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2018-2019学年山西省吕梁市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

1、2018-2019学年山西省吕梁市高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡上)1(5分)若aR,则“a1”是“|a|1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件2(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,3,2)关于平面xOz的对称点的坐标为()A(1,3,2)B(1,3,2)C(1,3,2)D(1,3,2)3(5分)若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是()A平行B异面C相交D平行、异面或相交4(5分)命题“若x21,则1x1”的逆

2、否命题是()A若x21,则x1或x1B若1x1,则x21C若x1或x1,则x21D若x1或x1,则x215(5分)正方体ABCDA1B1C1D1中E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()ABCD6(5分)双曲线的左、右焦点分别是F1、F2,点P是双曲线上一点若|PF1|3,则|PF2|等于()A1B5CD1或57(5分)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是()A若,垂直于同一平面,则与平行B若m,n平行于同一平面,则m与n平行C若,不平行,则在内不存在与平行的直线D若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面

3、8(5分)正方体ABCDA1B1C1D1中,A1B与AD1的夹角为()ABCD9(5分)若直线l:ax+y2a0在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的斜率为()A1B1C2或1D1或210(5分)直线l过抛物线y24x的焦点F,与抛物线交于A,B两点若|AF|3|BF|,则下列选项中错误的是()A点A的横坐标是3B直线l的倾斜角为C线段AB的长为D前三个选项中有一项错误11(5分)圆x2+y2+ax2ay+2a2+3a0的圆心在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限12(5分)函数f(x)的最小值为()ABCD二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填写在答题卡相应题号后的横

4、线上)13(5分)若(x,y)|ax+2y10(x,y)|x+(a1)y+10,则a等于 14(5分)双曲线的离心率为2,则它的渐近线的方程为 15(5分)矩形ABCD中,AB4,AD2,现将ACD沿AC折起,使得平面ACD垂直于平面ABC,则三棱锥DABC外接球的表面积为 16(5分)(x,y)是椭圆上一个动点,则|x2y+9|的最小值为 三、解答题(本大题共6小题,17题10分,其余每小题0分,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17p:x0R,x02ax0+a0(1)若p是假命题,求a的取值范围;(2)q:yx22ax+3是1,+)上的增函数当pq为真命题且pq为假命题时,求

5、a的取值范围;18直线l与6x8y+10平行,且坐标原点到l的距离为1(1)求直线l的方程;(2)若直线l的纵截距为正数,求(2,6)关于直线l的对称点的坐标19圆C过,(2,2)三点,圆C内有一点P(1,2),AB为过点P的弦(1)求圆C的方程;(2)若A,B,C构成三角形,求ABC面积的最大值及此时的直线AB的方程20如图,四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,CDAD,AD2BC,平面PAD底面ABCD,E是PD的中点(1)求证:CE平面PAB;(2)若APAD,求证:AE平面PCD21直线与抛物线y22px(p0)的两个交点O(坐标原点)、A间的距离为(1)求p的值;

6、(2)直线l过点M(2,1),斜率为k,若直线l与该抛物线只有一个公共点,求k的值22动点M到定点F(1,0)与定直线x2的距离之比为,M的轨迹为C(1)求C的方程;(2)过点F的直线l与C交于A,B两点,在x轴上是否存在定点P,使得APB总被x轴平分,若存在,求出定点P的坐标,若不存在,说明理由2018-2019学年山西省吕梁市高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡上)1(5分)若aR,则“a1”是“|a|1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不

7、充分又不必要条件【分析】先判断“a1”“|a|1”的真假,再判断“|a|1”时,“a1”的真假,进而结合充要条件的定义即可得到答案【解答】解:当“a1”时,“|a|1”成立即“a1”“|a|1”为真命题但“|a|1”时,“a1”不一定成立即“|a|1”时,“a1”为假命题故“a1”是“|a|1”的充分不必要条件故选:A【点评】本题考查的知识点是充要条件,其中根据绝对值的定义,判断“a1”“|a|1”与“|a|1”时,“a1”的真假,是解答本题的关键2(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,3,2)关于平面xOz的对称点的坐标为()A(1,3,2)B(1,3,2)C(1,3,2)D(1,3

8、,2)【分析】根据点P(x,y,z)关于平面xOz的对称点坐标为P(x,y,z),写出即可【解答】解:空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,3,2)关于平面xOz的对称点坐标为P(1,3,2)故选:B【点评】本题考查了空间直角坐标系中点关于平面的对称问题,是基础题3(5分)若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是()A平行B异面C相交D平行、异面或相交【分析】结合公理及正方体模型可以判断:A,B,C均有可能,可以利用反证法证明结论,也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明【解答】解:如图,在正方体AC1中,A1A平面ABCD,A1AAD,A1ABC,又ADBC,选项A有可能;A1A

9、平面ABCD,A1AAD,A1AAB,又ADABA,选项B有可能;A1A平面ABCD,A1A平面A1B1C1D1,A1AAC,A1AA1D1,又AC与A1D1不在同一平面内,选项C有可能故选:D【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系,考查空间想象能力和思维能力4(5分)命题“若x21,则1x1”的逆否命题是()A若x21,则x1或x1B若1x1,则x21C若x1或x1,则x21D若x1或x1,则x21【分析】根据逆否命题的定义,直接写出答案即可,要注意“且”形式的命题的否定【解答】解:原命题的条件是“若x21”,结论为“1x1”,则其逆否命题是:若x1或x1,则x21故选:D【点

10、评】解题时,要注意原命题的结论“1x1”,是复合命题“且”的形式,否定时,要用“或”形式的符合命题5(5分)正方体ABCDA1B1C1D1中E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()ABCD【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图【解答】解:过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分后,剩余部分的直观图如图:则该几何体的左视图为C故选:C【点评】本题主要考查空间三视图的识别,利用空间几何体的直观图是解决本题的关键比较基础6(5分)双曲线的左、右焦点分别是F1、F2,点P是双曲线上一点若|PF1|3,则|PF2|等于()A1

11、B5CD1或5【分析】根据双曲线方程求出a,c,结合|PF1|3,判断点P位于双曲线的左支,结合双曲线的定义进行求解即可【解答】解:由双曲线得a1,b2,c3,则c+a4,ca2,|PF1|34,P只能在左支上,由双曲线的定义得|PF2|PF1|2a2,即|PF2|PF1|+23+25,故选:B【点评】本题主要考查双曲线方程的应用,结合双曲线的定义以及判断点P的位置是解决本题的关键7(5分)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是()A若,垂直于同一平面,则与平行B若m,n平行于同一平面,则m与n平行C若,不平行,则在内不存在与平行的直线D若m,n不平行,则m与n不可能垂直

12、于同一平面【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答【解答】解:对于A,若,垂直于同一平面,则与不一定平行,例如墙角的三个平面;故A错误;对于B,若m,n平行于同一平面,则m与n平行相交或者异面;故B错误;对于C,若,不平行,则在内存在无数条与平行的直线;故C错误;对于D,若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面;假设两条直线同时垂直同一个平面,则这两条在平行;故D正确;故选:D【点评】本题考查了空间线面关系的判断;用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理8(5分)正方体ABCDA1B1C1D1中,A1B与AD1的夹角为()ABCD【分析】由AD1BC1,得A

13、1BC1是A1B与AD1的夹角,由此能求出结果【解答】解:正方体ABCDA1B1C1D1中,AD1BC1,A1BC1是A1B与AD1的夹角,A1BBC1A1C1,A1BC1正方体ABCDA1B1C1D1中,A1B与AD1的夹角为故选:C【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题9(5分)若直线l:ax+y2a0在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的斜率为()A1B1C2或1D1或2【分析】当a0时,直线l为y2,显然不符合题目要求,所以当a0时,令y0和x0分别求出直线在两坐标轴上的截距,根据截距相等列出关于a的方程,解方程

14、即可求出a值【解答】解:根据题意a0,由直线l:ax+y2a0,令y0,得到直线在x轴上的截距是 ,令x0得到直线在y轴上的截距是2+a,根据题意得:2+a,即a2+a20,分解因式得:(a+2)(a1)0解得:a2或a1故选:C【点评】此题考查学生理解直线截距式方程应用的条件是截距存在,并会根据直线的方程求出与坐标轴的截距,是一道基础题10(5分)直线l过抛物线y24x的焦点F,与抛物线交于A,B两点若|AF|3|BF|,则下列选项中错误的是()A点A的横坐标是3B直线l的倾斜角为C线段AB的长为D前三个选项中有一项错误【分析】由题意得抛物线的焦点F(1,0),直线l的斜率存在且不为零,设出

15、直线方程联立抛物线方程,再由若|AF|3|BF|可得A,B的坐标,进而判断所给命题的真假【解答】解:由题意知:F(1,0)显然直线AB的斜率存在且不为零,设A(x,y),B(x,y),设直线AB方程:xmy+1代入抛物线方程中,整理得:y24my40,y+y4m,x+xm(y+y)+24m2+2,由|AF|3|BF|得:x+13(x+1),x3x+2,所以4x4m2,xm2代入直线AB中,y,B点在抛物线上,所以:()24m2,解得:m2,所以斜率k23,即k,所以倾斜角为或,所以B不正确;这时x3x3+23,所以A的横坐标为3,所以A正确,弦长ABx+x+p3+p3+2,所以C正确,D正确,

16、故选:B【点评】考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题11(5分)圆x2+y2+ax2ay+2a2+3a0的圆心在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据圆的方程的一般式能够表示圆的充要条件,得到关于a的一元二次不等式,整理成最简单的形式,解一元二次不等式得到a的范围,即可得到结果【解答】解:方程x2+y2+ax2ay+2a2+3a0表示圆,a2+4a24(2a2+3a)0,3a2+12a0,4a0,圆心(,a),圆心在第四象限故选:D【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件,考查一元二次不等式的解法,是一个比较简单的题目12(5分)函数f(x)的最小值为()ABCD【分析】对

17、f(x)变形,f(x),上式表示在x轴上的动点P(x,0)到两个定点A(0,1)和(2,1)之间的距离最短,利用几何法求出即可【解答】解:f(x),上式表示在x轴上的动点P(x,0)到两个定点A(0,1)和(2,1)之间的距离最短,如图:A关于原点的对称点A(0,1),连接AB,则AB的距离最短,|AB|,故选:A【点评】考查用几何法求函数的最值问题,中档题二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填写在答题卡相应题号后的横线上)13(5分)若(x,y)|ax+2y10(x,y)|x+(a1)y+10,则a等于2【分析】根据题意可知,方程组无解,从而可得出,解出a即可【解答】解:据

18、题意知,方程组无解,解得a1或2,a1时,不满足题意,应舍去,a2故答案为:2【点评】本题考查了描述法的定义,交集的定义及运算,空集的定义,考查了计算和推理能力,属于基础题14(5分)双曲线的离心率为2,则它的渐近线的方程为【分析】利用双曲线的离心率,转化求出a,b的关系,然后求解渐近线方程【解答】解:双曲线(a0,b0)的离心率为2,可得c2a,则b23a2,所以所以双曲线的渐近线的方程为:故答案为:【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查,基础题15(5分)矩形ABCD中,AB4,AD2,现将ACD沿AC折起,使得平面ACD垂直于平面ABC,则三棱锥DABC外接球的表面积为

19、20【分析】由题意知该三棱锥是由两个直角三角形共斜边构成的,则可以根据定义找出球心,求出答案【解答】解:因为是矩形ABCD,所以沿AC折叠过,ACD仍然是直角三角形,直角为ADC,取AC中点O,在RtADC中,ODOAOC;在RtABC中,OBOCOA,OAOBOCOD,点O为球的球心,设球的半径为R,S4R24520故答案为:20【点评】本题考查球的表面积的求法,考查球心的找法、球心的定义,属于中档题16(5分)(x,y)是椭圆上一个动点,则|x2y+9|的最小值为5【分析】设点(2cos,sin),代入所求的式子,结合用两角和的余弦公式,利用余弦函数的值域,求出最小值【解答】解:设P(2c

20、os,sin),则|x2y+9|2cos2sin+9|4cos(+)+9|,所以|x2y+9|的最小值当cos(+)1时取到,此时最小值为5故答案为:5【点评】本题考查点的坐标公式表示,涉及两角和的正余弦公式的应用,属于基础题三、解答题(本大题共6小题,17题10分,其余每小题0分,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17p:x0R,x02ax0+a0(1)若p是假命题,求a的取值范围;(2)q:yx22ax+3是1,+)上的增函数当pq为真命题且pq为假命题时,求a的取值范围;【分析】(1)根据特称命题的否定是全称命题,进行转化求解即可(2)求出命题为真命题的等价条件,结合复合命

21、题真假关系进行求解即可【解答】解:(1)p是假命题,所以xR,x2ax+a0,则判别式a24a0,解得a的取值范围(0,4)(2)yx22ax+3的对称轴是xa,在区间1,+)上是增函数,所以,a1即a(,1,pq为真,pq为假,p,q一真一假,当p真q假时,则a4,+),当p假q真 时,则a(0,1,综上所述,a(0,14,+)【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用,结合条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键难度中等18直线l与6x8y+10平行,且坐标原点到l的距离为1(1)求直线l的方程;(2)若直线l的纵截距为正数,求(2,6)关于直线l的对称点的坐标【分析】(1)设直线l

22、的方程3x4y+m0,由题意得,得m,可得直线l的方程(2)纵截距为正数的直线l的方程3x4y+50,设与直线l垂直的直线方程4x+3y+n0,代入(2,6)得n,联立直线方程即可得出【解答】解:(1)设直线l的方程3x4y+m0,由题意得,得m5直线l的方程:3x4y50(2)纵截距为正数的直线l的方程3x4y+50,设与直线l垂直的直线方程4x+3y+n0,代入(2,6)得n10,联立,解得所以(2,6)关于直线l的对称点的坐标(4,2)【点评】本题考查了直相互垂直与斜率之间的关系、平行线之间的距离,考查了计算能力,属于基础题19圆C过,(2,2)三点,圆C内有一点P(1,2),AB为过点

23、P的弦(1)求圆C的方程;(2)若A,B,C构成三角形,求ABC面积的最大值及此时的直线AB的方程【分析】(1)由已知可得圆C的圆心是坐标原点,半径是,则圆的方程可求;(2)设圆心到直线AB的距离为d,AB弦长为l,由垂径定理列式等式,再由基本不等式求dl的最值,可得ABC面积取最大值时圆心到直线的距离为2,直线AB的方程为:y2k(x+1),由圆心到直线的距离列式求得k,则直线方程可求【解答】解:(1)已知三点,(2,2)到坐标原点的距离都是,圆C的圆心是坐标原点,半径是,圆C的方程为:x2+y28;(2)设圆心到直线AB的距离为d,AB弦长为l,则有,由基本不等式dl8,当且仅当d2时取等

24、号,ABC面积的最大值为4(注意)设此时直线AB的方程为:y2k(x+1),由d2,得,解得k0,或k此时的直线AB的方程:y2或【点评】本题考查圆的方程的求法,考查直线与圆位置关系的应用,训练了利用基本不等式求最值,是中档题20如图,四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,CDAD,AD2BC,平面PAD底面ABCD,E是PD的中点(1)求证:CE平面PAB;(2)若APAD,求证:AE平面PCD【分析】(1)取PA的中点M,连结EM,BM,通过证明四边形BCEM是平行四边形,可证CEBM,利用线面平行的判定定理即可证明CE平面PAB(2)利用面面垂直的性质,线面垂直的性质可

25、证CDAE,又AEPD,进而根据线面垂直的判定定理即可证明AE平面PC【解答】证明:(1)取PA的中点M,连结EM,BM,由于,EMAD,且AD2EM,所以,EM与BC平行且相等,所以,四边形BCEM是平行四边形,CEBM,又,CE不在平面PAB内,BM在平面PAB内,所以,CE平面PAB(2)平面PAD底面ABCD,交线为AD,由CDAD,知CD平面PAD,所以CDAE,因为APAD,E是PD的中点,所以,AEPD,又因为,PD交CD于D,所以AE平面PC【点评】本题主要考查了线面平行的判定定理,面面垂直的性质,线面垂直的性质,线面垂直的判定定理的应用,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于

26、中档题21直线与抛物线y22px(p0)的两个交点O(坐标原点)、A间的距离为(1)求p的值;(2)直线l过点M(2,1),斜率为k,若直线l与该抛物线只有一个公共点,求k的值【分析】(1)直线与抛物线及交点的距离得出A的坐标,进而求出抛物线方程;(2)直线l的斜率为零时,与抛物线的对称轴平行由一个交点,斜率不为零时,设直线方程联立抛物线,用判别式等于零求出斜率,即得k的值【解答】解:(1)依题意知A点坐标为(x,y),直线x代入y22px(p0),得y0,x0;y2p,x6p,A(6p,2p),又|OA|8,64336p2+12p2,p0p4(2)直线l的方程为 ykx+2k+1,由方程组

27、可得 ky24y+4(2k+1)0,当k0时,一个公共点,当k0时,判别式16(2k2+k1)由0,即2k2+k10解得或k10时不是一个公共点综上可得:k0或或k1时直线l与该抛物线只有一个公共点【点评】考查直线与抛物线由一个交点的情况,注意直线与对称轴平行的情况,属于中档题22动点M到定点F(1,0)与定直线x2的距离之比为,M的轨迹为C(1)求C的方程;(2)过点F的直线l与C交于A,B两点,在x轴上是否存在定点P,使得APB总被x轴平分,若存在,求出定点P的坐标,若不存在,说明理由【分析】(1)根据条件可知,整理可得C的方程;(2)利用APB总被x轴平分得PA与PB的斜率总为相反数,设

28、A(x1,y1),B(x2,y2),P点坐标(t,0),则有,再与C的方程联立,利用根于系数关系整理可得,进而可得t2【解答】解:(1)依题意得,整理可得C的方程:;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P点坐标(t,0),因为APB总被x轴平分,所以PA与PB的斜率总为相反数,则,设直线l的方程为yk(x1)(显然斜率不存在时t是任意的),由方程组消去y得(1+2k2)x24k2x+2k220显然,代入中消去y1,y2得,所以2x1x2(t+1)(x1+x2)+2t0,即,得t2,点P的坐标为(2,0)【点评】本题考查动点轨迹方程的求法,考查直线斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题