1、2018-2019 学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 16 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分，不需要写出解答过程，请将答分，不需要写出解答过程，请将答 案填写在答题卡相应的位置上案填写在答题卡相应的位置上 1 （5 分）过点（0，1） ， （2，0）的直线的斜率为 2 （5 分）命题“xR，x2+2x+10”的否定是 命题 （选填“真” 、 “假”之一） 3 （5 分）抛物线 y24x 的准线方程是 4 （5 分）与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为 5 （5 分）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在 y 轴上，且经过点（1，4）
2、 ，则抛物线的 方程为 6 （5 分） （文科做）曲线 yex+1 在 x0 处的切线方程为 7 （理科做）在空间直角坐标系 Oxyz 中，若三点 A（1，5，2） ，B（2，4，1） ，C（a， 3，b）共线，则 a+b 8 （5 分）设 aR，则“a1”是“|a|1”的 条件 （选填“充分不必要” ， “必要 不充分” ， “充要” ， “既不充分也不必要”之一） 9 （5 分）若方程+1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围 是 10 （5 分）一个正四棱锥的底面边长为 3cm，侧棱长为 5cm，则它的体积为 cm3 11 （5 分）双曲线y21（其中 a0）的离心率为 2
3、，则实数 a 的值为 12 （5 分） （文科做）已知函数 f（x）x3+x2x 在（a，a+2）上存在极小值，则实数 a 的 取值范围为 13 （理科做）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，则直线 AC1与 B1C 所成角 的余弦值为 14 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面在下列命题中，有且仅 有一个是真命题，它的序号是 若 mn，n，则 m； 若 m，则 m； mn，n，则 m； 若 m，n，n，则 m 第 2 页（共 21 页） 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆+1（ab0）的左，右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A，射线
4、 AF2交椭圆于 B若AF1B 的面积为 40，内角 A 为 60， 则椭圆的焦距为 16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：ykx5（其中 k0）上存在点 P，在圆 C：x2+（y1）21 上存在两个不同的两点 M，N，使得点 M 是线段 PN 的中点，则实 数 k 的最小值是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 7 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤说明，证明过程或演算步骤 17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1： （xm） 2+（y+2
5、）29（其中 mR） 设 p：点（1，2）在圆 C1内，设 q：圆 C1与圆 C2： （x+1）2+（y1）24 外离 （1）若 p 为真命题，求 m 的取值范围； （2）若 q 为真命题，求 m 的取值范围； （3）若“p 或 q”为真命题，求 m 的取值范围 18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，BCAB，E，F 分别为 BC，CD 的中点，且 PF平面 ABCD求证： （1）EF平面 PBD； （2）AE平面 PEF 19 （14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 双曲线 C1：1 （m0， n0） 经过点 （， 0） ，其中一条近线的方程为 yx
6、，椭圆 C2：+1（ab0）与双曲线 C1有 相同的焦点椭圆 C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为 F，A，B，且点 F 到直线 AB 的 距离为 第 3 页（共 21 页） （1）求双曲线 C1的方程； （2）求椭圆 C2的方程 20 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C： （x4）2+y29 与 x 轴交于 A，B 两点 （其中点 A 在点 B 左侧） ，直线 l 过点（1，4） （1）若直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 的方程； （2）若直线 l 上存在点 M，满足 MA2MB 求直线 l 的斜率的取值范围； 若点 M 不在 x 轴上，求MAB 面积的最大值及此时直线
7、l 的方程 21 （16 分） （文科做）已知函数 f（x）x3（a+1）x2+x （1）若 a0，求 f（x）的单调减区间； （2）当 a 在区间（0，1）上变化时，求 f（x）的极小值的最大值 22 （理科做）如图，正四棱锥 VABCD 底面边长为 4，侧棱长为以该正四棱锥的底 面中心 O 为坐标原点建立直角坐标系 Oxyz，其中 OxBC，OyAB，E 为 VC 中点 （1）求向量，的夹角的余弦值； （2）求二面角 BVCD 的余弦值 23 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆+1（ab0）过点（1，e） ， （e，） ，其中 e 为椭圆的离心率，过定点 N（m，0） （
8、0ma）的动直线 l 与椭圆交 于 A，B 两点 （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右准线与 x 轴的交点为 M，若OMAOMB 总成立，求 m 的值； 第 4 页（共 21 页） （3）是否存在定点 M（x0，0） （其中 x0a） ，使得OMAOMB 总成立？如 果存在，求出点 M 的坐标（用 m 表示 x0） ；如果不存在，请说明理由 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 16 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，
9、共计 70 分，不需要写出解答过程，请将答分，不需要写出解答过程，请将答 案填写在答题卡相应的位置上案填写在答题卡相应的位置上 1 （5 分）过点（0，1） ， （2，0）的直线的斜率为 【分析】根据直线的斜率公式直接进行计算即可 【解答】解：根据直线的斜率公式得 k， 故答案为： 【点评】本题主要考查直线斜率的计算，根据两点间直线斜率公式是解决本题的关键 2 （5 分）命题“xR，x2+2x+10”的否定是 假 命题 （选填“真” 、 “假”之一） 【分析】根据条件判断特称命题为真命题，则命题的否定为假命题 【解答】解：由 x2+2x+10 得（x+1）20，x1， 则命题“xR，x2+2x
10、+10”是真命题， 则命题的否定是假命题， 故答案为：假 【点评】本题主要考查命题真假的判断，结合含有量词的命题的否定的真假关系是解决 本题的关键 3 （5 分）抛物线 y24x 的准线方程是 x1 【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出 p，再根据开口方向，写出其准线方程 【解答】解：2p4， p2，开口向右， 准线方程是 x1 故答案为 x1 【点评】 根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程， 一定要先化为标准形式， 求出的 值，再确定开口方向，否则，极易出现错误 4 （5 分）与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为 【分析】设球的半径为 r，可得出正方体的棱长为 2r，再
11、利用球体的体积公式与正方体 第 6 页（共 21 页） 的体积公式可得出答案 【解答】解：设球的半径为 r，则正方体的棱长为 2r，所以，正方体的体积为（2r）3 8r3，球的体积为 所以，球的体积与正方体的体积之比为 故答案为： 【点评】本题考查球体的体积与正方体的体积公式，解决本题的关键在于弄清楚正方体 内切球的半径与正方体棱长之间的关系，考查计算能力，属于中等题 5 （5 分）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在 y 轴上，且经过点（1，4） ，则抛物线的 方程为 x2y 【分析】由题意设出抛物线方程，再由抛物线经过点（1，4）求得 p，则抛物线方程可 求 【解答】解：由题意可设抛物线方程为
12、 x22py（p0） ， 抛物线经过点（1，4） ，18p，得 p 抛物线的方程为 故答案为：x2y 【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题 6 （5 分） （文科做）曲线 yex+1 在 x0 处的切线方程为 yx+2 【分析】求得 yex+1 的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程 【解答】解：yex+1 的导数为 yex， 可得曲线 yex+1 在 x0 处的切线斜率为 k1，切点为（0，2） ， 即有切线方程为 yx+2 故答案为：yx+2 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用， 考查方程思想，属于基础题
13、7 （理科做）在空间直角坐标系 Oxyz 中，若三点 A（1，5，2） ，B（2，4，1） ，C（a， 3，b）共线，则 a+b 7 第 7 页（共 21 页） 【分析】由题意知、共线，列方程求出 a、b 的值，再求和 【解答】解：空间直角坐标系 Oxyz 中，三点 A（1，5，2） ，B（2，4，1） ，C（a，3， b）共线， 则（1，1，3） ， （a1，2，b+2） ； ， 解得 a3，b4， a+b7 故答案为：7 【点评】本题考查了空间直角坐标系的三点共线问题，是基础题 8 （5 分）设 aR，则“a1”是“|a|1”的 充分不必要条件 条件 （选填“充分不必 要” ， “必要不充
14、分” ， “充要” ， “既不充分也不必要”之一） 【分析】由绝对值不等式的解法得：由“|a|1” ，得 a1 或 a1， 由充分必要条件的有关知识可得： “a1”是“|a|1”的充分不必要条件，得解 【解答】解：解绝对值不等式“|a|1” ，得 a1 或 a1， 又“a1”是“a1 或 a1”的充分不必要条件， 即“a1”是“|a|1”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要条件 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法及充分必要条件，属简单题 9（5 分） 若方程+1 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则实数 a 的取值范围是 （ 2，2） 【分析】由题意可得 a2+52a2+1，由二次不等式的解
15、法，可得所求范围 【解答】解：由题意可得 a2+52a2+1， 即 a24，可得2a2， 即 a 的曲折范围是（2，2） 故答案为： （2，2） 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题 第 8 页（共 21 页） 10 （5 分）一个正四棱锥的底面边长为 3cm，侧棱长为 5cm，则它的体积为 24 cm3 【分析】由已知求得正四棱锥的底面积与高，代入棱锥体积公式求解 【解答】解：如图， 正四棱锥的底面边长为 3cm，SABCD18cm3 连接 AC，BD，交于 O，连接 PO，则 PO底面 ABCD， OCcm， 又棱长 PC5cm，OPcm， cm3
16、故答案为：24 【点评】本题考查棱锥体积的求法，是基础的计算题 11 （5 分）双曲线y21（其中 a0）的离心率为 2，则实数 a 的值为 【分析】求得双曲线的 c，由离心率公式，解方程可得 a 的值 【解答】解：双曲线y21 的 b1，c， 可得 e2， 解得 a， 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查方程思想和运 算能力，属于基础题 12 （5 分） （文科做）已知函数 f（x）x3+x2x 在（a，a+2）上存在极小值，则实数 a 的 第 9 页（共 21 页） 取值范围为 （，） 【分析】求导函数 f（x） ，判断其极小值点，从而求得 a 取值
17、范围 【解答】由函数 f（x）x3+x2x 得 f（x）3x2+2x1 令 f（x）3x2+2x10，解得 x（1，） ，f（x）0 且 x（，+） ，f（x）0 为 f（x）的极小值点 函数 f（x）在区间（a，a+2）上存在极小值 即 故答案为： 【点评】本题主要考察导数研究函数极小值的知识点，运用求导思想方法 13 （理科做）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，则直线 AC1与 B1C 所成角 的余弦值为 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值 【解答】
18、解：在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ABBC2AA12， 则 A（2，0，0） ，C1（0，2，1） ，B1（2，2，1） ， C（0，2，0） ， （2，2，1） ，（2，0，1） ， 设直线 AC1与 B1C 所成角为 ， 则 cos 直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值为 第 10 页（共 21 页） 故答案为： 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 14 （5
19、 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面在下列命题中，有且仅 有一个是真命题，它的序号是 若 mn，n，则 m； 若 m，则 m； mn，n，则 m； 若 m，n，n，则 m 【分析】在中，m 与 相交、平行或 m； 在中，m 与 相交、平行或 m；在中，m 与 相交、平行或 m； 在中，由线面垂直的判定定理得 m 【解答】解：由 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，知： 在中，若 mn，n，则 m 与 相交、平行或 m，故错误； 在中，若 m，则 m 与 相交、平行或 m，故错误； 在中，mn，n，则 m 与 相交、平行或 m，故错误； 在中，若 m，n，n，则由线面
20、垂直的判定定理得 m，故正确 故答案为： 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆+1（ab0）的左，右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A，射线 AF2交椭圆于 B若AF1B 的面积为 40，内角 A 为 60， 则椭圆的焦距为 10 第 11 页（共 21 页） 【分析】由题意可得AF1F2为等边三角形，可得椭圆方程为 3x2+4y212c2，设直线 AB 的方程为 xy+c，代入椭圆方程，求得 A，B 的纵坐标，由三角形的面积公式，解 方程可得 c
21、，即可得到焦距 2c 【解答】解：由题意可得AF1F2为等边三角形， 即有 2ca，bc， 可得椭圆方程为 3x2+4y212c2， 设直线 AB 的方程为 xy+c， 代入椭圆方程可得 3（y2+c2cy）+4y212c2， 化为 5y22cy9c20， 解得 yc 或 yc， 即有AF1B 的面积为2c|yAyB|cc40， 可得 c5， 即有椭圆的焦距为 10 故答案为：10 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线方程和椭圆方程联立求交点，考查化简 运算能力，属于中档题 16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：ykx5（其中 k0）上存在点 P，在圆 C：x2+（y
22、1）21 上存在两个不同的两点 M，N，使得点 M 是线段 PN 的中点，则实 数 k 的最小值是 【分析】根据条件，若在圆上存在两个不同的两点 M，N，使得点 M 是线段 PN 的中点， 等价为圆心到直线 ykx5 的距离小于等于 3 即可 第 12 页（共 21 页） 【解答】解：圆心坐标 C（0，1） ，半径 R2，则直径为 2， 要使在圆 C：x2+（y1）21 上存在两个不同的两点 M，N，使得点 M 是线段 PN 的中 点， 即 MNMP， 则 MN 的最大值为直径 2， 即 MP 的最大值为 2，即圆心 C 到直线 ykx5 的最大值距离 d1+23， 即圆心到直线 l：kxy5
23、0 的距离 d 满足 d3， 即3，则2， 平方得 1+k24，得 k23，得 k或 k（舍） ， 则 k 的最小值为， 故答案为： 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合转化为点到直线的距 离问题是解决本题的关键 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 7 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤说明，证明过程或演算步骤 17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1： （xm） 2+（y+2）29（其中 mR） 设 p：点（1，2）在圆 C1内，设 q：
24、圆 C1与圆 C2： （x+1）2+（y1）24 外离 （1）若 p 为真命题，求 m 的取值范围； （2）若 q 为真命题，求 m 的取值范围； 第 13 页（共 21 页） （3）若“p 或 q”为真命题，求 m 的取值范围 【分析】 （1）点在圆内（1m）2+（2+2）29； （2）两圆外离等价于圆心距大于两圆半径之和； （3）因为“p 或 q 为真命题，则 p，q 中至少有一个是真命题即可 【解答】解： （1）若 p 为真命题，即点（1，2）在圆 C1： （xm）2+（y+2）29 内， 则（1m）2+（2+2）29，解得2m4，即 m 的取值范围为（2，4） ； （2）若 q 为真命
25、题，即圆 C1与圆 C2外离，则5，解得 m3 或 m5，即 m 的取值范围是（，5）（3，+） ； （3）因为“p 或 q 为真命题，则 p，q 中至少有一个是真命题即可，所以 m 的取值范围 为（，5）（2，+） 【点评】本题考查了复合命题及其真假，属基础题 18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，BCAB，E，F 分别为 BC，CD 的中点，且 PF平面 ABCD求证： （1）EF平面 PBD； （2）AE平面 PEF 【分析】 （1）由 E，F 分别是 BC，CD 的中点，得 EFBD，由此能证明 EF平面 PBD （2）设 ABa，求出 EFa，AE
26、a，AF，利用勾股定理得 AEEF，由 PF平面 ABCD，得 PFAE，由此能证明 AE平面 PEF 【解答】证明： （1）E，F 分别是 BC，CD 的中点，EFBD， EF平面 PBD，BD平面 PBD， EF平面 PBD （2）设 ABa，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， BCAB，E，F 分别为 BC，CD 的中点，且 PF平面 ABCD， 第 14 页（共 21 页） EFa，AEa，AF， AE2+EF2AF2，AEEF， PF平面 ABCD，AE平面 ABCD， PFAE， PFEFF，AE平面 PEF 【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线
27、、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 19 （14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 双曲线 C1：1 （m0， n0） 经过点 （， 0） ，其中一条近线的方程为 yx，椭圆 C2：+1（ab0）与双曲线 C1有 相同的焦点椭圆 C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为 F，A，B，且点 F 到直线 AB 的 距离为 （1）求双曲线 C1的方程； （2）求椭圆 C2的方程 【分析】 （1）由双曲线经过点（，0） ，可得 m；再由渐近线方程可得 m，n 的方程， 求得 n，即可得到所求双曲线的方程； （2）由椭圆的 a，b，c 的关系式，求得 F，A，B 的坐标，可得
28、直线 AB 的方程，由点到 直线的距离公式，可得 a，b 的关系式，解方程可得 a，b，进而得到所求椭圆方程 【解答】解： （1）双曲线 C1：1（m0，n0）经过点（，0） ， 可得 m23， 其中一条近线的方程为 yx，可得， 第 15 页（共 21 页） 解得 m，n1， 即有双曲线 C1的方程为y21； （2）椭圆 C2：+1（ab0）与双曲线 C1有相同的焦点， 可得 a2b24， 椭圆 C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为 F（2，0） ，A（a，0） ，B（0，b） ， 由点 F 到直线 AB：bxay+ab0 的距离为，可得 ，化为 a2+b27（a2）2， 由解得 a4，b2，
29、 则椭圆 C2的方程为+1 【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属 于基础题 20 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C： （x4）2+y29 与 x 轴交于 A，B 两点 （其中点 A 在点 B 左侧） ，直线 l 过点（1，4） （1）若直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 的方程； （2）若直线 l 上存在点 M，满足 MA2MB 求直线 l 的斜率的取值范围； 若点 M 不在 x 轴上，求MAB 面积的最大值及此时直线 l 的方程 【分析】 （1）讨论直线斜率是否存在，结合直线和圆相切的等价条件，转化为圆心到直 线的距离等于半径进行
30、求解即可 （2）根据条件 MA2MB，求出 M 坐标满足的轨迹，结合直线和圆相切的等价条件进行 转化即可 【解答】解：若直线 l 与 x 轴垂直，则直线 l 的方程为 x1， 若直线 l 与 x 轴不垂直， 则设 l 的方程为 y+4k（x1） ，即 kxyk40 （1）若直线 l 与 x 轴垂直，则直线 l 和圆 C 相切，符号条件 第 16 页（共 21 页） 若直线 l 与 x 轴不垂直， 若直线和圆相切， 得圆心到直线的距离 d 3， 解得 k，即直线 l 的方程为 7x24y1030， 综上直线 l 的方程为 7x24y1030 或 x1 （2）设 M（x，y） ，则由 MA2MB，
31、得，MA24MB2， 即（x1）2+y24（x7）2+y2整理得： （x9）2+y216， 即点 M 在圆（x9）2+y216 上， 根据题意直线 l 与圆（x9）2+y216 有公共点，注意到直线 l 的斜率明显存在， 因此直线 l：kxyk40 与圆（x9）2+y216 有公共点， 即4， 解得 0k，即直线 l 的斜率的范围0， M 在圆（x9）2+y216 上，当点 M 的坐标为（9，4）或（9，4）时，M 到 x 轴上的距离 d 取得最大值 4， 则MAB 面积的最大值为ABdmax12， 此时直线 l 的方程为 xy50 或 y4 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，讨论
32、直线斜率是否存在，以及利用 直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键 21 （16 分） （文科做）已知函数 f（x）x3（a+1）x2+x （1）若 a0，求 f（x）的单调减区间； （2）当 a 在区间（0，1）上变化时，求 f（x）的极小值的最大值 【分析】 （1）若 a0，利用二次函数单调性求 f（x）的单调递减区间； 若 a0，求原函数的导函数，再由导函数小于 0 求得 f（x）的单调减区间； （2）求出原函数的导函数，由导函数的零点对函数定义域分段，可得函数的单调性，进 一步求得极小值，再由配方法求得极小值的最大值 【解答】解： （1）若 a0，f（x）， 则 f（x）的单调递减区间
33、为（1，+） ； 第 17 页（共 21 页） 若 a0，则 f（x） 令 f（x）0，得，即 x或 x1 则 f（x）的单调减区间为（，） ， （1，+） ； （2）f（x），0a1 当 x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递增， 当 x（1，）时，f（x）0，f（x）单调递减， 当 x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增 f （ x ） 的 极 小 值 为 为f （） 当 a时，函数 f（x）的极小值 f（）取得最大值为 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，训练了利 用配方法求函数的最值，是中档题 22 （理科做）如图，正四棱锥 VABCD 底面边长为
34、 4，侧棱长为以该正四棱锥的底 面中心 O 为坐标原点建立直角坐标系 Oxyz，其中 OxBC，OyAB，E 为 VC 中点 （1）求向量，的夹角的余弦值； （2）求二面角 BVCD 的余弦值 【分析】 （1） 根据条件知正四棱锥 VABCD 的高为3， 求出 （3，1，） ，（1，3，） ，由此能求出 c 向量，的夹角的余弦值 第 18 页（共 21 页） （2）求出平面 BVC 的一个法向量和平面 DVC 的一个法向量，利用向量法能求出二面角 BVCD 的余弦值 【解答】解： （1）根据条件知正四棱锥 VABCD 的高为3， 根据条件，B（2，2，0） ，C（2，2，0） ，D（2，2，0
35、） ，V（0，0，3） ，E（1， 1，） ， （3，1，） ，（1，3，） ， 向量，的夹角的余弦值为 cos （2）（4，0，0） ，设平面 BVC 的一个法向量 （x，y，z） ， 则，取 y3，得 （0，3，2） ， 同理可得平面 DVC 的一个法向量 （3，0，2） ， 设二面角 BVCD 的平面角为 ，由图知 为钝角， 则 cos， 二面角 BVCD 的余弦值为 【点评】本题考查两个向量的夹角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查 空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方 程思想，是中档题 第 19 页（共 21 页） 23 （16 分）
36、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆+1（ab0）过点（1，e） ， （e，） ，其中 e 为椭圆的离心率，过定点 N（m，0） （0ma）的动直线 l 与椭圆交 于 A，B 两点 （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右准线与 x 轴的交点为 M，若OMAOMB 总成立，求 m 的值； （3）是否存在定点 M（x0，0） （其中 x0a） ，使得OMAOMB 总成立？如 果存在，求出点 M 的坐标（用 m 表示 x0） ；如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）由椭圆+1（ab0）过点（1，e） ， （e，） ，列出方程组，能 求出椭圆方程 （2）椭圆的准线方程为 x2，则 M（2，0）
37、，当直线 l 与 x 轴垂直或与 x 轴 重合时，OMAOMB；当直线 l 与 x 轴不垂直且不重合时，设 l 的方程为 yk（x m） ，k0，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由，得（2k2+1）x24mk2x+2m2k2 20，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能求出 m 的值 （3）假设存在这样的点 M（x0，0） ， （其中 x0a）满足条件，则+0， 从而 x0为定 值，由此能求出 M坐标 第 20 页（共 21 页） 【解答】解： （1）椭圆+1（ab0）过点（1，e） ， （e，） ， ，解得 a，bc1， 椭圆方程为+y21 （2）椭圆的准线方程为 x2，则
38、M（2，0） ， 当直线 l 与 x 轴垂直或与 x 轴重合时，OMAOMB； 当直线 l 与 x 轴不垂直且不重合时，设 l 的方程为 yk（xm） ，k0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由，得（2k2+1）x24mk2x+2m2k220， x1+x2，x1x2， （*） ， OMAOMB 总成立，又 MA，MB 斜率存在，故 MA，MB 的斜率和总为 0， 0 对 k（，0）（0，+）恒成立， 即对 k（，0）（0，+）恒成立， 即 2x1x2（m+2） （x1+x2）+4m0k（，0）（0，+）恒成立， 代入（*）式并整理得 m1 （3）假设存在这样的点 M（x0，0） ， （其中 x0a）满足条件， 则 MA，MB 的斜率同时存在且和为 0， 即+0， 根据题意，只需要考虑直线 l 与 x 轴不垂直也不重合的情形， 结合（2）中（*）式有： 第 21 页（共 21 页） x0 为定值， 这样的点 M如果存在，其坐标只可能为（，0） ， m（0，） ，满足条件， M坐标为（，0） 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查实数值的求法，考查满足两角相等的点是 否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、两角相等的性质 等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题
