l3l4 解:由题意可知,它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为 2 的弧长, 设半径分别为 r1,r2,r3,r4,由题意可知,半径为中心与顶点的距离, 又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为 1,圆的半径为 1, 对于正方形,如图所示:,AOB90, ; 对于正五边形,如图所示:,

20、AOB7290,OABOBA 5472,r1r21; 对于正六边形, 如图所示:, AOB60, AOB 为等边三角形, r3OA1; 而 r41, 又因为 l12 r1,l22 r2,l32 r3,l42 r4, 所以 l1l2l3l4, 故选:B 12已知函数 f(x)xlnx1,g(x)ln|x|,F(x)fg(x),G(x)gf(x), 给出以下四个命题: yF(x)为偶函数;yG(x)为偶函数;yF(x)的最小值为 0;yG(x) 有两个零点其中真命题的是( ) A B C D 【分析】首先利用函数的奇偶性的判定函数 F(x)为偶函数,进一步利用函数的导数求 出函数的单调区间和函数的

21、最值,进一步利用函数的图象求出函数的交点的个数从而 确定出结果 解:函数 f(x)xlnx1,g(x)ln|x|,F(x)fg(x),G(x)gf(x), 所以F(x)ln|x|ln(ln|x|)1,由于 x(,0)(0,+),且 F(x) F(x),所以函数 yF(x)为偶函数故正确 G(x)gf(x)ln|xlnx1|,由于 x(0,+)函数的定义域不关于原点对称, 所以函数 yG(x)不为偶函数,故错误 由于函数为偶函数,所以当 x0 时,F(x)lnxln(lnx)1,所以 F(x) 由于 x0,所以当 xe 时,F(x)0, 所以 x(0,e)时函数为单调递减函数,x(e,+)时,函

22、数为单调递增函数,所以 xe 时,函数取的极小值,即最小值 F(e)lneln(lne)10, 故 yF(x)的最小值为 0,故正确 yG(x)有两个零点,即方程 G(x)0 由两个实数根, 即 G(x)ln|xlnx1|0,整理得 xlnx11 或 xlnx11 (1)x2lnx,在同一坐标系内画出函数的图象,令 k(x)x2,h(x)lnx, 如图所示: 当 xlnx11 时,即 xlnx设 k(x)x,h(x)lnx 如图所示: 所以函数的图象由两个交点,即 yG(x)有两个零点 故选:C 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13已知向量 , 满足| |1,| |

23、2, ( ),则向量 , 夹角的大小为 【分析】 运用向量垂直的条件, 即为数量积为 0, 再由向量的夹角公式计算即可得到夹角 解:| |1,| |2, ( ), 则 ( )0, 即有 0, 则 1, cos , , 由于 0 , , 则有向量 , 夹角为 故答案为: 14设 x,y 满足约束条件 ,则 z3x2y 的最大值是 【分析】根据已知中的约束条件,先画出满足条件的可行域,进而求出可行域的各角点 的坐标,代入目标函数求出目标函数的值,比较后可得目标函数的最大值 解:x,y 满足约束条件 ,的可行区域如下图阴影所示; 目标函数 z3x2y,A( , ),B(0,2),C(2,2) zA

24、2 zB4 zC2 故目标函数 z3x2y 的最大值为 故答案为: 15如图,在一个底面边长为 2,侧棱长为 的正四棱锥 PABCD 中,大球 O1内切于该 四棱锥,小球 O2与大球 O1及四棱锥的四个侧面相切,则小球 O2的体积为 【分析】设 O 为正方形 ABCD 的中心,AB 的中点为 M,连接 PM,OM,PO,则 OM 1PM 3,PO 2 ,如图,分别可求得大球 O1与小 球 O2半径分别为 和 ,进而可得小球的体积 解:设 O 为正方形 ABCD 的中心,AB 的中点为 M,连接 PM,OM,PO,则 OM1, PM 3,PO 2 ,如图,在截面 PMO 中,设 N 为 球 O1

25、与平面 PAB 的切点, 则 N 在 PM 上,且 O1NPM,设球 O1的半径为 R,则 O1NR, 因为 sinMPO ,所以 ,则 PO13R, POPO1+OO14R2 ,所以 R , 设球 O1与球 O2相切与点 Q,则 PQPO2R2R,设球 O2的半径为 r, 同理可得 PQ4r,所以 r , 故小球 O2的体积 V r 3 , 故答案为: 16 已知单调数列an的前n项和为Sn, 若Sn+Sn+1n2+n, 则首项a1的取值范围是 ( , ) 或( , ) 【分析】首先利用赋值法求出关系式,进一步利用数列的单调性的应用求出结果 解:根据题意单调数列an的前 n 项和为 Sn,若

26、 Sn+Sn+1n2+n, 当 n1 时,2a1+a22,整理得 a222a1 由于数列an单调, 所以当数列为单调递增数列时,a2a1,22a1a1,解得 当数列为单调递减数列时,a1a2,即 22a1a1,解得 故项 a1的取值范围是( , )或( , ) 故答案为:( , )或( , ) 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17 在ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 abc 已知 sinAcosBcosCsinB sin2BsinA ()求证:a,b,c 成等差数列; ()若 b5, ,求 a,c 的值 【分析】()由 A+B+C,所以 sin

27、Asin(B+C),再由两角和的正弦公式展开即 2 倍角公式可得 sinAcosB2sinBcosBsinCcosB, 再由题意 cosB0, 可得 2sinBsinA+sinC, 再由正弦定理可得 a,b,c 成等差数列; ()由()及题意可得 a+c 的值,再由余弦定理可得 ac 的值,由 ac 可得 a,c 的 值 解:() 证明: sinAcosBcosCsinBsin2BsinA2sinBcosBsinAsin2Bsin (B+C) , 所以 sinAcosBcosCsinBsin2BsinBcosCcosBsinC, 整理可得 sinAcosB2sinBcosBsinCcosB,因

28、为 abc,所以 cosB0, 所以 sinA2sinBsinC,即 2sinBsinA+sinC, 由正弦定理可得 2ba+c, 即证 a,b,c 成等差数列 ()因为 sinB ,B 为锐角,所以 cosB , 因为 b5,由()可得 a+c10, 由余弦定理可得 b2a2+c22accosB(a+c)22ac2accosB, 所以 521022ac2ac ,即 ac21,a+c10,ac, 解得 a7,c3 18 如图所示的几何体 ABCA1B1C1中, 四边形 ABB1A1是长方形, 四边形 BCC1B1是梯形, B1C1BC,且 , ,平面 ABB1A1平面 ABC ()求证:平面

29、A1CC1平面 BCC1B1; ()若CAB120,二面角 CA1C1B1为 120,求 的值 【分析】 ()取 BC 中点 D,连结 AD,C1D,推导出 ADBC, ,BD B1C1, A1C1BB1,从而 A1C1B1C1,进而 A1C1平面 BCC1B1,由此能证明平面 A1CC1平面 BCC1B1 ()推导出 AA1平面 ABC,以 A 为原点,在平面 ABC 中过 A 作 AB 的垂线为 x 轴, AB 为 y 轴,AA1为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出 的值 解:()证明:取 BC 中点 D,连结 AD,C1D, 几何体 ABCA1B1C1中,四边形 ABB1A1

30、是长方形,四边形 BCC1B1是梯形, B1C1BC,且 , ,平面 ABB1A1平面 ABC ADBC, ,BD B1C1,A1C1BB1, A1C1B1C1,又 BB1B1C1B1,A1C1平面 BCC 1B1, A1C1平面 A1CC1,平面 A1CC1平面 BCC1B1 ()解:CAB120,平面 ABB1A1平面 ABC四边形 ABB1A1是正方形, AA1平面 ABC, 以 A 为原点,在平面 ABC 中过 A 作 AB 的垂线为 x 轴,AB 为 y 轴,AA1为 z 轴,建立空 间直角坐标系, 设 AB1, ,则 AA1, C( , ,0),A1(0,0,),C1( , ,),

31、 ( , ,), ( , ,0), 设平面 A1CC1的法向量 (x,y,z), 则 ,取 x1,得 (1, , ), 平面 A1B1C1的法向量 (0,0,1), 二面角 CA1C1B1为 120, cos120| |, 解得 , 19在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 1(ab0)的离心率为 ,左右焦点 分别为 F1,F2,过 F1且 斜率不为 0 的直线 1 与椭圆 C 交于 A,B 两点,AF1,BF1的中点分别为 E,F,OEF 的 周长为 2 ()求椭圆 C 的标准方程; ()设ABF2的重心为 G,若|OG| ,求直线 l 的方程 【分析】 ()连接 AF2,BF2,根据条

32、件可知|EF1 | |AF1|,|OE| |AF2|,|FF1 | |BF1|, |OF| |BF2|,则OEF 的周长为 (|AF 1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|)2a2 ,解出 a,结合 离心率可得 c,进而得到 b,即可求得椭圆方程; ()设直线方程为 xmy1,与椭圆方程联立可得(m2+2)y22my10,利用根 与系数关系可以表示出 G( , ),则|OG| ,解得 m 即 可 解:()因为 e ,所以 a c,连接 AF2,BF2, 因为 E,O 分别为 AF1,F1F2的中点,所以|EF1 | |AF1|,|OE| |AF2|, 同理|FF1 | |BF1|,|OF|

33、|BF2|, 所以OEF 的周长为 (|AF 1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|)2a2 , 则 a ,c1, 又 b2a2c2,所以 b1, 所以椭圆 C 的标准方程为 ; ()因为直线 l 过点 F1(1,0)且斜率不为 0,所以可设 l 的方程为 xmy1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 ,整理得(m 2+2)y22my10, 则 y1+y2 ,y1y2 ,所以 x1+x2m(y1+y2)2 , 又因为 F2(1,0),所以 G( , ),即 G( , ), 所以|OG| , 令 ,解得 m , 所以直线 l 的方程为 x y+10 或 x y+10 20已知函数

34、f(x)xlnx+x2ax(a一、选择题) ()若 a3,求 f(x)的单调性和极值; ()若函数 至少有 1 个零点,求 a 的取值范围 【分析】()对原函数求导并求零点,再根据导数的单调性确定导数的符号,则问题 可迎刃而解; ()先两边同除以 x,并把 a 分离出来,然后研究与 a 相等的函数的单调性、极值(最 值)情况,即可使问题获解 解:()由题意得 f(x)xlnx+x23x,(x0) f(x)lnx+2x2,显然 f(1)0且 ,f(x)是增函数 所以 0x1 时,f(x)0,f(x)递减;x1 时,f(x)0,f(x)递增 故 x1 时,f(x)取得极小值2,无极大值 ()由题意

35、得 xlnx+x2ax (x0)至少有一个根 两边同除以 x,并分离 a 得:alnx+x 令 g(x)lnx+x (x+1) ,显然只需研究 h(x)xex1 的符号 h(x)ex(x+1)0,故 h(x)是增函数 令 xex10 得 ,x0为 h(x)的零点 当 0xx0时,h(x)0,g(x)递减;xx0时,h(x)0,g(x)递增 故 g(x)ming(x0) 由得 ,两边取对数得 lnx0x0,代入式得:g(x0)1, 所以函数 g(x)的最小值为 1,显然 x+时,h(x)+ 所以要使原函数至少有一个零点,只需 a1 21羽毛球比赛中,首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球,在

36、每回合争夺中,赢 方得 1 分且获得发球权每一局中,获胜规则如下:率先得到 21 分的一方贏得该局比 赛;如果双方得分出现 20:20,需要领先对方 2 分才算该局获胜;如果双方得分出 现 29:29,先取得 30 分的一方该局获胜现甲、乙两名运动员进行对抗赛,在每回合争 夺中,若甲发球时,甲得分的概率为 p;乙发球时,甲得分的概率为 q ()若 ,记“甲以 21:i(i19,iN)赢一局”的概率为 P(Ai),试比较 P(A9)与 P(A10)的大小; () 根据对以往甲、 乙两名运动员的比赛进行数据分析, 得到如22列联表部分数据 若 不考虑其它因素对比赛的影响,并以表中两人发球时甲得分的

37、频率作为 p,q 的值 甲得分 乙得分 总计 甲发球 50 100 乙发球 60 90 总计 190 完成 22 列联表,并判断是否有 95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”? 已知在某局比赛中,双方战成 27:27,且轮到乙发球,记双方再战 X 回合此局比赛结 束,求 X 的分布列与期望 参考公式: ,其中 na+b+c+d 临界值表供参考: P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 【分析】()由于甲以 21:i(i19,iN)获胜,则在这 21+i 个回合的争夺中,前 20+i 个回合里,甲赢

38、下 20 个回合,输掉 i 个回合,且最后一个回合必须获胜然后以独 立重复事件的概率写出 P(Ai),从而得到 P(A9)和 P(A10),再比较大小即可; ()由表格中的数据补充完整 22 列联表,根据 K2的公式计算出观测值,并与附 录中的参考值进行对比即可作出判断; 先根据 22 列联表求出 p 和 q 的值,再确定比赛结束时,比分可能是 29:27,30: 28,30:29,即 X2,4,5,然后根据独立事件的概率逐一求出每个 X 的取值所对应的 概率即可得到分布列,进而求得数学期望 解:()甲以 21:i(i19,iN)获胜,则在这 21+i 个回合的争夺中,前 20+i 个 回合里

39、,甲赢下 20 个回合,输掉 i 个回合,且最后一个回合必须获胜 , , , , P(A9)P(A10) ()补充完整的 22 列联表如表所示, 甲得分 乙得分 合计 甲发球 50 50 100 乙发球 60 30 90 合计 110 80 190 , 有 95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关” 由 22 列联表知, , ,此局比赛结束,比分可能是 29:27,30:28,30: 29, X2,4,5, 若比分为 29:27,则甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 , , 若比分为 30: 28, 则甲获胜的情况可能为: 甲乙甲甲, 乙甲甲甲, 其概率为 , 乙获胜的情况可能为:甲乙乙乙,乙甲

40、乙乙,其概率为 , , 若比分为 30:29,则 P(X5)1P(X2)P(X4) , X 的分布列为 X 2 4 5 P 数学期望 E(X) 请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-4:坐标 系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 E 的参数方程为 ( 为参数),以 O 为极 点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l1,l2的极坐标方程分别为 0, 0 , ,l1交曲线 E 于点 A,B,l2交曲线 E 于点 C,D ()求曲线 E 的普通方程及极坐标方程; ()求|BC|2+|AD|2的值 【分析】 ()由同角的平方关系可得曲线

41、E 的普通方程;由 xcos,ysin,x2+y2 2,代入化简可得曲线 E 的极坐标方程; ()分别讨论直线 l1的斜率不存在,求得 A,B,C,D 的坐标,计算可得所求和;若 斜率存在且不为 0,设出两直线的方程,联立圆的方程,运用韦达定理,以及两直线垂直 的条件,结合两点的距离公式可得所求和 解:()曲线 E 的参数方程为 ( 为参数), 由 cos2+sin2 1,即曲线 E 的普通方程为圆(x1) 2+y24; 由 xcos,ysin,x2+y22,可得 22cos30; ()当直线 l1的斜率不存在,可设 A(0, ),B(0, ), 可得直线 l2的斜率为 0,可设 C(3,0)

42、,D(1,0), 则|BC|2+|AD|29+3+1+316; 当直线 l1的斜率存在且不为 0,方程设为 ykx, 直线 l1的方程设为 y x, 由 可得(1+k 2)x22x30, 可设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 可得 x1+x2 ,x 1x2 , 即有 x12+x22(x1+x2)22x1x2 , 将 k 换为 可得 x3 2+x 4 2 , 则|BC|2+|AD|2|OB|2+|OC|2+|OA|2+|OD|2(|OB|2+|OA|2)+(|OC|2+|OD|2) (1+k2)(x12+x22)+(1 )(x 3 2+x 4 2) 6 6 12 12+416 综上可得|BC|2+|AD|2的值为 16 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 的最大值为 m ()求 m 的值; ()若 a,b,c 为正数,且 a+b+cm,求证: 【分析】()利用绝对值不等式的性质可得|x+1|2x|2x1|,进而得到 ,由此求得 m 的值; ()由()知,a+b+c1,再利用基本不等式累加即可得证 解:()f(x)的定义域为 , |x+1|2x|(x+1)(2x)|2x1|,当且仅当 时取等号, ,即 f(x)的最大值为 1, m1; ()证明:由()知 a+b+c1, , , , , ,当且仅当 时取等号