1、第23讲和圆有关的计算(参考用时:40分钟)A层(基础)1.(2019绍兴)如图,ABC内接于O,B=65,C=70.若BC=22,则BC的长为(A)(A)(B)2(C)2(D)22解析:连结OB,OC.A=180-ABC-ACB=180-65-70=45,BOC=90,BC=22,OB=OC=2,BC的长为902180=.故选A.2.已知圆锥的底面积为9 cm2,母线长为6 cm,则圆锥的侧面积是(A)(A)18 cm2(B)27 cm2(C)18 cm2 (D)27 cm2解析:设圆锥的底面半径为r,圆锥的底面积为9=r2,圆锥的底面半径r=3 cm.母线长为R=6 cm,侧面积为S=rR
2、=18(cm2).故选A.3.(2019广安)如图,在RtABC中,ACB=90,A=30,BC=4,以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D,则图中阴影部分的面积为(A)(A)43-3(B)23-32(C)13-32(D)13-3解析:在RtABC中,ACB=90,A=30,B=60,COD=120,BC=4,BC为半圆O的直径,CDB=90,OC=OD=2,CD=32BC=23,过O点作OHCD,交CD于H点(图略),易得OH=1.S阴影=S扇形COD-SCOD=12022360-12231=43-3.故选A.4.若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为(A)(A)2(B)22(C)22(D
3、)1解析:如图所示,连结OA,OE,AB是小圆的切线,OEAB,四边形ABCD是正方形,AE=OE,AOE是等腰直角三角形,OE=22OA=2.故选A.5.若一个圆锥的底面积为4 cm2,高为4 cm,则该圆锥的侧面展开图中圆心角为(C)(A)40(B)80(C)120(D)150解析:如图所示,S底=4,r2=4,r=2.在RtAOC中,l=h2+r2=(42)2+22=6,CD的长为nl180=2r,n=120.故选C.6.(2019吉林)如图,在扇形OAB中,AOB=90.D,E分别是半径OA,OB上的点,以OD,OE为邻边的ODCE的顶点C在AB上.若OD=8,OE=6,则阴影部分图形
4、的面积是25-48(结果保留).解析:连结OC,AOB=90,四边形ODCE是平行四边形,四边形ODCE是矩形,ODC=90,CD=OE=6,OC=OD2+CD2=10,S阴影=90102360-86=25-48.7.如图,点A,B,C在半径为9的O上,AB的长为2,则ACB的大小是20.解析:如图,连结OA,OB.设AOB=n.AB的长为2,n9180=2,n=40,AOB=40,ACB=12AOB=20.8.(2019贺州)已知圆锥的底面半径是1,高是15,则该圆锥的侧面展开图的圆心角是90度.解析:根据勾股定理得圆锥的母线长为(15)2+12=4,设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n,根据
5、题意得21=n4180,解得n=90,即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90.9.(2019广元)如图,在扇形AOB中,AOB=120,半径OC交弦AB于点D,且OCOA.若OA=23,则阴影部分的面积为3+.解析:作OEAB于点F,AOB=120,OCOA,AOD=90,BOC=30,OA=OB,OAB=OBA=30,在RtAOD中,OD=OAtan 30=2333=2,AD=2OD=4,在RtAOF中,OF=12OA=3,AF=OFtan30=333=3,AB=2AF=6,BD=AB-AD=6-4=2,S阴影=SAOD+S扇形OBC-SBDO=2322+30(23)2360-232=3+.1
6、0.(2019乐山市市中区模拟)如图,四边形ABCD是菱形,A=60,AB=2,扇形EBF的半径为2,圆心角为60,则图中阴影部分的面积是23-3.解析:如图,连结BD.四边形ABCD是菱形,A=60,ADC=120,1=2=60,DAB是等边三角形,易得DAB的高为3,扇形BEF的半径为2,圆心角为60,4+5=60,又3+5=60,3=4,设AD,BE相交于点G,BF,DC相交于点H,在ABG和DBH中,A=2,AB=DB,3=4ABGDBH(A.S.A),S四边形GBHD=SABD,S阴影=S扇形EBF-SABD=6022360-1223=23-3.11.(2019扬州)如图,AB是O的
7、弦,过点O作OCOA,OC交AB于P,CP=BC.(1)求证:BC是O的切线;(2)已知BAO=25,点Q是AmB上的一点.求AQB的度数;若OA=18,求AmB的长.(1)证明:连结OB,OA=OB,OAB=OBA,PC=CB,CPB=PBC,APO=CPB,APO=CBP,OCOA,AOP=90,OAP+APO=90,CBP+ABO=90,CBO=90,BC是O的切线.(2)解:BAO=25,ABO=25,APO=65,POB=APO-ABO=40,AQB=12(AOP+POB)=12130=65.OA=18,AmB所对的圆心角为360-130=230,AmB的长为23018180=23.
8、12.(2019滨州)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DFAC,垂足为点F.(1)求证:直线DF是O的切线;(2)求证:BC2=4CFAC;(3)若O的半径为4,CDF=15,求阴影部分的面积.(1)证明:如图所示,连结OD,AB=AC,ABC=C,而OB=OD,ODB=ABC=C,DFAC,CDF+C=90,CDF+ODB=90,ODF=90,直线DF是O的切线.(2)解:连结AD,则ADBC,AB=AC,DB=DC=12BC,CDF+C=90,C+DAC=90,CDF=DAC,而DFC=ADC=90,CFDCDA,CD2=CFAC,即BC
9、2=4CFAC.(3)解:连结OE,CDF=15,C=75,DAC=90-C=15,OAE=30=OEA,AOE=120,作OHAE于点H,AO=4,AH=HE=AOcos 30=23,OH=AOsin 30=2,AE=43,S阴影=S扇形OAE-SOAE=12036042-12432=163-43.B层(能力)13.(2019临沂)如图,O中,AB=AC,ACB=75,BC=2,则阴影部分的面积是(A)(A)2+23(B)2+3+23(C)4+23(D)2+43解析:连结OA,OB,OC,作ADBC交BC于点D.AB=AC,AB=AC,ACB=75,ABC=ACB=75,BAC=30,BOC
10、=60,OB=OC,BOC是等边三角形,OA=OB=OC=BC=2,AB=AC,BD=CD,AD经过圆心O,OD=32OB=3,AD=2+3,SABC=12BCAD=2+3,SBOC=12BCOD=3,S阴影=SABC+S扇形BOC-SBOC=2+3+6022360-3=2+23.故选A.14.在RtABC中,AB=1,A=60,ABC=90,如图所示,将RtABC沿直线l无滑动地滚动至RtDEF位置,则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为1912+32.(结果不取近似值)解析:在RtABC中,AB=1,A=60,BC=3,ACB=30,如图,则BCB=150,BAE=120,将R
11、tABC沿直线l无滑动地滚动至RtDEF位置,点B经过的路径分两部分:第一部分以点C为圆心,CB为半径,圆心角为BCB=150的弧,第二部分以点A为圆心,AB为半径,圆心角为BAE=120的弧,点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为S=S扇形BCB+SCBA+S扇形BAE=150360(3)2+1213+12036012=1912+32.15.如图,M,N分别是O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE的边AB,BC上的点,且BM=CN,连结OM,ON.(1)求图中MON的度数;(2)图中MON的度数是,图中MON的度数是;(3)试探究MON的度数与正n边形(n3)的边数n的关系式(直接写出答案).解:(1)如图,连结OB,OC,则BOC=3603=120,OBM=OCN=30.BM=CN,OB=OC,OBMOCN.BOM=CON.BON+BOM=BON+CON.MON=BOC=120.(2)用解(1)中类似方法可求得图和中的MON分别为90和72.(3)MON=360n(n3).