1、 1 专题专题 4：折叠问题折叠问题 【典例引领】【典例引领】 例：如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在直线 BC 上，连接 AE将ABE 沿 AE 所在直线折叠，点 B 的 对应点是点 B，连接 AB并延长交直线 DC 于点 F （1）当点 F 与点 C 重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）； （2）（2）当点 F 在 DC 的延长线上时如图（2），当点 F 在 CD 的延长线上时如图（3），线段 DF、BE、 AF 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明 【强化训练】【强化训练】 1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的
2、折叠、旋转”为主题开展数学活动， 探究线段长度的有关问题. 动手操作：如图 1，在直角三角形纸片 ABC 中，BAC90 ，AB6，AC8.将三角形纸片 ABC 进行 以下操作： 2 第一步：折叠三角形纸片 ABC 使点 C 与点 A 重合，然后展开铺平，得到折痕 DE； 第二步：将ABC 沿折痕 DE 展开，然后将DEC 绕点 D 逆时针方向旋转得到DFG，点 E，C 的对应 点分别是点 F， G， 射线 GF 与边 AC 交于点 M(点 M 不与点 A 重合)， 与边 AB 交于点 N， 线段 DG 与 边 AC 交于点 P. 数学思考： （1）求 DC 的长； （2）在DEC 绕点 D
3、旋转的过程中，试判断 MF 与 ME 的数量关系，并证明你的结论； 问题解决： （3）在DEC 绕点 D 旋转的过程中，探究 下列问题： 如图 2，当 GFBC 时，求 AM 的长； 如图 3，当 GF 经过点 B 时，AM 的长为 当DEC 绕点 D 旋转至 DE 平分FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的DFG 和射线 GF，并直 接写出 AM 的长（要求：尺规作图 ，不写作法，保留 作图痕迹，标记出所有相应的字母） 2（2016 内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片 ACB，其中ACB=90 ，AC=4，BC=3，E、F 分别是 AC、AB 边上点，连接 EF （1） 图， 若
4、将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠， 折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处， 且使 S四边形ECBF=3SEDF， 求 AE 的长； （2）如图，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 BC 边上的点 M 处，且使 MFCA 试判断四边形 AEMF 的形状，并证明你的结论； 求 EF 的长； （3）如图，若 FE 的延长线与 BC 的延长线交于点 N，CN=1，CE= ，求 的值 3 3如图 1，四边形的对角线相交于点， ，. （1）填空：与的数量关系为 ； （2）求的值； （3） 将沿翻折， 得到（如图 2） ， 连接， 与相交于点.若， 求的长. 4 4RtABC 中，ACB90 ，AC3，BC7，点 P 是边 AC 上不与点 A、C 重合的一点，作 PDBC 交 AB 边于点 D （1）如图 1，将APD 沿直线 AB 翻折，得到APD，作 AEPD求证：AEED； （2）将APD 绕点 A 顺时针旋转，得到APD，点 P、D 的对应点分别为点 P、D， 如图 2，当点 D在ABC 内部时，连接 PC 和 DB，求证：APCADB； 如果 AP：PC5：1，连接 DD，且 DD AD，那么请直接写出点 D到直线 BC 的距离 5