1、绝密启用前绝密启用前 2020 年年山西省中考数学山西省中考数学预测预测卷卷三三 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 第第 I 卷选卷选 择择 题题 （ 共共 30 分分 ） 一一 、选选 择择 题题 （ 本本 大大 题题 共共 10 个个 小小 题题 ， 每每 小小 题题 3 分分 ， 共共 30 分分 ， 在在 每每 个个 小小 题题 给给 出出 的的 四四 个个 选选 项项 中中 ， 只只 有有 一 项 符 合 题 目 要一 项 符 合 题 目 要 求求 ， 请 选 出 并 在 答 题请 选
2、 出 并 在 答 题 卡卡 上上 将 该 项 涂 黑将 该 项 涂 黑 ） 1（2018安徽）的绝对值是( ) A. B. 8 C. D. 2（2018宿迁）下列运算正确的是( ) A. 632 aaa B. C. D. 3（2018 孝感）已知，则式子的值是( ) A. 48 B. C. 16 D. 12 4（2019重庆 A 卷）如图，在ABC 中，D 是 AC 边上的中点，连接 BD，把BDC沿 BD 翻折， 得到 BDC，DC 与 AB 交于点 E，连接AC，若 AD=AC=2，BD=3 则点 D 到 BC 的距离为( ) A 3 3 2 B 3 21 7 C 7 D 13 5. （2
3、019河南） 如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体， 将上层的小正方体平移后得到图 关 于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是( ) A主视图相同 B左视图相同 C俯视图相同 D三种视图都不相同 6（2018重庆 A 卷）若数 使关于 x 的不等式组有且只有四个整数解，且使关于 y 的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数 的和为( ) A. B. C. 1 D. 2 7（2018深圳）260000000 用科学计数法表示为( ) A. B. C. D. 8（2018娄底）关于 的一元二次方程的根的情况是( ) A. 有两不相等实数根；B. 有两相等实数根；C. 无实数根 D. 不能确定
4、 9 （2018江西） 在平面直角坐标系中， 分别过点,作 轴的垂线 和 ,探究直线 和 与双曲线 的关系，下列结论中错误 的是）( ) A. 两直线中总有一条与双曲线相交 B. 当=1 时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C. 当 时，两条直线与双曲线的交点在 轴两侧 D. 当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是 2 10 （2018深圳） 如图， 一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放， 为角与直尺交点，, 则光盘的直径是( ) A. 3 B. C. D. 第第 II卷卷 非非 选选 择择 题题 （ 共共 90 分分 ） 二二 、 填填 空空 题题 （ 本本 大大 题题 共
5、共 5 个个 小小 题题 ， 每每 小小 题题 3 分分 ， 共共 15 分分 ） 11（2018南京）如图，五边形是正五边形，若，则_ 12（2019广西）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图 书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是 13（2019重庆）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材 川香、贝母、黄连增加经济收入经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比是 4：3：5，根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种 中药材，经测算需将
6、余下土地面积的 9 16 种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植 总面积的 19 40 为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到 3：4，则该村还需种植贝母的 面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是_ 14（2019济宁）已知点 P（x，y）位于第四象限，并且 xy+4（x，y 为整数），写出一个符合上 述条件的点 P 的坐标_ 15（2019新疆）如图，在ABC 中，AB=AC=4，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 30 ，得到ACD，延 长 AD 交 BC 的延长线于点 E，则 DE 的长为_ 三三 、 解解 答答 题题 （ 本本 大大 题题 共共 8 个个 小小 题题 ， 共
7、共 75 分分 .解解 答答 应应 写写 出出 文文 字字 说说 明明 ， 证证 明明 过过 程程 或或 演演 算算 步步 骤骤 ） ） 16.（2018义乌）（ 本 题 共 2 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 10 分 ） (1)计算：. (2)解方程：. 17（本题 7 分）（2019温州）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AB 边上一点，过 点 C 作 CFAB 交 ED 的延长线于点 F （1）求证：BDECDF； （2）当 ADBC，AE=1，CF=2 时，求 AC 的长 18.（本题 9 分）（2019张家界）阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的
8、一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的 数称为第一项，记为 a1，排在第二位的数称为第二项，记为 a2，依此类推，排在第 n 位的数称 为第 n 项，记为 an所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，an， 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示如：数列 1，3，5，7，为 等差数列，其中 a1=1，a2=3，公差为 d=2 根据以上材料，解答下列问题： （1）等差数列 5，10，15，的公差 d 为 5，第 5 项是_ （2）如果一个数列 a1，a2，a3，
9、an，是等差数列，且公差为 d，那么根据定义可得到： a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，an-an-1=d， 所以 a2=a1+d， a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d， a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d， 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an=a1+_d （3）-4041 是不是等差数列-5，-7，-9的项？如果是，是第几项？ 19（本题 8 分）（2019梧州）我市某超市销售一种文具，进价为 5 元/件售价为 6 元/件时，当 天的销售量为 100 件在销售过程中发现：售价每上涨 0.5 元，当天的销售量就减少 5 件设 当天销售单价统一为 x
10、元/件（x6，且 x 是按 0.5 元的倍数上涨），当天销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于 240 元，求当天销售单价所在的范围； （3）若每件文具的利润不超过 80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并 求出最大利润 20 （本题 9 分） （2019甘肃） 为了保证人们上下楼的安全， 楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制 中 小学楼梯宽度的范围是 260mm300mm 含（300mm），高度的范围是 120mm150mm（含 150mm）如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD 分
11、别垂直平分踏步 EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，ACD=65 ，试问该中学楼梯踏步的宽度和 高度是否符合规定（结果精确到 1mm，参考数据：sin650.906，cos650.423） 21.（本题 8 分）（2019海南）如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，点 P 是边 AD 上一点（与点 A、D 不重合） ，射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q （1）求证：PDEQCE； （2）过点 E 作 EFBC 交 PB 于点 F，连结 AF，当 PB=PQ 时， 求证：四边形 AFEP 是平行四边形； 请判断四边形 AFEP 是否为菱形
12、，并说明理由 22.（本题 11 分）（2019安徽）如图，RtABC 中，ACB=90 ，AC=BC，P 为ABC 内部一点，且 APB=BPC=135 （1）求证：PABPBC； （2）求证：PA=2PC； （3）若点 P 到三角形的边 AB，BC，CA 的距离分别为 h1，h2，h3，求证 h12=h2 h3 23.（本题 13 分）（2019河南）如图，抛物线 y=ax2+ 1 2 x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C直 线 y= 1 2 x2 经过点 A，C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M
13、，设点 P 的横坐标为 m 当PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标； 作点 B 关于点 C 的对称点 B，则平面内存在直线 l，使点 M，B，B到该直线的距离都相等当 点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l：y=kx+b 的解析式（k，b 可用含 m 的式子表示） 答案答案卷卷 第第 I 卷卷 选选 择择 题题 （ 共共 30 分分 ） 一一 、选选 择择 题题 （ 本本 大大 题题 共共 10 个个 小小 题题 ， 每每 小小 题题 3 分分 ， 共共 30 分分 ， 在在 每每 个个 小小 题题 给给 出出 的的 四四 个个 选选 项项 中中 ， 只
14、只 有有 一 项 符 合 题 目 要一 项 符 合 题 目 要 求求 ， 请 选 出 并 在 答 题请 选 出 并 在 答 题 卡卡 上上 将 该 项 涂 黑将 该 项 涂 黑 ） 1（2018安徽）的绝对值是( ) A. B. 8 C. D. 【答案】B 【分析】根据绝对值的定义“一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离”进行解答即可. 【详解】数轴上表示数-8 的点到原点的距离是 8，所以-8 的绝对值是 8，故选 B. 【名师点睛】本题主要考查了绝对值的概念，熟记绝对值的概念是解题的关键. 2（2018宿迁）下列运算正确的是( ) A. 632 aaa B. C. D. 【答案】
15、C 【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项的法则逐项进行 计算即可得. 【详解】A. 5 32 aaa ，故 A 选项错误； B. a2 与 a1 不是同类项，不能合并，故 B 选项错误； C. ，故 C 选项正确； D. ，故 D 选项错误， 故选 C. 【名师点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项等运算， 熟练掌握有关的运算法则是解题的关键. 3（2018 孝感）已知，则式子的值是( ) A. 48 B. C. 16 D. 12 【答案】D 【解析】分析：先通分算加法，再算乘法，最后代入求出即可 详解：（x-y+）（x+y
16、-）= =（x+y）（x-y）， 当 x+y=4，x-y=时，原式=4 =12， 故选：D 【名师点睛】本题主要考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此 题的关键 4（2019重庆 A 卷）如图，在ABC 中，D 是 AC 边上的中点，连接 BD，把BDC沿 BD 翻折， 得到 BDC，DC 与 AB 交于点 E，连接AC，若 AD=AC=2，BD=3 则点 D 到 BC 的距离为( ) A 3 3 2 B 3 21 7 C 7 D 13 【答案】B 【解析】如图，连接 CC，交 BD 于点 M，过点 D 作 DHBC于点 H， AD=AC=2，D 是 AC 边上的中
17、点，DC=AD=2， 由翻折知，BDCBDC，BD 垂直平分 CC，DC=DC=2，BC=BC，CM=CM， AD=AC=DC=2， ADC为等边三角形，ADC=ACD=CAC=60 ， DC=DC，DCC=DCC= 1 2 60 =30 ， 在 RtCDM 中，DCC=30 ，DC=2，DM=1，CM= 3DM=3，.BM=BD-DM=3-1=2， 在 RtBMC 中，BC= 2222 2( 3)7BMC M ， 11 22 BDC SBC DHBD CM ，733DH ，.BM=BD-DM=3-1=2， 在 RtCDM 中， 2222 2( 3)7BCBMC M ， 11 22 BDC S
18、BC DHBD CM ，733DH ， 3 21 7 DH ，故选 B 【名师点睛】本题主要考查了直角三角形. 5. （2019河南） 如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体， 将上层的小正方体平移后得到图 关 于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是( ) A主视图相同 B左视图相同 C俯视图相同 D三种视图都不相同 【答案】C 【解析】图的三视图为： 图的三视图为：，故选 C 【名师点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视 图的空间想象能力 6（2018重庆 A 卷）若数 使关于 x 的不等式组有且只有四个整数解，且使关于 y 的方程的解为非负数，则
19、符合条件的所有整数 的和为( ) A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，根据只有四个整数解确定出 a 的取值范围，解分式方程后根 据解为非负数，可得关于 a 的不等式组，解不等式组求得 a 的取值范围，即可最终确定出 a 的范围， 将范围内的整数相加即可得. 【详解】解不等式，得， 由于不等式组只有四个整数解，即只有 4 个整数解， ，； 解分式方程，得， 分式方程的解为非负数， ， a2 且 a1， 且 a1， 符合条件的所有整数 为：-1，0，2， 和为：-1+0+2=1， 故选 C. 【名师点睛】本题主要考查了含有参数的不等式和含有参数的分式方
20、程的应用，熟练掌握不等式组 的解法、分式方程的解法以及解分式方程需要注意的事项是解题的关键. 7（2018深圳）260000000 用科学计数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|1 时，n 是正数；当原数的绝对值0， 方程有两个不相等实数根，故选 A. 【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0，a，b，c 为常数）的根的判别式 =b2-4ac当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程没有实数根 9 （2018江西） 在平面直角坐标系中， 分别过点
21、,作 轴的垂线 和 ,探究直线 和 与双曲线 的关系，下列结论中错误 的是）( ) A. 两直线中总有一条与双曲线相交 B. 当=1 时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C. 当 时，两条直线与双曲线的交点在 轴两侧 D. 当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意给定 m 特定值、非特定值分别进行讨论即可得. 【详解】当=0 时， 与双曲线有交点，当=-2 时， 与双曲线有交点， 当时，和双曲线都有交点，所以 正确，不符合题意； 当时，两交点分别是(1，3)，(3，1)，到原点的距离都是，所以 正确，不符合题意； 当 时， 在 轴的左
22、侧， 在 轴的右侧，所以 正确，不符合题意； 两交点分别是)，两交点的距离是 ，当无限大时，两交点的 距离趋近于 2，所以 不正确，符合题意， 故选 D. 【名师点睛】本题主要考查了垂直于 x 轴的直线与反比例函数图象之间的关系，利用特定值，分情 况进行讨论是解本题的关键，本题有一定的难度. 10 （2018深圳） 如图， 一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放， 为角与直尺交点，, 则光盘的直径是( ) A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设光盘圆心为 O，连接 OC，OA，OB，由 AC、AB 都与圆 O 相切，利用切线长定 理得到AO平分BAC， 且OC垂直于AC，
23、OB垂直于AB， 可得出CAO=BAO=60 ， 得到AOB=30 ， 利用 30 所对的直角边等于斜边的一半求出 OA 的长，再利用勾股定理求出 OB 的长，即可确定出光 盘的直径 【详解】如图，设光盘圆心为 O，连接 OC，OA，OB， AC、AB 都与圆 O 相切， AO 平分BAC，OCAC，OBAB， CAO=BAO=60 ， AOB=30 ， 在 RtAOB 中，AB=3cm，AOB=30 ， OA=6cm， 根据勾股定理得：OB=3， 则光盘的直径为 6， 故选 D. 【名师点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，含 30 角的直角三角形的性质，以及勾股定 理，熟练掌握切线的
24、性质是解本题的关键 第第 II卷卷 非非 选选 择择 题题 （ 共共 90 分分 ） 二二 、 填填 空空 题题 （ 本本 大大 题题 共共 5 个个 小小 题题 ， 每每 小小 题题 3 分分 ， 共共 15 分分 ） 11（2018南京）如图，五边形是正五边形，若，则_ 【答案】72 【解析】分析：延长 AB 交 于点 F，根据得到2=3,根据五边形是正五边形得到 FBC=72 ,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出. 详解：延长 AB 交 于点 F， ， 2=3， 五边形是正五边形， ABC=108 , FBC=72 , 1-2=1-3=FBC=72 故答案为：72
25、. 【名师点睛】本题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键. 12（2019广西）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图 书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是 【答案】 2 9 【解析】图书馆，博物馆，科技馆分别记为 A、B、C，画树状图如下： 共有 9 种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为 3， 所以两人恰好选择同一场馆的概率= 3 9 = 1 3 故选 A 【名师点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事
26、件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率 13（2019重庆）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材 川香、贝母、黄连增加经济收入经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比是 4：3：5，根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种 中药材，经测算需将余下土地面积的 9 16 种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植 总面积的 19 40 为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到 3：4，则该村还需种植贝母的 面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是_ 【答案】3：20 【解
27、析】设该村已种药材面积为 x，余下土地面积为 y，还需种植贝母的面积为 z，则总面积为 （x+y），川香已种植面积 1 3 x、贝母已种植面积 1 4 x，黄连已种植面积 5 12 x 依题意可得， 5919 () 121640 191 ():()3:4 3164 xyxy xyyzxz ， 由得 x= 3 2 y，将代入，z= 3 8 y， 贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比= 3 3 8 3 20 2 y z xy yy ， 故答案为 3：20 【名师点睛】本题考查了三元一次方程组，正确找出等量关系并列出方程是解题的关键 14（2019济宁）已知点 P（x，y）位于第四象限，并且
28、 xy+4（x，y 为整数），写出一个符合上 述条件的点 P 的坐标_ 【答案】（1，2）（答案不唯一） 【解析】点 P（x，y）位于第四象限，并且 xy+4（x，y 为整数），x0，y0， 当 x=1 时，1y+4，解得3y0，y 可以为：2， 故写一个符合上述条件的点 P 的坐标可以为：（1，2）（答案不唯一） 故答案为：（1，2）（答案不唯一） 【名师点睛】此题主要考查了点的坐标，正确把握横纵坐标的符号特征是解题关键 15（2019新疆）如图，在ABC 中，AB=AC=4，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 30 ，得到ACD，延 长 AD 交 BC 的延长线于点 E，则 DE 的长为_ 【
29、答案】2 32 【解析】根据旋转过程可知：CAD=30 =CAB，AC=AD=4 BCA=ACD=ADC=75 ECD=180 2 75 =30 E=75 30 =45 过点 C 作 CHAE 于 H 点， 在 RtACH 中，CH= 1 2 AC=2，AH=2 3 HD=ADAH=42 3 在 RtCHE 中，E=45 ， EH=CH=2 DE=EHHD=2（42 3）=232 故答案为 2 32 【名师点睛】本题主要考查了旋转的性质以及特殊直角三角形的性质，解题的关键是作垂线构 造直角三角形，利用线段的和差求解即可 三三 、 解解 答答 题题 （ 本本 大大 题题 共共 8 个个 小小 题
30、题 ， 共共 75 分分 .解解 答答 应应 写写 出出 文文 字字 说说 明明 ， 证证 明明 过过 程程 或或 演演 算算 步步 骤骤 ） ） 16.（2018义乌）（ 本 题 共 2 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 10 分 ） (1)计算：. (2)解方程：. 【答案】 （1）2； （2），. 【解析】分析： （1）首先计算特殊角的三角函数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂，然后 再计算加减即可； （2）首先计算，然后再利用求根公式进行计算即可 详解： （1）原式=2-2-1+3=2； （2）a=1，b=-2，c=-1， =b2-4ac=4+4=80， 方程有两个不相等
31、的实数根， x=， 则 x1=1+，x2=1- 【名师点睛】本题主要考查了实数的运算和一元二次方程的解法，关键是熟练掌握特殊角的三角函 数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂以及一元二次方程的求根公式 17（本题 7 分）（2019温州）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AB 边上一点，过 点 C 作 CFAB 交 ED 的延长线于点 F （1）求证：BDECDF； （2）当 ADBC，AE=1，CF=2 时，求 AC 的长 【解析】（1）CFAB， BFCDBEDF ， AD是BC边上的中线，BDCD， BDECDF （2）BDECDF， 2BECF， 1 23ABA
32、EBE ADBCBDCD， 3ACAB 【名师点睛】本题主要考查了全等三角形. 18.（本题 9 分）（2019张家界）阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的 数称为第一项，记为 a1，排在第二位的数称为第二项，记为 a2，依此类推，排在第 n 位的数称 为第 n 项，记为 an所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，an， 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示如：数列 1，3，5，7，为 等差数列，其中 a1=1，a2
33、=3，公差为 d=2 根据以上材料，解答下列问题： （1）等差数列 5，10，15，的公差 d 为 5，第 5 项是_ （2）如果一个数列 a1，a2，a3，an，是等差数列，且公差为 d，那么根据定义可得到： a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，an-an-1=d， 所以 a2=a1+d， a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d， a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d， 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an=a1+_d （3）-4041 是不是等差数列-5，-7，-9的项？如果是，是第几项？ 【解析】（1）根据题意得，d=10-5=5 a3=15，a4=a3
34、+d=15+5=20，a5=a4+d=20+5=25，故答案为：5；25 （2）a2=a1+d，a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d， a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d， an=a1+（n-1）d，故答案为：n-1 （3）根据题意得， 等差数列-5，-7，-9的项的通项公式为：an=-5-2（n-1）， 则-5-2（n-1）=-4041， 解之得：n=2019， -4041 是等差数列-5，-7，-9，的项，它是此数列的第 2019 项 【名师点睛】本题考查了学生的分析、阅读等自学能力，解题的关键是要认真阅读题目，理解 题目呈现的数学思想及数学方法 19（本题 8 分）（
35、2019梧州）我市某超市销售一种文具，进价为 5 元/件售价为 6 元/件时，当 天的销售量为 100 件在销售过程中发现：售价每上涨 0.5 元，当天的销售量就减少 5 件设 当天销售单价统一为 x 元/件（x6，且 x 是按 0.5 元的倍数上涨），当天销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于 240 元，求当天销售单价所在的范围； （3）若每件文具的利润不超过 80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并 求出最大利润 【解析】（1）由题意，y=（x-5）（100- 6 0.5 x 5）=-10x2+2
36、10x-800， 故 y 与 x 的函数关系式为：y=-10x2+210x-800 （2）要使当天利润不低于 240 元，则 y240， y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240， 解得，x1=8，x2=13， -100，抛物线的开口向下， 当天销售单价所在的范围为 8x13 （3）每件文具利润不超过 80%， 5 0.8 x x ，得 x9， 文具的销售单价为 6x9， 由（1）得 y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5， 对称轴为 x=10.5， 6x9 在对称轴的左侧，且 y 随着 x 的增大而增大， 当 x=9 时，
37、取得最大值，此时 y=-10（9-10.5）2+302.5=280， 即每件文具售价为 9 元时，最大利润为 280 元 【名师点睛】本题主要考查了二次函数关系式、二次函数图像和性质. 20 （本题 9 分） （2019甘肃） 为了保证人们上下楼的安全， 楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制 中 小学楼梯宽度的范围是 260mm300mm 含（300mm），高度的范围是 120mm150mm（含 150mm）如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD 分别垂直平分踏步 EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，ACD=65 ，试问该中学楼梯踏步的宽度和 高度是否符
38、合规定（结果精确到 1mm，参考数据：sin650.906，cos650.423） 【答案】该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定 【解析】如图，连接 BD，作 DMAB 于点 M， AB=CD，AB，CD 分别垂直平分踏步 EF，GH， ABCD，AB=CD， 四边形 ABDC 是平行四边形， C=ABD，AC=BD， C=65 ，AC=900， ABD=65 ，BD=900， BM=BDcos65=9000.423381，DM=BDsin65=9000.906815， 381 3=127，120127150， 该中学楼梯踏步的高度符合规定， 8153272，260272300， 该中学楼梯踏
39、步的宽度符合规定， 由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定 【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和 数形结合的思想解答 21.（本题 8 分）（2019海南）如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，点 P 是边 AD 上一点（与点 A、D 不重合） ，射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q （1）求证：PDEQCE； （2）过点 E 作 EFBC 交 PB 于点 F，连结 AF，当 PB=PQ 时， 求证：四边形 AFEP 是平行四边形； 请判断四边形 AFEP 是否为菱形，并说明理由 【解析】 （1）四边形
40、ABCD 是正方形， D=ECQ=90 ， E 是 CD 的中点， DE=CE， 又DEP=CEQ， PDEQCE （2）PB=PQ， PBQ=Q， ADBC， APB=PBQ=Q=EPD， PDEQCE， PE=QE， EFBQ， PF=BF， 在 RtPAB 中，AF=PF=BF， APF=PAF， PAF=EPD， PEAF， EFBQAD， 四边形 AFEP 是平行四边形； 四边形 AFEP 不是菱形，理由如下： 设 PD=x，则 AP=1-x， 由（1）可得PDEQCE， CQ=PD=x， BQ=BC+CQ=1+x， 点 E、F 分别是 PQ、PB 的中点， EF 是PBQ 的中位线
41、， EF 1 2 BQ 1 2 x ， 由知 AP=EF，即 1-x 1 2 x ， 解得 x 1 3 ， PD 1 3 ，AP 2 3 ， 在 RtPDE 中，DE 1 2 ， PE 22 13 6 PDDE， APPE， 四边形 AFEP 不是菱形 【名师点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与 性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点 22.（本题 11 分）（2019安徽）如图，RtABC 中，ACB=90 ，AC=BC，P 为ABC 内部一点，且 APB=BPC=135 （1）求证：PABPBC； （2）求证：PA=2PC；
42、（3）若点 P 到三角形的边 AB，BC，CA 的距离分别为 h1，h2，h3，求证 h12=h2 h3 【解析】 （1）ACB=90 ，AB=BC， ABC=45 =PBA+PBC， 又APB=135 ， PAB+PBA=45 ， PBC=PAB， 又APB=BPC=135 ， PABPBC （2）PABPBC， PAPBAB PBPCBC ， 在 RtABC 中，AB=AC， 2 AB BC ， 22PBPCPAPB， ， PA=2PC （3）如图，过点 P 作 PDBC，PEAC 交 BC、AC 于点 D，E， PF=h1，PD=h2，PE=h3， CPB+APB=135 +135 =2
43、70 ， APC=90 ， EAP+ACP=90 ， 又ACB=ACP+PCD=90 ， EAP=PCD， RtAEPRtCDP， 2 PEAP DPPC ，即 3 2 2 h h ， h3=2h2， PABPBC， 1 2 2 hAB hBC ， 12 2hh， 22 122223 22hhhhh h 即：h12=h2 h3 【名师点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定和性质， 等腰直角三角形的性质， 判断出EAP= PCD 是解本题的关键 23.（本题 13 分）（2019河南）如图，抛物线 y=ax2+ 1 2 x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C直 线 y= 1 2
44、x2 经过点 A，C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐标为 m 当PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标； 作点 B 关于点 C 的对称点 B，则平面内存在直线 l，使点 M，B，B到该直线的距离都相等当 点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l：y=kx+b 的解析式（k，b 可用含 m 的式子表示） 【答案】（1）抛物线的解析式为 y= 1 4 x2+ 1 2 x2（2）点 P 的坐标为（-2，-2）或（6，10）. 直线 l 的解析式为 y= 4 24 m m
45、 x2，y= 4 24 m m x2 或 y=x 3 4 m2 【解析】（1）直线y= 1 2 x2交x轴于点A，交y轴于点C， A（-4，0），C（0，-2）. 抛物线y=ax2+ 1 2 x+c经过点A，C， 0162 2 ac c ， 1 4 2 a c 抛物线的解析式为y= 1 4 x2+ 1 2 x2 （2）点P的横坐标为m，点P的坐标为（m， 1 4 m2+ 1 2 m2）. 当PCM是直角三角形时，有以下两种情况： （i）当CPM=90 时，PCx轴， 1 4 x2+ 1 2 x2=-2. 解得m1=0（舍去），m2=-2. 当m=-2时， 1 4 m2+ 1 2 m2=-2. 点P的坐标为（-2，-2）. （ii）当PCM=90 时，过点P作PNy轴于点N， CNP=AOC=90 . NCP+ACO=OAC+ACO=90 ， ：NCP=OAC，GNPAOC， CNPN AOCO ， C（0，-2），N（0， 1 4 m2+ 1 2 m2），
