1、1 从平面向量到空间向量,第二章 空间向量与立体几何,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念. 3.理解空间向量的夹角. 4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 空间向量的概念 1.定义：在空间中，把既有 又有 的量，叫作空间向量. 2.长度：空间向量的大小叫作向量的 或 . 3.表示法 (1)几何表示法：空间向量用 表示. (2)字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作 其模记为
2、或_ . 4.自由向量：数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量.,|a|,大小,方向,长度,模,有向线段,知识点二 空间向量的夹角 1.文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O， 则 叫作向量a与向量b的夹角，记作_.,AOB,a，b,2.图形表示,0,锐角,直角,钝角,3.范围： a，b_. 4.空间向量的垂直：如果a，b_，那么称a与b互相垂直，记作_.,0,ab,l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称 为直线l的 向量，显然，与 平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量 于该直线.,知识点三 向量与直线、平面 1.向量与直线 与平面向量一
3、样，也可用空间向量描述空间直线的方向.如图所示.,方向,平行,2.向量与平面 如图，如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量a叫作平面的 .,法向量,2,题型探究,PART TWO,题型一 有关空间向量的概念的理解,例1 给出以下结论：,解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确； 若空间向量a，b满足|a|b|，则不一定能判断出ab，故不正确；,显然正确.故选B.,反思感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.,A.1 B.2 C.3
4、 D.4,跟踪训练1 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：,题型二 求空间向量的夹角,例2 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角：,引申探究,在ACB1中，因为ACAB1B1C，,反思感悟 求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向.,解析 取AB的中点O，连接OC，OD， 易得OCAB，ODAB. OCODO，OC，OD平面OCD， AB平面OCD，又CD平面OCD，ABCD.,例3 已知正四面体ABCD.,题型三 直线的方向向量与平面法向量的理解,解 如图，过点A作直线AEBC，,(2)过
5、点A作出平面BCD的一个法向量.,解 如图，取BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，,反思感悟 1.直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它们互相平行. 2.给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定：(1)唯一一条过点A且平行于向量a的直线；(2)唯一一个过点A且垂直于向量a的平面.,跟踪训练3 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP的一个方向向量.,解 取BB1中点Q，C1C中点M，连接C1Q，BM，PM， 则PMAB，且PMAB. 所以四边形APMB为平行四边形， 所以APBM，且APBM.
6、 又在四边形BQC1M中，BQC1M，且BQC1M， 所以四边形BQC1M为平行四边形， 所以BMC1Q，且BMC1Q，,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.下列说法正确的是 A.如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C.向量模的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小,解析 两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A不正确； 任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B不正确； 向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，C不正确. 由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D正确.,1,2,3,4,5
7、,1,2,3,4,5,法,解析 由四面体ABCD为正四面体，易知AO面BCD，,1,2,3,4,5,4.在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_.(填序号),1,2,3,4,5,5. 如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： (1)单位向量共有多少个？,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 2.给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线.,