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2020年山西省中考数学预测卷三解析版

1、绝密启用前绝密启用前 2020 年年山西省中考数学山西省中考数学预测预测卷卷三三 注意事项: 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上,在试卷上作答无效,选择题需使用 2B 铅笔填涂 第第 I 卷选卷选 择择 题题 ( 共共 30 分分 ) 一一 、选选 择择 题题 ( 本本 大大 题题 共共 10 个个 小小 题题 , 每每 小小 题题 3 分分 , 共共 30 分分 , 在在 每每 个个 小小 题题 给给 出出 的的 四四 个个 选选 项项 中中 , 只只 有有 一 项 符 合 题 目 要一 项 符 合 题 目 要 求求 , 请 选 出 并 在 答 题请 选

2、 出 并 在 答 题 卡卡 上上 将 该 项 涂 黑将 该 项 涂 黑 ) 1(2018安徽)的绝对值是( ) A. B. 8 C. D. 2(2018宿迁)下列运算正确的是( ) A. 632 aaa B. C. D. 3(2018 孝感)已知,则式子的值是( ) A. 48 B. C. 16 D. 12 4(2019重庆 A 卷)如图,在ABC 中,D 是 AC 边上的中点,连接 BD,把BDC沿 BD 翻折, 得到 BDC,DC 与 AB 交于点 E,连接AC,若 AD=AC=2,BD=3 则点 D 到 BC 的距离为( ) A 3 3 2 B 3 21 7 C 7 D 13 5. (2

3、019河南) 如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体, 将上层的小正方体平移后得到图 关 于平移前后几何体的三视图,下列说法正确的是( ) A主视图相同 B左视图相同 C俯视图相同 D三种视图都不相同 6(2018重庆 A 卷)若数 使关于 x 的不等式组有且只有四个整数解,且使关于 y 的方程的解为非负数,则符合条件的所有整数 的和为( ) A. B. C. 1 D. 2 7(2018深圳)260000000 用科学计数法表示为( ) A. B. C. D. 8(2018娄底)关于 的一元二次方程的根的情况是( ) A. 有两不相等实数根;B. 有两相等实数根;C. 无实数根 D. 不能确定

4、 9 (2018江西) 在平面直角坐标系中, 分别过点,作 轴的垂线 和 ,探究直线 和 与双曲线 的关系,下列结论中错误 的是)( ) A. 两直线中总有一条与双曲线相交 B. 当=1 时,两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C. 当 时,两条直线与双曲线的交点在 轴两侧 D. 当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的最短距离是 2 10 (2018深圳) 如图, 一把直尺,的直角三角板和光盘如图摆放, 为角与直尺交点,, 则光盘的直径是( ) A. 3 B. C. D. 第第 II卷卷 非非 选选 择择 题题 ( 共共 90 分分 ) 二二 、 填填 空空 题题 ( 本本 大大 题题 共

5、共 5 个个 小小 题题 , 每每 小小 题题 3 分分 , 共共 15 分分 ) 11(2018南京)如图,五边形是正五边形,若,则_ 12(2019广西)“学雷锋”活动月中,“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动,小晴和小霞从“图 书馆,博物馆,科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动,两人恰好选择同一场馆的概率是 13(2019重庆)在精准扶贫的过程中,某驻村服务队结合当地高山地形,决定在该村种植中药材 川香、贝母、黄连增加经济收入经过一段时间,该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比是 4:3:5,根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量,将在该村余下土地上继续种植这三种 中药材,经测算需将

6、余下土地面积的 9 16 种植黄连,则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植 总面积的 19 40 为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到 3:4,则该村还需种植贝母的 面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是_ 14(2019济宁)已知点 P(x,y)位于第四象限,并且 xy+4(x,y 为整数),写出一个符合上 述条件的点 P 的坐标_ 15(2019新疆)如图,在ABC 中,AB=AC=4,将ABC 绕点 A 顺时针旋转 30 ,得到ACD,延 长 AD 交 BC 的延长线于点 E,则 DE 的长为_ 三三 、 解解 答答 题题 ( 本本 大大 题题 共共 8 个个 小小 题题 , 共

7、共 75 分分 .解解 答答 应应 写写 出出 文文 字字 说说 明明 , 证证 明明 过过 程程 或或 演演 算算 步步 骤骤 ) ) 16.(2018义乌)( 本 题 共 2 个 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 10 分 ) (1)计算:. (2)解方程:. 17(本题 7 分)(2019温州)如图,在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AB 边上一点,过 点 C 作 CFAB 交 ED 的延长线于点 F (1)求证:BDECDF; (2)当 ADBC,AE=1,CF=2 时,求 AC 的长 18.(本题 9 分)(2019张家界)阅读下面的材料: 按照一定顺序排列着的

8、一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的 数称为第一项,记为 a1,排在第二位的数称为第二项,记为 a2,依此类推,排在第 n 位的数称 为第 n 项,记为 an所以,数列的一般形式可以写成:a1,a2,a3,an, 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫 做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用 d 表示如:数列 1,3,5,7,为 等差数列,其中 a1=1,a2=3,公差为 d=2 根据以上材料,解答下列问题: (1)等差数列 5,10,15,的公差 d 为 5,第 5 项是_ (2)如果一个数列 a1,a2,a3,

9、an,是等差数列,且公差为 d,那么根据定义可得到: a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,an-an-1=d, 所以 a2=a1+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, 由此,请你填空完成等差数列的通项公式:an=a1+_d (3)-4041 是不是等差数列-5,-7,-9的项?如果是,是第几项? 19(本题 8 分)(2019梧州)我市某超市销售一种文具,进价为 5 元/件售价为 6 元/件时,当 天的销售量为 100 件在销售过程中发现:售价每上涨 0.5 元,当天的销售量就减少 5 件设 当天销售单价统一为 x

10、元/件(x6,且 x 是按 0.5 元的倍数上涨),当天销售利润为 y 元 (1)求 y 与 x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); (2)要使当天销售利润不低于 240 元,求当天销售单价所在的范围; (3)若每件文具的利润不超过 80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元?并 求出最大利润 20 (本题 9 分) (2019甘肃) 为了保证人们上下楼的安全, 楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制 中 小学楼梯宽度的范围是 260mm300mm 含(300mm),高度的范围是 120mm150mm(含 150mm)如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图,测量结果如下:AB,CD 分

11、别垂直平分踏步 EF,GH,各踏步互相平行,AB=CD,AC=900mm,ACD=65 ,试问该中学楼梯踏步的宽度和 高度是否符合规定(结果精确到 1mm,参考数据:sin650.906,cos650.423) 21.(本题 8 分)(2019海南)如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,点 P 是边 AD 上一点(与点 A、D 不重合) ,射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q (1)求证:PDEQCE; (2)过点 E 作 EFBC 交 PB 于点 F,连结 AF,当 PB=PQ 时, 求证:四边形 AFEP 是平行四边形; 请判断四边形 AFEP 是否为菱形

12、,并说明理由 22.(本题 11 分)(2019安徽)如图,RtABC 中,ACB=90 ,AC=BC,P 为ABC 内部一点,且 APB=BPC=135 (1)求证:PABPBC; (2)求证:PA=2PC; (3)若点 P 到三角形的边 AB,BC,CA 的距离分别为 h1,h2,h3,求证 h12=h2 h3 23.(本题 13 分)(2019河南)如图,抛物线 y=ax2+ 1 2 x+c 交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C直 线 y= 1 2 x2 经过点 A,C (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 是抛物线上一动点,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 AC 于点 M

13、,设点 P 的横坐标为 m 当PCM 是直角三角形时,求点 P 的坐标; 作点 B 关于点 C 的对称点 B,则平面内存在直线 l,使点 M,B,B到该直线的距离都相等当 点 P 在 y 轴右侧的抛物线上,且与点 B 不重合时,请直接写出直线 l:y=kx+b 的解析式(k,b 可用含 m 的式子表示) 答案答案卷卷 第第 I 卷卷 选选 择择 题题 ( 共共 30 分分 ) 一一 、选选 择择 题题 ( 本本 大大 题题 共共 10 个个 小小 题题 , 每每 小小 题题 3 分分 , 共共 30 分分 , 在在 每每 个个 小小 题题 给给 出出 的的 四四 个个 选选 项项 中中 , 只

14、只 有有 一 项 符 合 题 目 要一 项 符 合 题 目 要 求求 , 请 选 出 并 在 答 题请 选 出 并 在 答 题 卡卡 上上 将 该 项 涂 黑将 该 项 涂 黑 ) 1(2018安徽)的绝对值是( ) A. B. 8 C. D. 【答案】B 【分析】根据绝对值的定义“一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离”进行解答即可. 【详解】数轴上表示数-8 的点到原点的距离是 8,所以-8 的绝对值是 8,故选 B. 【名师点睛】本题主要考查了绝对值的概念,熟记绝对值的概念是解题的关键. 2(2018宿迁)下列运算正确的是( ) A. 632 aaa B. C. D. 【答案】

15、C 【解析】【分析】根据同底数幂的乘法,幂的乘方,同底数幂的除法,合并同类项的法则逐项进行 计算即可得. 【详解】A. 5 32 aaa ,故 A 选项错误; B. a2 与 a1 不是同类项,不能合并,故 B 选项错误; C. ,故 C 选项正确; D. ,故 D 选项错误, 故选 C. 【名师点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法,幂的乘方,同底数幂的除法,合并同类项等运算, 熟练掌握有关的运算法则是解题的关键. 3(2018 孝感)已知,则式子的值是( ) A. 48 B. C. 16 D. 12 【答案】D 【解析】分析:先通分算加法,再算乘法,最后代入求出即可 详解:(x-y+)(x+y

16、-)= =(x+y)(x-y), 当 x+y=4,x-y=时,原式=4 =12, 故选:D 【名师点睛】本题主要考查了分式的混合运算和求值,能正确根据分式的运算法则进行化简是解此 题的关键 4(2019重庆 A 卷)如图,在ABC 中,D 是 AC 边上的中点,连接 BD,把BDC沿 BD 翻折, 得到 BDC,DC 与 AB 交于点 E,连接AC,若 AD=AC=2,BD=3 则点 D 到 BC 的距离为( ) A 3 3 2 B 3 21 7 C 7 D 13 【答案】B 【解析】如图,连接 CC,交 BD 于点 M,过点 D 作 DHBC于点 H, AD=AC=2,D 是 AC 边上的中

17、点,DC=AD=2, 由翻折知,BDCBDC,BD 垂直平分 CC,DC=DC=2,BC=BC,CM=CM, AD=AC=DC=2, ADC为等边三角形,ADC=ACD=CAC=60 , DC=DC,DCC=DCC= 1 2 60 =30 , 在 RtCDM 中,DCC=30 ,DC=2,DM=1,CM= 3DM=3,.BM=BD-DM=3-1=2, 在 RtBMC 中,BC= 2222 2( 3)7BMC M , 11 22 BDC SBC DHBD CM ,733DH ,.BM=BD-DM=3-1=2, 在 RtCDM 中, 2222 2( 3)7BCBMC M , 11 22 BDC S

18、BC DHBD CM ,733DH , 3 21 7 DH ,故选 B 【名师点睛】本题主要考查了直角三角形. 5. (2019河南) 如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体, 将上层的小正方体平移后得到图 关 于平移前后几何体的三视图,下列说法正确的是( ) A主视图相同 B左视图相同 C俯视图相同 D三种视图都不相同 【答案】C 【解析】图的三视图为: 图的三视图为:,故选 C 【名师点睛】本题考查了由三视图判断几何体,解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视 图的空间想象能力 6(2018重庆 A 卷)若数 使关于 x 的不等式组有且只有四个整数解,且使关于 y 的方程的解为非负数,则

19、符合条件的所有整数 的和为( ) A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式的解集,根据只有四个整数解确定出 a 的取值范围,解分式方程后根 据解为非负数,可得关于 a 的不等式组,解不等式组求得 a 的取值范围,即可最终确定出 a 的范围, 将范围内的整数相加即可得. 【详解】解不等式,得, 由于不等式组只有四个整数解,即只有 4 个整数解, ,; 解分式方程,得, 分式方程的解为非负数, , a2 且 a1, 且 a1, 符合条件的所有整数 为:-1,0,2, 和为:-1+0+2=1, 故选 C. 【名师点睛】本题主要考查了含有参数的不等式和含有参数的分式方

20、程的应用,熟练掌握不等式组 的解法、分式方程的解法以及解分式方程需要注意的事项是解题的关键. 7(2018深圳)260000000 用科学计数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式,其中 1|a|1 时,n 是正数;当原数的绝对值0, 方程有两个不相等实数根,故选 A. 【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0,a,b,c 为常数)的根的判别式 =b2-4ac当0 时,方程有两个不相等的实数根;当=0 时,方程有两个相等的实数根;当0 时,方程没有实数根 9 (2018江西) 在平面直角坐标系中, 分别过点

21、,作 轴的垂线 和 ,探究直线 和 与双曲线 的关系,下列结论中错误 的是)( ) A. 两直线中总有一条与双曲线相交 B. 当=1 时,两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C. 当 时,两条直线与双曲线的交点在 轴两侧 D. 当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的最短距离是 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意给定 m 特定值、非特定值分别进行讨论即可得. 【详解】当=0 时, 与双曲线有交点,当=-2 时, 与双曲线有交点, 当时,和双曲线都有交点,所以 正确,不符合题意; 当时,两交点分别是(1,3),(3,1),到原点的距离都是,所以 正确,不符合题意; 当 时, 在 轴的左

22、侧, 在 轴的右侧,所以 正确,不符合题意; 两交点分别是),两交点的距离是 ,当无限大时,两交点的 距离趋近于 2,所以 不正确,符合题意, 故选 D. 【名师点睛】本题主要考查了垂直于 x 轴的直线与反比例函数图象之间的关系,利用特定值,分情 况进行讨论是解本题的关键,本题有一定的难度. 10 (2018深圳) 如图, 一把直尺,的直角三角板和光盘如图摆放, 为角与直尺交点,, 则光盘的直径是( ) A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设光盘圆心为 O,连接 OC,OA,OB,由 AC、AB 都与圆 O 相切,利用切线长定 理得到AO平分BAC, 且OC垂直于AC,

23、OB垂直于AB, 可得出CAO=BAO=60 , 得到AOB=30 , 利用 30 所对的直角边等于斜边的一半求出 OA 的长,再利用勾股定理求出 OB 的长,即可确定出光 盘的直径 【详解】如图,设光盘圆心为 O,连接 OC,OA,OB, AC、AB 都与圆 O 相切, AO 平分BAC,OCAC,OBAB, CAO=BAO=60 , AOB=30 , 在 RtAOB 中,AB=3cm,AOB=30 , OA=6cm, 根据勾股定理得:OB=3, 则光盘的直径为 6, 故选 D. 【名师点睛】本题主要考查了切线的性质,切线长定理,含 30 角的直角三角形的性质,以及勾股定 理,熟练掌握切线的

24、性质是解本题的关键 第第 II卷卷 非非 选选 择择 题题 ( 共共 90 分分 ) 二二 、 填填 空空 题题 ( 本本 大大 题题 共共 5 个个 小小 题题 , 每每 小小 题题 3 分分 , 共共 15 分分 ) 11(2018南京)如图,五边形是正五边形,若,则_ 【答案】72 【解析】分析:延长 AB 交 于点 F,根据得到2=3,根据五边形是正五边形得到 FBC=72 ,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出. 详解:延长 AB 交 于点 F, , 2=3, 五边形是正五边形, ABC=108 , FBC=72 , 1-2=1-3=FBC=72 故答案为:72

25、. 【名师点睛】本题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质,正确把握五边形的性质是解题关键. 12(2019广西)“学雷锋”活动月中,“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动,小晴和小霞从“图 书馆,博物馆,科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动,两人恰好选择同一场馆的概率是 【答案】 2 9 【解析】图书馆,博物馆,科技馆分别记为 A、B、C,画树状图如下: 共有 9 种等可能的结果数,其中两人恰好选择同一场馆的结果数为 3, 所以两人恰好选择同一场馆的概率= 3 9 = 1 3 故选 A 【名师点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n, 再从中选出符合事

26、件 A 或 B 的结果数目 m,然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率 13(2019重庆)在精准扶贫的过程中,某驻村服务队结合当地高山地形,决定在该村种植中药材 川香、贝母、黄连增加经济收入经过一段时间,该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比是 4:3:5,根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量,将在该村余下土地上继续种植这三种 中药材,经测算需将余下土地面积的 9 16 种植黄连,则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植 总面积的 19 40 为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到 3:4,则该村还需种植贝母的 面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是_ 【答案】3:20 【解

27、析】设该村已种药材面积为 x,余下土地面积为 y,还需种植贝母的面积为 z,则总面积为 (x+y),川香已种植面积 1 3 x、贝母已种植面积 1 4 x,黄连已种植面积 5 12 x 依题意可得, 5919 () 121640 191 ():()3:4 3164 xyxy xyyzxz , 由得 x= 3 2 y,将代入,z= 3 8 y, 贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比= 3 3 8 3 20 2 y z xy yy , 故答案为 3:20 【名师点睛】本题考查了三元一次方程组,正确找出等量关系并列出方程是解题的关键 14(2019济宁)已知点 P(x,y)位于第四象限,并且

28、 xy+4(x,y 为整数),写出一个符合上 述条件的点 P 的坐标_ 【答案】(1,2)(答案不唯一) 【解析】点 P(x,y)位于第四象限,并且 xy+4(x,y 为整数),x0,y0, 当 x=1 时,1y+4,解得3y0,y 可以为:2, 故写一个符合上述条件的点 P 的坐标可以为:(1,2)(答案不唯一) 故答案为:(1,2)(答案不唯一) 【名师点睛】此题主要考查了点的坐标,正确把握横纵坐标的符号特征是解题关键 15(2019新疆)如图,在ABC 中,AB=AC=4,将ABC 绕点 A 顺时针旋转 30 ,得到ACD,延 长 AD 交 BC 的延长线于点 E,则 DE 的长为_ 【

29、答案】2 32 【解析】根据旋转过程可知:CAD=30 =CAB,AC=AD=4 BCA=ACD=ADC=75 ECD=180 2 75 =30 E=75 30 =45 过点 C 作 CHAE 于 H 点, 在 RtACH 中,CH= 1 2 AC=2,AH=2 3 HD=ADAH=42 3 在 RtCHE 中,E=45 , EH=CH=2 DE=EHHD=2(42 3)=232 故答案为 2 32 【名师点睛】本题主要考查了旋转的性质以及特殊直角三角形的性质,解题的关键是作垂线构 造直角三角形,利用线段的和差求解即可 三三 、 解解 答答 题题 ( 本本 大大 题题 共共 8 个个 小小 题

30、题 , 共共 75 分分 .解解 答答 应应 写写 出出 文文 字字 说说 明明 , 证证 明明 过过 程程 或或 演演 算算 步步 骤骤 ) ) 16.(2018义乌)( 本 题 共 2 个 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 10 分 ) (1)计算:. (2)解方程:. 【答案】 (1)2; (2),. 【解析】分析: (1)首先计算特殊角的三角函数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂,然后 再计算加减即可; (2)首先计算,然后再利用求根公式进行计算即可 详解: (1)原式=2-2-1+3=2; (2)a=1,b=-2,c=-1, =b2-4ac=4+4=80, 方程有两个不相等

31、的实数根, x=, 则 x1=1+,x2=1- 【名师点睛】本题主要考查了实数的运算和一元二次方程的解法,关键是熟练掌握特殊角的三角函 数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂以及一元二次方程的求根公式 17(本题 7 分)(2019温州)如图,在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AB 边上一点,过 点 C 作 CFAB 交 ED 的延长线于点 F (1)求证:BDECDF; (2)当 ADBC,AE=1,CF=2 时,求 AC 的长 【解析】(1)CFAB, BFCDBEDF , AD是BC边上的中线,BDCD, BDECDF (2)BDECDF, 2BECF, 1 23ABA

32、EBE ADBCBDCD, 3ACAB 【名师点睛】本题主要考查了全等三角形. 18.(本题 9 分)(2019张家界)阅读下面的材料: 按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的 数称为第一项,记为 a1,排在第二位的数称为第二项,记为 a2,依此类推,排在第 n 位的数称 为第 n 项,记为 an所以,数列的一般形式可以写成:a1,a2,a3,an, 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫 做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用 d 表示如:数列 1,3,5,7,为 等差数列,其中 a1=1,a2

33、=3,公差为 d=2 根据以上材料,解答下列问题: (1)等差数列 5,10,15,的公差 d 为 5,第 5 项是_ (2)如果一个数列 a1,a2,a3,an,是等差数列,且公差为 d,那么根据定义可得到: a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,an-an-1=d, 所以 a2=a1+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, 由此,请你填空完成等差数列的通项公式:an=a1+_d (3)-4041 是不是等差数列-5,-7,-9的项?如果是,是第几项? 【解析】(1)根据题意得,d=10-5=5 a3=15,a4=a3

34、+d=15+5=20,a5=a4+d=20+5=25,故答案为:5;25 (2)a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, an=a1+(n-1)d,故答案为:n-1 (3)根据题意得, 等差数列-5,-7,-9的项的通项公式为:an=-5-2(n-1), 则-5-2(n-1)=-4041, 解之得:n=2019, -4041 是等差数列-5,-7,-9,的项,它是此数列的第 2019 项 【名师点睛】本题考查了学生的分析、阅读等自学能力,解题的关键是要认真阅读题目,理解 题目呈现的数学思想及数学方法 19(本题 8 分)(

35、2019梧州)我市某超市销售一种文具,进价为 5 元/件售价为 6 元/件时,当 天的销售量为 100 件在销售过程中发现:售价每上涨 0.5 元,当天的销售量就减少 5 件设 当天销售单价统一为 x 元/件(x6,且 x 是按 0.5 元的倍数上涨),当天销售利润为 y 元 (1)求 y 与 x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); (2)要使当天销售利润不低于 240 元,求当天销售单价所在的范围; (3)若每件文具的利润不超过 80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元?并 求出最大利润 【解析】(1)由题意,y=(x-5)(100- 6 0.5 x 5)=-10x2+2

36、10x-800, 故 y 与 x 的函数关系式为:y=-10x2+210x-800 (2)要使当天利润不低于 240 元,则 y240, y=-10x2+210x-800=-10(x-10.5)2+302.5=240, 解得,x1=8,x2=13, -100,抛物线的开口向下, 当天销售单价所在的范围为 8x13 (3)每件文具利润不超过 80%, 5 0.8 x x ,得 x9, 文具的销售单价为 6x9, 由(1)得 y=-10x2+210x-800=-10(x-10.5)2+302.5, 对称轴为 x=10.5, 6x9 在对称轴的左侧,且 y 随着 x 的增大而增大, 当 x=9 时,

37、取得最大值,此时 y=-10(9-10.5)2+302.5=280, 即每件文具售价为 9 元时,最大利润为 280 元 【名师点睛】本题主要考查了二次函数关系式、二次函数图像和性质. 20 (本题 9 分) (2019甘肃) 为了保证人们上下楼的安全, 楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制 中 小学楼梯宽度的范围是 260mm300mm 含(300mm),高度的范围是 120mm150mm(含 150mm)如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图,测量结果如下:AB,CD 分别垂直平分踏步 EF,GH,各踏步互相平行,AB=CD,AC=900mm,ACD=65 ,试问该中学楼梯踏步的宽度和 高度是否符

38、合规定(结果精确到 1mm,参考数据:sin650.906,cos650.423) 【答案】该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定 【解析】如图,连接 BD,作 DMAB 于点 M, AB=CD,AB,CD 分别垂直平分踏步 EF,GH, ABCD,AB=CD, 四边形 ABDC 是平行四边形, C=ABD,AC=BD, C=65 ,AC=900, ABD=65 ,BD=900, BM=BDcos65=9000.423381,DM=BDsin65=9000.906815, 381 3=127,120127150, 该中学楼梯踏步的高度符合规定, 8153272,260272300, 该中学楼梯踏

39、步的宽度符合规定, 由上可得,该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定 【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用,解答本题的关键是明确题意,利用锐角三角函数和 数形结合的思想解答 21.(本题 8 分)(2019海南)如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,点 P 是边 AD 上一点(与点 A、D 不重合) ,射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q (1)求证:PDEQCE; (2)过点 E 作 EFBC 交 PB 于点 F,连结 AF,当 PB=PQ 时, 求证:四边形 AFEP 是平行四边形; 请判断四边形 AFEP 是否为菱形,并说明理由 【解析】 (1)四边形

40、ABCD 是正方形, D=ECQ=90 , E 是 CD 的中点, DE=CE, 又DEP=CEQ, PDEQCE (2)PB=PQ, PBQ=Q, ADBC, APB=PBQ=Q=EPD, PDEQCE, PE=QE, EFBQ, PF=BF, 在 RtPAB 中,AF=PF=BF, APF=PAF, PAF=EPD, PEAF, EFBQAD, 四边形 AFEP 是平行四边形; 四边形 AFEP 不是菱形,理由如下: 设 PD=x,则 AP=1-x, 由(1)可得PDEQCE, CQ=PD=x, BQ=BC+CQ=1+x, 点 E、F 分别是 PQ、PB 的中点, EF 是PBQ 的中位线

41、, EF 1 2 BQ 1 2 x , 由知 AP=EF,即 1-x 1 2 x , 解得 x 1 3 , PD 1 3 ,AP 2 3 , 在 RtPDE 中,DE 1 2 , PE 22 13 6 PDDE, APPE, 四边形 AFEP 不是菱形 【名师点睛】本题是四边形的综合问题,解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与 性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点 22.(本题 11 分)(2019安徽)如图,RtABC 中,ACB=90 ,AC=BC,P 为ABC 内部一点,且 APB=BPC=135 (1)求证:PABPBC; (2)求证:PA=2PC;

42、(3)若点 P 到三角形的边 AB,BC,CA 的距离分别为 h1,h2,h3,求证 h12=h2 h3 【解析】 (1)ACB=90 ,AB=BC, ABC=45 =PBA+PBC, 又APB=135 , PAB+PBA=45 , PBC=PAB, 又APB=BPC=135 , PABPBC (2)PABPBC, PAPBAB PBPCBC , 在 RtABC 中,AB=AC, 2 AB BC , 22PBPCPAPB, , PA=2PC (3)如图,过点 P 作 PDBC,PEAC 交 BC、AC 于点 D,E, PF=h1,PD=h2,PE=h3, CPB+APB=135 +135 =2

43、70 , APC=90 , EAP+ACP=90 , 又ACB=ACP+PCD=90 , EAP=PCD, RtAEPRtCDP, 2 PEAP DPPC ,即 3 2 2 h h , h3=2h2, PABPBC, 1 2 2 hAB hBC , 12 2hh, 22 122223 22hhhhh h 即:h12=h2 h3 【名师点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定和性质, 等腰直角三角形的性质, 判断出EAP= PCD 是解本题的关键 23.(本题 13 分)(2019河南)如图,抛物线 y=ax2+ 1 2 x+c 交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C直 线 y= 1 2

44、x2 经过点 A,C (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 是抛物线上一动点,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 AC 于点 M,设点 P 的横坐标为 m 当PCM 是直角三角形时,求点 P 的坐标; 作点 B 关于点 C 的对称点 B,则平面内存在直线 l,使点 M,B,B到该直线的距离都相等当 点 P 在 y 轴右侧的抛物线上,且与点 B 不重合时,请直接写出直线 l:y=kx+b 的解析式(k,b 可用含 m 的式子表示) 【答案】(1)抛物线的解析式为 y= 1 4 x2+ 1 2 x2(2)点 P 的坐标为(-2,-2)或(6,10). 直线 l 的解析式为 y= 4 24 m m

45、 x2,y= 4 24 m m x2 或 y=x 3 4 m2 【解析】(1)直线y= 1 2 x2交x轴于点A,交y轴于点C, A(-4,0),C(0,-2). 抛物线y=ax2+ 1 2 x+c经过点A,C, 0162 2 ac c , 1 4 2 a c 抛物线的解析式为y= 1 4 x2+ 1 2 x2 (2)点P的横坐标为m,点P的坐标为(m, 1 4 m2+ 1 2 m2). 当PCM是直角三角形时,有以下两种情况: (i)当CPM=90 时,PCx轴, 1 4 x2+ 1 2 x2=-2. 解得m1=0(舍去),m2=-2. 当m=-2时, 1 4 m2+ 1 2 m2=-2. 点P的坐标为(-2,-2). (ii)当PCM=90 时,过点P作PNy轴于点N, CNP=AOC=90 . NCP+ACO=OAC+ACO=90 , :NCP=OAC,GNPAOC, CNPN AOCO , C(0,-2),N(0, 1 4 m2+ 1 2 m2),