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初三数学寒假班第04讲-特殊的平行四边形(提高)-教案

1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:九年级(下)课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数 学学科教师:授课主题第01讲-特殊的平行四边形 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 熟练掌握菱形、矩形、正方形的性质与判定; 熟练掌握特殊的平行四边形之间的区别和联系; 综合利用不同特殊平行边形的性质与判定进行证明或解决相关问题。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建一、 知识梳理 二、 知识概念(一)菱形1、定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质: 菱形具有平行四边形的一切性质; 菱形的四条边都相等; 菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组

2、对角; 菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线 3、菱形的面积计算利用平行四边形的面积公式 菱形面积=ab(a、b是两条对角线的长度)4、菱形的判定:一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形);四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”) (二)矩形1、定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形 2、矩形的性质: l 平行四边形的性质矩形都具有; 角:矩形的四个角都是直角; l 边:邻边垂直; 对角线:矩形的对角线相等; l 矩形是轴对称图形,又是中心对称图形 3、由矩形的性质,可以得到直角三角形的一

3、个重要性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、矩形的判定:有一个角是直角的平行四边形是矩形;有三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”)说明:证明一个四边形是矩形,若题设条件与这个四边形的对角线有关,通常证这个四边形的对角线相等题设中出现多个直角或垂直时,常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形(三)正方形1、定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2、正方形的性质:正方形的四条边都相等,四个角都是直角;正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;正方形具有四边形、平行四边形、矩形、

4、菱形的一切性质 两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形,正方形又是轴对称图形,有四条对称轴3、正方形的判定:先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;先判定四边形是菱形,再判定这个菱形有一个角为直角还可以先判定四边形是平行四边形,再用1或2进行判定考点一: 菱形的性质与判定例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直【解析】D例2、如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DHAB于H,则DH等于()A B C5 D4【解析】A例3、如图:在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作BAD的平分线交BC于点E(尺规作图

5、的痕迹保留在图中了),连接EF(1)求证:四边形ABEF为菱形;(2)AE,BF相交于点O,若BF=6,AB=5,求AE的长【解析】(1)证明:由尺规作BAF的角平分线的过程可得AB=AF,BAE=FAE,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,FAE=AEB,BAE=AEB,AB=BE,BE=FA,四边形ABEF为平行四边形,AB=AF,四边形ABEF为菱形;(2)解:四边形ABEF为菱形,AEBF,BO=FB=3,AE=2AO,在RtAOB中,AO=4,AE=2AO=8考点二: 矩形的性质与判定例1、矩形具有而菱形不具有的性质是()A对角线相等 B两组对边分别平行C对角线互相平分 D两组对角

6、分别相等【解析】A例2、矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点M在边CD上,若AM平分DMB,则DM的长是()A BC D【解析】四边形ABCD是矩形,CD=AB=2,ABCD, BC=AD=1,C=90,BAM=AMD,AM平分DMB,AMD=AMB,BAM=AMB,BM=AB=2,CM=,DM=CDCM=2;故选:D例3、如图,在ABCD中,ABD的平分线BE交AD于点E,CDB的平分线DF交BC于点F(1)求证:ABECDF;(2)若AB=DB,求证:四边形DFBE是矩形【解析】证明:(1)ABD的平分线BE交AD于点E,ABE=ABD,CDB的平分线DF交BC于点F,CDF=CDB,在

7、平行四边形ABCD中,ABCD,ABD=CDB,CDF=ABE,四边形ABCD是平行四边形,CD=AB,A=C,即,ABECDF(ASA);(2)ABECDF,AE=CF,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC,DEBF,DE=BF,四边形DFBE是平行四边形,AB=DB,BE平分ABD,BEAD,即DEB=90平行四边形DFBE是矩形考点三:正方形的性质与判定例1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是()A对角线互相垂直 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角相等【解析】B例2、如图,正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上,EF与CD交于点M,得四边形AEMD,且两

8、正方形的边长均为2,则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为()A4+4 B4+4C84 D+1【解析】四边形ABCD是正方形,D=90,ACD=45,AD=CD=2,则SACD=ADCD=22=2;AC=AD=2,则EC=22,MEC是等腰直角三角形,SMEC=MEEC=(22)2=64,阴影部分的面积=SACDSMEC=2(64)=44故选:A例3、已知:如图,点E,F,P,Q分别是正方形ABCD的四条边上的点,并且AF=BP=CQ=DE求证:(1)EF=FP=PQ=QE;(2)四边形EFPQ是正方形【解析】证明:(1)四边形ABCD是正方形,A=B=C=D=90,AB=BC=CD=AD,A

9、F=BP=CQ=DE,DF=CE=BQ=AP,在APF和DFE和CEQ和BQP中,APFDFECEQBQP(SAS),EF=FP=PQ=QE;(2)EF=FP=PQ=QE,四边形EFPQ是菱形,APFBQP,AFP=BPQ,AFP+APF=90,APF+BPQ=90,FPQ=90,四边形EFPQ是正方形考点四: 线段和最短问题例1、 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当CDE的周长最小时,点E的坐标为()A(3,1) B(3,) C(3,) D(3,2)【解析】如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时C

10、DE的周长最小D(,0),A(3,0),H(,0),直线CH解析式为y=x+4,x=3时,y=,点E坐标(3,)故选:B例2、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为()A(0,0) B(1,) C(,) D(,)【解析】如图连接AC,AD,分别交OB于G、P,作BKOA于K四边形OABC是菱形,ACOB,GC=AG,OG=BG=2,A、C关于直线OB对称,PC+PD=PA+PD=DA,此时PC+PD最短,在RTAOG中,AG=,AC=2,OABK=ACOB,BK=4,AK=3,点B

11、坐标(8,4),直线OB解析式为y=x,直线AD解析式为y=x+1,由解得,点P坐标(,)故选D考点五:折叠问题例1、如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH若BE:EC=2:1,则线段CH的长是()A3 B4 C5 D6【解析】设CH=x,则DH=EH=9x,BE:EC=2:1,BC=9,CE=BC=3,在RtECH中,EH2=EC2+CH2,即(9x)2=32+x2,解得:x=4,即CH=4故选(B)例2、如图,把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处,BF交AD于点E(1)求证:BEADEF;(2)若AB=2,AD=4,求AE的长【解析】

12、(1)证明:四边形ABCD是矩形,AB=CD,A=C=90,把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处,BF交AD于点E,DF=CD,F=C=90,AB=FD,A=F,在BEA和DEF中BEADEF(AAS);(2)解:BEADEF,BE=DE=ADAE=4AE,在RtBAE中,由勾股定理得:AB2+AE2=BE2,22+AE2=(4AE)2,解得:AE=P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列性质中,菱形对角线不具有的是()A对角线互相垂直 B对角线所在直线是对称轴C对角线相等 D对角线互相平分【解析】C2、菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F

13、分别是AD,CD边上的中点,连接EF若EF=,BD=2,则菱形ABCD的面积为()A2 B C6 D8【解析】A3、菱形ABCD中,已知AC=6,BD=8,则此菱形的周长为()A5 B10 C20 D40【解析】C4、如图,把菱形ABCD沿AH折叠,使B点落在BC上的E点处,若B=70,则EDC的大小为()A10 B15 C20 D30【解析】根据菱形的对角相等得ADC=B=70AD=AB=AE,AED=ADE根据折叠得AEB=B=70ADBC,DAE=AEB=70,ADE=AED=(180DAE)2=55EDC=7055=15故选B5、如图所示,矩形ABCD中,AE平分BAD交BC于E,CA

14、E=15,则下面的结论:ODC是等边三角形;BC=2AB;AOE=135;SAOE=SCOE,其中正确结论有()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】错误,故选C6、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,O是AD的中点,连接OB、OC,点E在线段BC上(点E不与点B、C重合),过点E作EMOB于M,ENOC于N,则EM+EN的值为()A6 B1.5 C D【解析】连接OE,OBE的面积+OCE的面积=OBC的面积,OBEM+OCEN=BCAB,(EM+EN)=23,得:EM+EN=;故选D7、如图,P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点,点E是AB的中点,则PA+PE的最小值是

15、()A B C D【解析】连接AC,EC,EC与BD交于点P,此时PA+PE的最小,正方形ABCD中,AB=BC=1,E为AB中点,BE=,EC=,故选A8、如图,已知点E,F分别是ABCD的边BC,AD上的中点,且BAC=90(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)若B=30,BC=10,求菱形AECF面积【解析】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,在RtABC中,BAC=90,点E是BC边的中点,AE=BC=CE,同理,AF=AD=CF,AE=CE=AF=CF,四边形AECF是菱形;(2)解:连接EF交AC于点O,如图所示:在RtABC中,BAC=90,B=30,BC=10

16、,AC=BC=5,AB=AC=5,四边形AECF是菱形,ACEF,OA=OC,OE是ABC的中位线,OE=AB=,EF=5,菱形AECF的面积=ACEF=55=9、如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在DG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,求CH的长【解析】正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,AB=BC=1,CE=EF=3,E=90,延长AD交EF于M,连接AC、CF,则AM=BC+CE=1+3=4,FM=EFAB=31=2,AMF=90,四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,ACD=GCF=45,ACF=90,H为AF的中点,CH=AF,在Rt

17、AMF中,由勾股定理得:AF=2,CH=AF= 课后反击1、在平面中,下列命题为真命题的是()A四边相等的四边形是正方形 B对角线相等的四边形是菱形C四个角相等的四边形是矩形 D对角线互相垂直的四边形是平行四边形【解析】C2、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm,则此菱形的面积为()A48cm2 B24cm2 C18cm2 D12cm2【解析】B3、如图所示,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边的中点,菱形ABCD的周长为36,则OH的长等于()A4.5 B5 C6 D9【解析】四边形ABCD为菱形,且周长为36,AB=BC=CD=AD=9,又O为BD中

18、点,H为AD的中点,OH为ABD的中位线,OH=AB=4.5,故选A4、如图,菱形的边长为2,ABC=45,则点A的坐标为()A(2,2) B(,2)C(2,) D(,)【解析】D5、如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为()A B C D【解析】:连接BF,BC=6,点E为BC的中点,BE=3,又AB=4,AE=5,BH=,则BF=,FE=BE=EC,BFC=90,CF=故选:D6、如图,矩形ABCD的面积为5,它的两条对角线交于点O1,以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1,平行四边形ABC1

19、 O1的对角线交BD于点O2,同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2,依此类推,则平行四边形ABC2016O2016的面积为()A B C D【解析】=S矩形ABCD,=,=S矩形ABCD=,同理可得:平行四边形ABO2C2的面积=,平行四边形ABO3C3的面积=,平行四边形ABC2016O2016的面积=故选B7、如图,矩形ABCD中,延长AB至E,延长CD至F,BE=DF,连接EF,与BC、AD分别相交于P、Q两点(1)求证:CP=AQ;(2)若BP=1,PQ=2,AEF=45,求矩形ABCD的面积【解析】(1)证明:四边形ABCD是矩形,A=ABC=C=ADC=90,AB=C

20、D,AD=BC,ABCD,ADBC,E=F,BE=DF,AE=CF,在CFP和AEQ中,CFPAEQ(ASA),CP=AQ;(2)解:ADBC,PBE=A=90,AEF=45,BEP、AEQ是等腰直角三角形,BE=BP=1,AQ=AE,PE=BP=,EQ=PE+PQ=+2=3,AQ=AE=3,AB=AEBE=2,CP=AQ,AD=BC,DQ=BP=1,AD=AQ+DQ=3+1=4,矩形ABCD的面积=ABAD=24=8直击中考1、【2016广安】下列说法:三角形的三条高一定都在三角形内;有一个角是直角的四边形是矩形;有一组邻边相等的平行四边形是菱形;两边及一角对应相等的两个三角形全等;一组对边

21、平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;其中正确的个数有()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】正确的只有,故选A2、【2016广东】如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为()A B2 C+1 D2+1【解析】正方形ABCD的面积为1,BC=CD=1,BCD=90,E、F分别是BC、CD的中点,CE=BC=,CF=CD=,CE=CF,CEF是等腰直角三角形,EF=CE=,正方形EFGH的周长=4EF=4=2;故选:B3、【2016遵义】如图,在ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件,使ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是()A

22、AB=AD BACBDCAC=BD DBAC=DAC【解析】C4、【2009深圳】如图,在矩形ABCD中,DEAC于E,EDC:EDA=1:3,且AC=10,则DE的长度是()A3 B5 C D【解析】D5、【2006淮安】如图,正方形ABCD的边长为2,点E在AB边上四边形EFGB也为正方形,设AFC的面积为S,则()AS=2 BS=2.4 CS=4 DS与BE长度有关【解析】连接FB四边形EFGB为正方形;FBA=BAC=45,FBAC;ABC与AFC是同底等高的三角形2SABC=S正ABCD,S正ABCD=22=4;S=2;故选A6、【2016贺州】如图,AC是矩形ABCD的对角线,过A

23、C的中点O作EFAC,交BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)若AB=,DCF=30,求四边形AECF的面积(结果保留根号)【解析】(1)证明:O是AC的中点,且EFAC,AF=CF,AE=CE,OA=OC,四边形ABCD是矩形,ADBC,AFO=CEO,在AOF和COE中,AOFCOE(AAS),AF=CE,AF=CF=CE=AE,四边形AECF是菱形;(2)解:四边形ABCD是矩形,CD=AB=,在RtCDF中,DCF=30,CF=2,四边形AECF是菱形,CE=CF=2,四边形AECF是的面积为:ECAB=2S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、菱形、矩形、正方形的性质与判定; 2、最短问题与翻折问题的解决。名师点拨 本单元内容较多,准确理解性质及判定定理多加练习是解决本单元问题的关键,同时注意总结最短问题及翻折问题的解题思路。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是14