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2018-2019学年江苏省常州市高二(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019 学年江苏省常州市高二(上)期末数学试卷一、填空题:本大题共 16 小题,每小题小题,每小题 5 分,共计分,共计 70 分,不需要写出解答过程,请将答分,不需要写出解答过程,请将答 案填写在答题卡相应的位置上案填写在答题卡相应的位置上 1 (5 分)过点(0,1) , (2,0)的直线的斜率为 2 (5 分)命题“xR,x2+2x+10”的否定是 命题 (选填“真” 、 “假”之一) 3 (5 分)抛物线 y24x 的准线方程是 4 (5 分)与正方体各面都相切的球,它的体积与该正方体的体积之比为 5 (5 分)若抛物线的顶点为坐标原点,焦点在 y 轴上,且经过点(1,4)

2、 ,则抛物线的 方程为 6 (5 分) (文科做)曲线 yex+1 在 x0 处的切线方程为 7 (理科做)在空间直角坐标系 Oxyz 中,若三点 A(1,5,2) ,B(2,4,1) ,C(a, 3,b)共线,则 a+b 8 (5 分)设 aR,则“a1”是“|a|1”的 条件 (选填“充分不必要” , “必要 不充分” , “充要” , “既不充分也不必要”之一) 9 (5 分)若方程+1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围 是 10 (5 分)一个正四棱锥的底面边长为 3cm,侧棱长为 5cm,则它的体积为 cm3 11 (5 分)双曲线y21(其中 a0)的离心率为 2

3、,则实数 a 的值为 12 (5 分) (文科做)已知函数 f(x)x3+x2x 在(a,a+2)上存在极小值,则实数 a 的 取值范围为 13 (理科做)在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC2AA1,则直线 AC1与 B1C 所成角 的余弦值为 14 (5 分)设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面在下列命题中,有且仅 有一个是真命题,它的序号是 若 mn,n,则 m; 若 m,则 m; mn,n,则 m; 若 m,n,n,则 m 第 2 页(共 21 页) 15 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆+1(ab0)的左,右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,射线

4、 AF2交椭圆于 B若AF1B 的面积为 40,内角 A 为 60, 则椭圆的焦距为 16 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:ykx5(其中 k0)上存在点 P,在圆 C:x2+(y1)21 上存在两个不同的两点 M,N,使得点 M 是线段 PN 的中点,则实 数 k 的最小值是 二、解答题:本大题共二、解答题:本大题共 7 小题,共计小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字分,请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤说明,证明过程或演算步骤 17 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (xm) 2+(y+2

5、)29(其中 mR) 设 p:点(1,2)在圆 C1内,设 q:圆 C1与圆 C2: (x+1)2+(y1)24 外离 (1)若 p 为真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 为真命题,求 m 的取值范围; (3)若“p 或 q”为真命题,求 m 的取值范围 18 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,BCAB,E,F 分别为 BC,CD 的中点,且 PF平面 ABCD求证: (1)EF平面 PBD; (2)AE平面 PEF 19 (14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 双曲线 C1:1 (m0, n0) 经过点 (, 0) ,其中一条近线的方程为 yx

6、,椭圆 C2:+1(ab0)与双曲线 C1有 相同的焦点椭圆 C2的左焦点,左顶点和上顶点分别为 F,A,B,且点 F 到直线 AB 的 距离为 第 3 页(共 21 页) (1)求双曲线 C1的方程; (2)求椭圆 C2的方程 20 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C: (x4)2+y29 与 x 轴交于 A,B 两点 (其中点 A 在点 B 左侧) ,直线 l 过点(1,4) (1)若直线 l 与圆 C 相切,求直线 l 的方程; (2)若直线 l 上存在点 M,满足 MA2MB 求直线 l 的斜率的取值范围; 若点 M 不在 x 轴上,求MAB 面积的最大值及此时直线

7、l 的方程 21 (16 分) (文科做)已知函数 f(x)x3(a+1)x2+x (1)若 a0,求 f(x)的单调减区间; (2)当 a 在区间(0,1)上变化时,求 f(x)的极小值的最大值 22 (理科做)如图,正四棱锥 VABCD 底面边长为 4,侧棱长为以该正四棱锥的底 面中心 O 为坐标原点建立直角坐标系 Oxyz,其中 OxBC,OyAB,E 为 VC 中点 (1)求向量,的夹角的余弦值; (2)求二面角 BVCD 的余弦值 23 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆+1(ab0)过点(1,e) , (e,) ,其中 e 为椭圆的离心率,过定点 N(m,0) (

8、0ma)的动直线 l 与椭圆交 于 A,B 两点 (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆的右准线与 x 轴的交点为 M,若OMAOMB 总成立,求 m 的值; 第 4 页(共 21 页) (3)是否存在定点 M(x0,0) (其中 x0a) ,使得OMAOMB 总成立?如 果存在,求出点 M 的坐标(用 m 表示 x0) ;如果不存在,请说明理由 第 5 页(共 21 页) 2018-2019 学年江苏省常州市高二(上)期末数学试卷学年江苏省常州市高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共一、填空题:本大题共 16 小题,每小题小题,每小题 5 分,共计分,

9、共计 70 分,不需要写出解答过程,请将答分,不需要写出解答过程,请将答 案填写在答题卡相应的位置上案填写在答题卡相应的位置上 1 (5 分)过点(0,1) , (2,0)的直线的斜率为 【分析】根据直线的斜率公式直接进行计算即可 【解答】解:根据直线的斜率公式得 k, 故答案为: 【点评】本题主要考查直线斜率的计算,根据两点间直线斜率公式是解决本题的关键 2 (5 分)命题“xR,x2+2x+10”的否定是 假 命题 (选填“真” 、 “假”之一) 【分析】根据条件判断特称命题为真命题,则命题的否定为假命题 【解答】解:由 x2+2x+10 得(x+1)20,x1, 则命题“xR,x2+2x

10、+10”是真命题, 则命题的否定是假命题, 故答案为:假 【点评】本题主要考查命题真假的判断,结合含有量词的命题的否定的真假关系是解决 本题的关键 3 (5 分)抛物线 y24x 的准线方程是 x1 【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出 p,再根据开口方向,写出其准线方程 【解答】解:2p4, p2,开口向右, 准线方程是 x1 故答案为 x1 【点评】 根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程, 一定要先化为标准形式, 求出的 值,再确定开口方向,否则,极易出现错误 4 (5 分)与正方体各面都相切的球,它的体积与该正方体的体积之比为 【分析】设球的半径为 r,可得出正方体的棱长为 2r,再

11、利用球体的体积公式与正方体 第 6 页(共 21 页) 的体积公式可得出答案 【解答】解:设球的半径为 r,则正方体的棱长为 2r,所以,正方体的体积为(2r)3 8r3,球的体积为 所以,球的体积与正方体的体积之比为 故答案为: 【点评】本题考查球体的体积与正方体的体积公式,解决本题的关键在于弄清楚正方体 内切球的半径与正方体棱长之间的关系,考查计算能力,属于中等题 5 (5 分)若抛物线的顶点为坐标原点,焦点在 y 轴上,且经过点(1,4) ,则抛物线的 方程为 x2y 【分析】由题意设出抛物线方程,再由抛物线经过点(1,4)求得 p,则抛物线方程可 求 【解答】解:由题意可设抛物线方程为

12、 x22py(p0) , 抛物线经过点(1,4) ,18p,得 p 抛物线的方程为 故答案为:x2y 【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的简单性质,是基础题 6 (5 分) (文科做)曲线 yex+1 在 x0 处的切线方程为 yx+2 【分析】求得 yex+1 的导数,可得切线的斜率和切点,由斜截式方程可得切线方程 【解答】解:yex+1 的导数为 yex, 可得曲线 yex+1 在 x0 处的切线斜率为 k1,切点为(0,2) , 即有切线方程为 yx+2 故答案为:yx+2 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程,考查导数的几何意义,直线方程的运用, 考查方程思想,属于基础题

13、7 (理科做)在空间直角坐标系 Oxyz 中,若三点 A(1,5,2) ,B(2,4,1) ,C(a, 3,b)共线,则 a+b 7 第 7 页(共 21 页) 【分析】由题意知、共线,列方程求出 a、b 的值,再求和 【解答】解:空间直角坐标系 Oxyz 中,三点 A(1,5,2) ,B(2,4,1) ,C(a,3, b)共线, 则(1,1,3) , (a1,2,b+2) ; , 解得 a3,b4, a+b7 故答案为:7 【点评】本题考查了空间直角坐标系的三点共线问题,是基础题 8 (5 分)设 aR,则“a1”是“|a|1”的 充分不必要条件 条件 (选填“充分不必 要” , “必要不充

14、分” , “充要” , “既不充分也不必要”之一) 【分析】由绝对值不等式的解法得:由“|a|1” ,得 a1 或 a1, 由充分必要条件的有关知识可得: “a1”是“|a|1”的充分不必要条件,得解 【解答】解:解绝对值不等式“|a|1” ,得 a1 或 a1, 又“a1”是“a1 或 a1”的充分不必要条件, 即“a1”是“|a|1”的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要条件 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法及充分必要条件,属简单题 9(5 分) 若方程+1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则实数 a 的取值范围是 ( 2,2) 【分析】由题意可得 a2+52a2+1,由二次不等式的解

15、法,可得所求范围 【解答】解:由题意可得 a2+52a2+1, 即 a24,可得2a2, 即 a 的曲折范围是(2,2) 故答案为: (2,2) 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查不等式的解法,考查运算能力,属于基础题 第 8 页(共 21 页) 10 (5 分)一个正四棱锥的底面边长为 3cm,侧棱长为 5cm,则它的体积为 24 cm3 【分析】由已知求得正四棱锥的底面积与高,代入棱锥体积公式求解 【解答】解:如图, 正四棱锥的底面边长为 3cm,SABCD18cm3 连接 AC,BD,交于 O,连接 PO,则 PO底面 ABCD, OCcm, 又棱长 PC5cm,OPcm, cm3

16、故答案为:24 【点评】本题考查棱锥体积的求法,是基础的计算题 11 (5 分)双曲线y21(其中 a0)的离心率为 2,则实数 a 的值为 【分析】求得双曲线的 c,由离心率公式,解方程可得 a 的值 【解答】解:双曲线y21 的 b1,c, 可得 e2, 解得 a, 故答案为: 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是离心率公式的运用,考查方程思想和运 算能力,属于基础题 12 (5 分) (文科做)已知函数 f(x)x3+x2x 在(a,a+2)上存在极小值,则实数 a 的 第 9 页(共 21 页) 取值范围为 (,) 【分析】求导函数 f(x) ,判断其极小值点,从而求得 a 取值

17、范围 【解答】由函数 f(x)x3+x2x 得 f(x)3x2+2x1 令 f(x)3x2+2x10,解得 x(1,) ,f(x)0 且 x(,+) ,f(x)0 为 f(x)的极小值点 函数 f(x)在区间(a,a+2)上存在极小值 即 故答案为: 【点评】本题主要考察导数研究函数极小值的知识点,运用求导思想方法 13 (理科做)在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC2AA1,则直线 AC1与 B1C 所成角 的余弦值为 【分析】以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空间直角坐标系,利 用向量法能求出直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值 【解答】

18、解:在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC2AA1, 以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 ABBC2AA12, 则 A(2,0,0) ,C1(0,2,1) ,B1(2,2,1) , C(0,2,0) , (2,2,1) ,(2,0,1) , 设直线 AC1与 B1C 所成角为 , 则 cos 直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值为 第 10 页(共 21 页) 故答案为: 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题 14 (5

19、 分)设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面在下列命题中,有且仅 有一个是真命题,它的序号是 若 mn,n,则 m; 若 m,则 m; mn,n,则 m; 若 m,n,n,则 m 【分析】在中,m 与 相交、平行或 m; 在中,m 与 相交、平行或 m;在中,m 与 相交、平行或 m; 在中,由线面垂直的判定定理得 m 【解答】解:由 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,知: 在中,若 mn,n,则 m 与 相交、平行或 m,故错误; 在中,若 m,则 m 与 相交、平行或 m,故错误; 在中,mn,n,则 m 与 相交、平行或 m,故错误; 在中,若 m,n,n,则由线面

20、垂直的判定定理得 m,故正确 故答案为: 【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题 15 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆+1(ab0)的左,右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,射线 AF2交椭圆于 B若AF1B 的面积为 40,内角 A 为 60, 则椭圆的焦距为 10 第 11 页(共 21 页) 【分析】由题意可得AF1F2为等边三角形,可得椭圆方程为 3x2+4y212c2,设直线 AB 的方程为 xy+c,代入椭圆方程,求得 A,B 的纵坐标,由三角形的面积公式,解 方程可得 c

21、,即可得到焦距 2c 【解答】解:由题意可得AF1F2为等边三角形, 即有 2ca,bc, 可得椭圆方程为 3x2+4y212c2, 设直线 AB 的方程为 xy+c, 代入椭圆方程可得 3(y2+c2cy)+4y212c2, 化为 5y22cy9c20, 解得 yc 或 yc, 即有AF1B 的面积为2c|yAyB|cc40, 可得 c5, 即有椭圆的焦距为 10 故答案为:10 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,以及直线方程和椭圆方程联立求交点,考查化简 运算能力,属于中档题 16 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:ykx5(其中 k0)上存在点 P,在圆 C:x2+(y

22、1)21 上存在两个不同的两点 M,N,使得点 M 是线段 PN 的中点,则实 数 k 的最小值是 【分析】根据条件,若在圆上存在两个不同的两点 M,N,使得点 M 是线段 PN 的中点, 等价为圆心到直线 ykx5 的距离小于等于 3 即可 第 12 页(共 21 页) 【解答】解:圆心坐标 C(0,1) ,半径 R2,则直径为 2, 要使在圆 C:x2+(y1)21 上存在两个不同的两点 M,N,使得点 M 是线段 PN 的中 点, 即 MNMP, 则 MN 的最大值为直径 2, 即 MP 的最大值为 2,即圆心 C 到直线 ykx5 的最大值距离 d1+23, 即圆心到直线 l:kxy5

23、0 的距离 d 满足 d3, 即3,则2, 平方得 1+k24,得 k23,得 k或 k(舍) , 则 k 的最小值为, 故答案为: 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,利用数形结合转化为点到直线的距 离问题是解决本题的关键 二、解答题:本大题共二、解答题:本大题共 7 小题,共计小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字分,请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤说明,证明过程或演算步骤 17 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (xm) 2+(y+2)29(其中 mR) 设 p:点(1,2)在圆 C1内,设 q:

24、圆 C1与圆 C2: (x+1)2+(y1)24 外离 (1)若 p 为真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 为真命题,求 m 的取值范围; 第 13 页(共 21 页) (3)若“p 或 q”为真命题,求 m 的取值范围 【分析】 (1)点在圆内(1m)2+(2+2)29; (2)两圆外离等价于圆心距大于两圆半径之和; (3)因为“p 或 q 为真命题,则 p,q 中至少有一个是真命题即可 【解答】解: (1)若 p 为真命题,即点(1,2)在圆 C1: (xm)2+(y+2)29 内, 则(1m)2+(2+2)29,解得2m4,即 m 的取值范围为(2,4) ; (2)若 q 为真命

25、题,即圆 C1与圆 C2外离,则5,解得 m3 或 m5,即 m 的取值范围是(,5)(3,+) ; (3)因为“p 或 q 为真命题,则 p,q 中至少有一个是真命题即可,所以 m 的取值范围 为(,5)(2,+) 【点评】本题考查了复合命题及其真假,属基础题 18 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,BCAB,E,F 分别为 BC,CD 的中点,且 PF平面 ABCD求证: (1)EF平面 PBD; (2)AE平面 PEF 【分析】 (1)由 E,F 分别是 BC,CD 的中点,得 EFBD,由此能证明 EF平面 PBD (2)设 ABa,求出 EFa,AE

26、a,AF,利用勾股定理得 AEEF,由 PF平面 ABCD,得 PFAE,由此能证明 AE平面 PEF 【解答】证明: (1)E,F 分别是 BC,CD 的中点,EFBD, EF平面 PBD,BD平面 PBD, EF平面 PBD (2)设 ABa,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形, BCAB,E,F 分别为 BC,CD 的中点,且 PF平面 ABCD, 第 14 页(共 21 页) EFa,AEa,AF, AE2+EF2AF2,AEEF, PF平面 ABCD,AE平面 ABCD, PFAE, PFEFF,AE平面 PEF 【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明,考查空间中线线

27、、线面、面面间的位置 关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 19 (14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 双曲线 C1:1 (m0, n0) 经过点 (, 0) ,其中一条近线的方程为 yx,椭圆 C2:+1(ab0)与双曲线 C1有 相同的焦点椭圆 C2的左焦点,左顶点和上顶点分别为 F,A,B,且点 F 到直线 AB 的 距离为 (1)求双曲线 C1的方程; (2)求椭圆 C2的方程 【分析】 (1)由双曲线经过点(,0) ,可得 m;再由渐近线方程可得 m,n 的方程, 求得 n,即可得到所求双曲线的方程; (2)由椭圆的 a,b,c 的关系式,求得 F,A,B 的坐标,可得

28、直线 AB 的方程,由点到 直线的距离公式,可得 a,b 的关系式,解方程可得 a,b,进而得到所求椭圆方程 【解答】解: (1)双曲线 C1:1(m0,n0)经过点(,0) , 可得 m23, 其中一条近线的方程为 yx,可得, 第 15 页(共 21 页) 解得 m,n1, 即有双曲线 C1的方程为y21; (2)椭圆 C2:+1(ab0)与双曲线 C1有相同的焦点, 可得 a2b24, 椭圆 C2的左焦点,左顶点和上顶点分别为 F(2,0) ,A(a,0) ,B(0,b) , 由点 F 到直线 AB:bxay+ab0 的距离为,可得 ,化为 a2+b27(a2)2, 由解得 a4,b2,

29、 则椭圆 C2的方程为+1 【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程的求法,注意运用方程思想,考查运算能力,属 于基础题 20 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C: (x4)2+y29 与 x 轴交于 A,B 两点 (其中点 A 在点 B 左侧) ,直线 l 过点(1,4) (1)若直线 l 与圆 C 相切,求直线 l 的方程; (2)若直线 l 上存在点 M,满足 MA2MB 求直线 l 的斜率的取值范围; 若点 M 不在 x 轴上,求MAB 面积的最大值及此时直线 l 的方程 【分析】 (1)讨论直线斜率是否存在,结合直线和圆相切的等价条件,转化为圆心到直 线的距离等于半径进行

30、求解即可 (2)根据条件 MA2MB,求出 M 坐标满足的轨迹,结合直线和圆相切的等价条件进行 转化即可 【解答】解:若直线 l 与 x 轴垂直,则直线 l 的方程为 x1, 若直线 l 与 x 轴不垂直, 则设 l 的方程为 y+4k(x1) ,即 kxyk40 (1)若直线 l 与 x 轴垂直,则直线 l 和圆 C 相切,符号条件 第 16 页(共 21 页) 若直线 l 与 x 轴不垂直, 若直线和圆相切, 得圆心到直线的距离 d 3, 解得 k,即直线 l 的方程为 7x24y1030, 综上直线 l 的方程为 7x24y1030 或 x1 (2)设 M(x,y) ,则由 MA2MB,

31、得,MA24MB2, 即(x1)2+y24(x7)2+y2整理得: (x9)2+y216, 即点 M 在圆(x9)2+y216 上, 根据题意直线 l 与圆(x9)2+y216 有公共点,注意到直线 l 的斜率明显存在, 因此直线 l:kxyk40 与圆(x9)2+y216 有公共点, 即4, 解得 0k,即直线 l 的斜率的范围0, M 在圆(x9)2+y216 上,当点 M 的坐标为(9,4)或(9,4)时,M 到 x 轴上的距离 d 取得最大值 4, 则MAB 面积的最大值为ABdmax12, 此时直线 l 的方程为 xy50 或 y4 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,讨论

32、直线斜率是否存在,以及利用 直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键 21 (16 分) (文科做)已知函数 f(x)x3(a+1)x2+x (1)若 a0,求 f(x)的单调减区间; (2)当 a 在区间(0,1)上变化时,求 f(x)的极小值的最大值 【分析】 (1)若 a0,利用二次函数单调性求 f(x)的单调递减区间; 若 a0,求原函数的导函数,再由导函数小于 0 求得 f(x)的单调减区间; (2)求出原函数的导函数,由导函数的零点对函数定义域分段,可得函数的单调性,进 一步求得极小值,再由配方法求得极小值的最大值 【解答】解: (1)若 a0,f(x), 则 f(x)的单调递减区间

33、为(1,+) ; 第 17 页(共 21 页) 若 a0,则 f(x) 令 f(x)0,得,即 x或 x1 则 f(x)的单调减区间为(,) , (1,+) ; (2)f(x),0a1 当 x(,1)时,f(x)0,f(x)单调递增, 当 x(1,)时,f(x)0,f(x)单调递减, 当 x(,+)时,f(x)0,f(x)单调递增 f ( x ) 的 极 小 值 为 为f () 当 a时,函数 f(x)的极小值 f()取得最大值为 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数求函数的极值,训练了利 用配方法求函数的最值,是中档题 22 (理科做)如图,正四棱锥 VABCD 底面边长为

34、 4,侧棱长为以该正四棱锥的底 面中心 O 为坐标原点建立直角坐标系 Oxyz,其中 OxBC,OyAB,E 为 VC 中点 (1)求向量,的夹角的余弦值; (2)求二面角 BVCD 的余弦值 【分析】 (1) 根据条件知正四棱锥 VABCD 的高为3, 求出 (3,1,) ,(1,3,) ,由此能求出 c 向量,的夹角的余弦值 第 18 页(共 21 页) (2)求出平面 BVC 的一个法向量和平面 DVC 的一个法向量,利用向量法能求出二面角 BVCD 的余弦值 【解答】解: (1)根据条件知正四棱锥 VABCD 的高为3, 根据条件,B(2,2,0) ,C(2,2,0) ,D(2,2,0

35、) ,V(0,0,3) ,E(1, 1,) , (3,1,) ,(1,3,) , 向量,的夹角的余弦值为 cos (2)(4,0,0) ,设平面 BVC 的一个法向量 (x,y,z) , 则,取 y3,得 (0,3,2) , 同理可得平面 DVC 的一个法向量 (3,0,2) , 设二面角 BVCD 的平面角为 ,由图知 为钝角, 则 cos, 二面角 BVCD 的余弦值为 【点评】本题考查两个向量的夹角的余弦值的求法,考查二面角的余弦值的求法,考查 空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方 程思想,是中档题 第 19 页(共 21 页) 23 (16 分)

36、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆+1(ab0)过点(1,e) , (e,) ,其中 e 为椭圆的离心率,过定点 N(m,0) (0ma)的动直线 l 与椭圆交 于 A,B 两点 (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆的右准线与 x 轴的交点为 M,若OMAOMB 总成立,求 m 的值; (3)是否存在定点 M(x0,0) (其中 x0a) ,使得OMAOMB 总成立?如 果存在,求出点 M 的坐标(用 m 表示 x0) ;如果不存在,请说明理由 【分析】 (1)由椭圆+1(ab0)过点(1,e) , (e,) ,列出方程组,能 求出椭圆方程 (2)椭圆的准线方程为 x2,则 M(2,0)

37、,当直线 l 与 x 轴垂直或与 x 轴 重合时,OMAOMB;当直线 l 与 x 轴不垂直且不重合时,设 l 的方程为 yk(x m) ,k0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由,得(2k2+1)x24mk2x+2m2k2 20,由此利用韦达定理、直线方程,结合已知条件能求出 m 的值 (3)假设存在这样的点 M(x0,0) , (其中 x0a)满足条件,则+0, 从而 x0为定 值,由此能求出 M坐标 第 20 页(共 21 页) 【解答】解: (1)椭圆+1(ab0)过点(1,e) , (e,) , ,解得 a,bc1, 椭圆方程为+y21 (2)椭圆的准线方程为 x2,则

38、M(2,0) , 当直线 l 与 x 轴垂直或与 x 轴重合时,OMAOMB; 当直线 l 与 x 轴不垂直且不重合时,设 l 的方程为 yk(xm) ,k0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由,得(2k2+1)x24mk2x+2m2k220, x1+x2,x1x2, (*) , OMAOMB 总成立,又 MA,MB 斜率存在,故 MA,MB 的斜率和总为 0, 0 对 k(,0)(0,+)恒成立, 即对 k(,0)(0,+)恒成立, 即 2x1x2(m+2) (x1+x2)+4m0k(,0)(0,+)恒成立, 代入(*)式并整理得 m1 (3)假设存在这样的点 M(x0,0) , (其中 x0a)满足条件, 则 MA,MB 的斜率同时存在且和为 0, 即+0, 根据题意,只需要考虑直线 l 与 x 轴不垂直也不重合的情形, 结合(2)中(*)式有: 第 21 页(共 21 页) x0 为定值, 这样的点 M如果存在,其坐标只可能为(,0) , m(0,) ,满足条件, M坐标为(,0) 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法,考查实数值的求法,考查满足两角相等的点是 否存在的判断与求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、两角相等的性质 等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题