1、1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期时 间主 题第2讲 一次方程（组）的应用学习目标1能根据题意合理设元，找出等量关系，列出一次方程级方程组解应用题；2经历和体验解决实际问题的过程，提高解决实际问题的能力教学内容（以提问的形式回顾）1列方程解决实际问题的一般步骤 审题：弄清题意及题目中的数量关系 设元：用字母表示题目中的一个未知数 列方程：根据题目中的等量关系列方程 解方程；求出未知数 检验：检验所求解是否符合题意作答2利率问题中的等量关系利息=本金利率期数本利和=本金十利息=本金（1利率期数）利息税=利息税率税后利息=利息一利息税=利息（1税率）税后本利和=本金税
2、后利息3折扣问题中的等量关系利润额=成本价利润率售价=成本价利润额新售价=原售价折扣4行程问题中的等量关系 解行程问题的关键是抓住时间关系或路程关系，借助草图分析来解决问题 路程=速度时间 相遇路程=速度和相遇时间追及路程=速度差追及时间5工程问题中的等量关系 解工程问题时，常将工作总量当作整体“1”基本关系为： 工作效率工作时间=1（工作总量）小练习已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作15小时可以将空水池放满，出水管工作24小时可以将满池的水放完；（1）如果单独打开进水管，每小时可以注入的水占水池的几分之几？（2）如果单独打开出水管，每小时可以放出的水占水池的几分之几？（3）如果将两管
3、同时打开，每小时的效果如何？如何列式？（4）对于空的水池，如果进水管先打开2小时，再同时打开两管，问注满水池还需要多少时间？解析：（1）如果单独打开进水管，每小时可以注入的水占水池的115; （2）如果单独打开出水管，每小时可以放出的水占水池的 124;（3）如果将两管同时打开，每小时的效果: 115- 124= 140（4）对于空的水池，如果进水管先打开2小时，再同时打开两管，问注满水池还需要多少时间？ 解：问注满水池还需要: （1-215)/( 115- 124) = 1315 140 =131540 = 1043 小时。 （采用教师引导，学生轮流回答的形式）【知识梳理1】按比例分配问题例
4、1：某一服装师做成一件衬衣，一条裤子，一件外套所用的时间之比为他用20个工时能做2件衬衣、3条裤子和4件上衣，那么他做一件衬农、一条裤子、一件外套分别需要几个工时？【分析】题目中出现了比例“”，故可设未知数分别为、，则做2件衬衣用个工时，做3条裤子用()个工时，做4件外套用()个工时，然后根据做这些服装的总工时建立等量关系，列出方程【答案】设服装师做一件衬衣需个工时，则他做一条裤子、一件外套所用的工时分别为和，根据题意，得 因此，他做成一件衬衣需1个工时，做成一条裤子需2个工时，做成一件外套需3个工时【点拨】此类问题，我们往往设一分量为未知数，即如已知两个量之比为，则设这两个量分别为和，再根据
5、“各部分量之和”或“各部分量之差”等等量关系来列方程求解试一试：在第25届、第26届奥运会上，中国代表团共获得了60枚金牌，这两届奥运会中国获得的金牌数之比是，问第25届运动会上中国代表团共获得多少枚金牌.【答案】28枚.【知识梳理2】利率问题例2：某人把若干元按三年期的定期储蓄存入银行，假设年利率为，到期支取时扣除所得税实得利息元，求存入银行的本金（利息税为）【分析】利息=本金利率期数利息税【答案】设存入银行的本金为元，根据题意，得 ,因此，存入银行的本金是元【点拨】若利率是年利率，期数以“年”为单位计数，若是月利率，则期数以“月”为单位计数，解题时要注意.试一试：小明的妈妈在银行里存入人名
6、币5000元，国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息20，储户存款时由银行代扣代收.存期一年，到期可得人名币5090元，求这项储蓄的年利率是多少？【答案】 .【知识梳理3】折扣问题例3：小丽和小明相约去书城买书，请你根据他们的对话内容（如图），求出小明上次所买书籍的原价 图【分析】设小明上次购买书籍的原价是元，由题意，得 ， 解得 因此，小明上次所买书籍的原价是160元，【答案】160元.试一试：一家商店将某种服装按成本价加价40作为标价，又以8折（即按标价的80）优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，问这种服装每件的成本价是多少元？【答案】125元.【知识梳理4】行程问题例4：小杰和小丽
7、分别在400米环形跑道上联系跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟走120米，两人同时由同一起点同向出发，问几分钟后小丽与小杰第一次相遇.【分析】由于小杰、小丽在环形跑道上同时同地同向出发，因此小丽与小杰第一次相遇，必须是小杰比小丽多跑一圈，得到的等式是：小杰所跑的路程小丽所走的路程=400.因为“速度时间=路程”，所以三个量中只要已知其中两个量就可以得到第三个量.【答案】设分钟后小丽与小杰第一次相遇.根据题意，得解方程，得 答：出发2分钟后小丽与小杰第一次相遇.试一试：小丽、小明在400米环形跑道上练习跑步，小丽每分钟跑220米，小明每分钟跑280米，两人同时由同一起点反向而跑，几分钟
8、以后小丽与小明第一次相遇？【答案】0.8分钟.【知识梳理5】工程问题例5：一项工程甲做40天完成，乙做50天完成，现在先由甲做，中途甲有事离去，由乙接着做，共用46天完成问甲、乙各工作了多少天？【分析】由题意知，甲每天完成全部工作量的，乙每天完成，设甲工作了天，则乙工作了（）天，根据题意，得解得，则（天）故甲工作了16天，乙工作了30天【答案】甲工作16天，乙工作30天试一试：某工程由甲独做需18天完成，由乙独做需12天完成，现在乙先做2天，再甲、乙两人合作，合作几天可完成这件工程？【答案】6天.例6：小红买了面值为50分和230分的邮票共8枚，共用去9元4角问50分和230分的邮票各买几枚？
9、分析：本题有两个未知数，即50分邮票的枚数和230分的邮票的枚数，有两个等量关系，即两种面值的邮票数的和等于8，两种邮票的总价值是9.4元。解：设共买了枚50分的邮票，枚230分的邮票，根据题意得将化简得 5得把代入得原方程组的解是答：50分的邮票买了5枚，230分的邮票买了3枚。试一试：一张方桌由1个桌面和4条桌腿组成如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10立方米木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌？答案：6立方米做桌面，4立方米做桌腿例7：运往某地的两批货物，第一批为440吨，用8节火车车厢和10辆汽车正好运完；
10、第二批货物520吨，多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车，正好运完。求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？分析：题中有两个未知数，即每节火车车厢平均装的吨数与每辆汽车平均装的吨数。 题中两个相等的关系：（1）8节火车车厢装的吨数10辆汽车装的吨数=440吨。（2）10节火车车厢装的吨数5辆汽车装的吨数=520吨。解：设平均每节火车车厢装吨，平均每辆汽车装吨，依题意得：答：每节火车车厢平均装50吨，每辆汽车平均装4吨。试一试：某石油进口围这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%，求这个月的石油价格相对上个月的增长率【答案】设这个月的石油
11、价格相对上个月的增长率为根据题意，得， 解得，答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为 （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1小军每天早上要在7：40之前赶到距家1 000米的学校上学一天，小军以80米分的速度出发分钟后，小军的爸爸发现他忘了带数学书于是，爸爸立即用180米分的速度去追小军，并且在途中追上了他. (1)爸爸追上小军用了多长时间？ (2)追上小军时，距离学校还有多远？【分析】当爸爸追上小军时，两人所行距离相等，在解决问题时，要抓住这个等量关系，画出线段图，关系也就清楚了. 【答案】(1) 设爸爸追上小军用了分钟，根据题意，得 化简，得 解得 因此，爸爸追上小军用了4
12、分钟 (2) 因为（米） （米），所以，追上小军时，距离学桉还有280米2四川地震灾区唐家山堰塞湖泄流槽应急疏通工程，原计划每天开挖土石方量1万立方米，经过武警抢险部队的连续昼夜奋战，平均每天比原计划多开挖1.3万立方米，于2008年5月31日晚，提前4天完成泄流槽的开挖，并超出原计划开挖总量3.8万立方米问原计划几天完成开挖任务？实际开挖土石方总量为多少万立方米？解：设原计划天完成开挖任务. 解方程，得（天） 实际开挖土石方总量为（万立方米）. 答：原计划10天完成开挖任务,实际开挖土石方总量为13.8万立方米.3一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此
13、商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.由题意得 ，解得，因此，此商品定价为200元4某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于
14、船的容积”设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则，整理，得，解得，5某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得 解得，6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几
15、套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得 ，解得.中型汽车有15辆，小型汽车有35辆. 1一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶， 客车的长是200米，货车的长是280米，客车的速度与货车的速度比是5 ：3，客车赶上货车的交叉时间是1分钟，求各车的速度；若两车相向行驶，它们的交叉时间是多少分钟？解：设客车的速度是5米/分， 则货车的速度是3米/分。 依题意得：53= 280 + 200 解得 =240 5= 1200，3= 720 设两车相向行驶的交叉时间为分钟。依题意得：1200+720= 280 + 200 解得 =0.25答：两车交叉时间为0.25
16、分钟。2王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元。其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元？答案：63000元3为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元. 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.（1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿
17、化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？答案：（1）原计划拆、建面积各是4800平方米、2400平方米；（2）可绿化面积为1488平方米.4一种商品原来的进货价为200元，售货时，由于现在的进货价比原来便宜8%，而售价保持不变，那么这种商品的利润（相对于原进货价而言）可增加10%原来销售这种商品的利润是多少？答案：利润为160元.5“国庆”期间，文峰大世界搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70%销售）和九折（按售价的90%销售），共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元，问：这两种商品的原销
18、售价分别是多少元？【分析】利用等量关系原销售价之和为500元，设立未知数，利用等量关系甲、乙商品实际购买价之和为386元，列方程：【答案】设甲种商品的原销售价为元，则乙种商品的原销售价为元，则：70%90%386解得：320500180答：甲、乙两种商品的原销售价分别为320元、180元.6有一只盛满盐酸溶液的容器，因做实验需要第一次倒出溶液的后，用水加满；第二次倒出它的后，用浓度为85%的盐酸加满，这时它的浓度与原来相同，求原来盐酸溶液的浓度【分析】关键要抓住“第二次加满后浓度与原来相同”这一关系，列出方程求解，在分析溶液、溶质、浓度的变化情况时可以用列表的方式，这样一目了然，以便理清各个量
19、之间的关系【答案】设原来盐酸的浓度为，容器内溶液的重量为1，则第一次加水后的浓度为，第二次倒出后剩下的溶质（纯盐酸）是，倒人85%的盐酸溶液所含的溶质为，此刚溶液的浓度为，根据题意，得 解得 答：原来盐酸溶液的浓度为 用字母表示数，字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的一个数，甚至可以表示某些有规律的数。问题一：回顾下我们所学过的一些常见的公式，完成以下各题：1若长方形的长为a，宽为b，则长方形的周长是_，面积是_2若梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，则梯形的面积为_ _3已知正方形的周长为C，用C表示正方形的边长是_ _，面积是_ _4已知圆的周长为C，用C表示圆的半径是_ _，用C表示圆的面积是_ _5已知扇形的弧长为l，圆心角为n，用l和n表示它的半径是 ，面积是 6一个长方体的高为h，底面是一个边长为a的正方形，用代数式表示这个长方体的表面积是 ，体积是 。参考答案：1，； 2； 3，； 4，； 5，； 6，问题二：观察下列各组数的特点，用式子表示第n个数是什么？（n为正整数）（1） （2）2， 4， 6， 8 ，（3），参考答案：（1）； （2）； （3）代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.注意：(单独的一个数或者一个字母也是代数式) 12 / 12