1、2018-2019学年山西大学附中高二（下）2月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）双曲线x21的虚轴长为（）A2B3C4D52（5分）到两定点F1（3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（）A椭圆B线段C双曲线D两条射线3（5分）已知a0，b0，则“ab1”是“a+b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件4（5分）若直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点，则实数a取值范围是（）A3，1B1，3C3，1D（，31，+）5（5分）设、是两个不同的平面，m、n是两条不同直线，则下列结论中错
2、误的是（）A若m，n，则 mnB若mn，则 m、n与所成的角相等C若，m，则 mD若mn，m，n，则6（5分）命题p：x00，x0+2，则p为（）Ax0，x+2Bx0，x+2Cx0，x+2Dx0，x+27（5分）已知F1（4，0），F2（4，0）是双曲线C的两个焦点，且直线是该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的标准方程为（）ABCD8（5分）已知方程+1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）Am2或m1Bm2C1m2Dm2或2m19（5分）过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则ABF2（F2为右焦点）的周长是（）A12B14C22D2810（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，
3、过点F作倾斜角为60的直线交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），过点A作准线l的垂线，垂足为M，则AFM的面积为（）AB2C4D811（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）0，f（0）4，则不等式exf（x）4（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（3，+）B（，0）（3，+）C（，0）（0，+）D（0，+）12（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的左顶点为A，上顶点为B，过椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线AB于点D，若直线OD的斜率是直线AB的斜率的k倍，其中O为坐标原点，且k5，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A（，1）B（0，）C（，1）D（0，）二、填空题题（本大
4、题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）2f（2）x+x3，则f（2） 14（5分）已知两条直线l1：4x+2y30，l2：2x+y+10，则ll与l2的距离为 15（5分）若直线yx+b与曲线y3有公共点，则b的取值范围是 16（5分）有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，点A为两曲线的一个公共点，且满足F1AF290，则的值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）已知圆M：x2+（y1）216外有一点A（4，2），过点A作直线l（1）当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为135时
5、，求直线l被圆M所截得的弦长18（12分）已知函数f（x）x3+3x2+9x2，求：（1）函数yf（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程；（2）f（x）的单调递减区间19（12分）如图，在三棱锥PABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，ABBC，O是AC中点，OHPC于H（1）证明：PC平面BOH；（2）若，求三棱锥ABOH的体积20（12分）已知椭圆C的两焦点分别为，其短半轴长为1（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过点H（0，1）的直线y2x+t与椭圆C相交于两点M，N若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值21（12分）已知椭圆C的焦点为（，0），（，0
6、），且椭圆C过点M（4，1），直线l：yx+m不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形22（12分）已知函数（1）当a1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若不等式恒成立，求a的值2018-2019学年山西大学附中高二（下）2月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）双曲线x21的虚轴长为（）A2B3C4D5【分析】由双曲线方程可得焦点在y轴上，求得b1，虚轴长可求【解答】解：双曲线x21的焦点在y轴上，且a2，b1，则虚轴长2b2，故选：A【点评】本题
7、考查双曲线的方程和性质，主要是虚轴长的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题2（5分）到两定点F1（3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（）A椭圆B线段C双曲线D两条射线【分析】由已知中F1（3，0）、F2（3，0），我们易得|F1F2|6，根据到两定点F1、F2的距离之差的绝对值，大于|F1F2|时，轨迹为双曲线，等于|F1F2|时，轨迹两条射线，小于|F1F2|时，轨迹不存在，即可得到答案【解答】解：F1（3，0）、F2（3，0）|F1F2|6故到两定点F1（3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是以F1（3，0）、F2（3，0）为端点的两条
8、射线故选：D【点评】本题考查的知识点是轨迹方程，熟练掌握到两定点F1、F2的距离之差为定值时，轨迹的三种不同情况是解答本题的关键，本题易忽略判断|F1F2|的值，而直接根据双曲线的定义，而错选C3（5分）已知a0，b0，则“ab1”是“a+b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可【解答】解：若a3，b，满足a+b2，但ab1不成立，a2+b22ab，（a+b）24ab，ab1，（a+b）24，a+b2，故a0，b0，则“ab1”是“a+b2”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件
9、和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键4（5分）若直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点，则实数a取值范围是（）A3，1B1，3C3，1D（，31，+）【分析】根据直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点，可得圆心到直线xy+10的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围【解答】解：直线xy+10与圆（xa）2+y22有公共点圆心到直线xy+10的距离为|a+1|23a1故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式5（5分）设、是两个不同的平面，m、n是两条不同直线，则下列结论中错误的是（）A若m，n，则
10、 mnB若mn，则 m、n与所成的角相等C若，m，则 mD若mn，m，n，则【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得mn；在B中，由线面所成角的概念得m、n与所成的角相等；在C中，由面面平行的性质定理得m；在D中，与相交或平行【解答】解：由、是两个不同的平面，m、n是两条不同直线，知：在A中，若m，n，则由线面垂直的性质定理得mn，故A正确；在B中，若mn，则由线面所成角的概念得m、n与所成的角相等，故B正确；在C中，若，m，则由面面平行的性质定理得m，故C正确；在D中，若mn，m，n，则与相交或平行，故D错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查考查空间中直线与平面的位置关系等基础知识，
11、考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想是，是中档题6（5分）命题p：x00，x0+2，则p为（）Ax0，x+2Bx0，x+2Cx0，x+2Dx0，x+2【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：x00，x0+2，则p为：x0，x+2故选：B【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查7（5分）已知F1（4，0），F2（4，0）是双曲线C的两个焦点，且直线是该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的标准方程为（）ABCD【分析】利用已知条件，列出方程，求出a
12、，b，可得双曲线C的标准方程；【解答】解：由题意，c4，双曲线的焦点坐标在x轴上，直线是该双曲线的一条渐近线，所以，a2+b216，b2，a2，双曲线C的标准方程为：；故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，考查学生的计算能力，比较基础8（5分）已知方程+1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）Am2或m1Bm2C1m2Dm2或2m1【分析】先根据椭圆的焦点在x轴上m22+m，同时根据2+m0，两个范围取交集即可得出答案【解答】解：椭圆的焦点在x轴上m22+m，即m22m0解得m2或m1又2+m0m2m的取值范围：m2或2m1故选：D【点评】本题主要考查椭圆的标准方
13、程的问题即对于椭圆标准方程，当焦点在x轴上时，ab；当焦点在y轴上时，ab9（5分）过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则ABF2（F2为右焦点）的周长是（）A12B14C22D28【分析】由双曲线方程求得a4，由双曲线的定义可得 AF2+BF2 22，ABF2的周长是（ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）（AF2+BF2 ）+AB，计算可得答案【解答】解：由双曲线的标准方程可得 a4，由双曲线的定义可得 AF2AF12a，BF2 BF12a，AF2+BF2 AB4a16，即AF2+BF2 616，AF2+BF2 22ABF2（F2为右焦点）的周长是 （ AF1 +AF2 ）+（ BF
14、1+BF2 ）（AF2+BF2 ）+AB22+628故选：D【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出AF2+BF2 22 是解题的关键10（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为60的直线交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），过点A作准线l的垂线，垂足为M，则AFM的面积为（）AB2C4D8【分析】确定过点F作倾斜角为60的直线方程为y（x1），代入抛物线方程，求得交点A的坐标，再求AFM的面积【解答】解：由已知条件的，抛物线准线为x1，焦点（1，0），直线倾斜角为60，得斜率ktan60，设过点F作倾斜角为60的直线方程为
15、y（x1），代入抛物线方程可得3（x1）24x，3x210x+30，x3，或x，A在第一象限，A点坐标（3，2），|AM|4，SAMF，故选：C【点评】本题考查抛物线的性质，考查三角形的面积，确定直线方程与抛物线方程联立是解题的关键11（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）0，f（0）4，则不等式exf（x）4（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（3，+）B（，0）（3，+）C（，0）（0，+）D（0，+）【分析】令g（x）exf（x），求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可【解答】解：令g（x）exf（x），则g（x）ex（f（x）+f（x）0，故
16、g（x）在R递增，而g（0）f（0）4，故不等式exf（x）4，即g（x）g（0），解得：x0，故不等式的解集是（0，+），故选：D【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题12（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的左顶点为A，上顶点为B，过椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线AB于点D，若直线OD的斜率是直线AB的斜率的k倍，其中O为坐标原点，且k5，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A（，1）B（0，）C（，1）D（0，）【分析】求得AB所在直线方程，得到D的坐标，由斜率关系即可求得椭圆离心率，再由k的范围得答案【解答】解：（1）直线AB的方程为y（x+a），将
17、xc代入得点D（c，b+）， 则直线OD的斜率为，可得a（k1）c，则e，k5，k14，则（0，）故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题二、填空题题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）2f（2）x+x3，则f（2）12【分析】根据题意，求出函数的导数可得f（x）2f（2）+3x2，令x2可得f（2）2f（2）+12，变形可得答案【解答】解：根据题意，f（x）2f（2）x+x3，则f（x）2f（2）+3x2，当x2时，有f（2）2f（2）+12，变形可得：f（2）12；故答案为：12【点评】本题
18、考查函数导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题14（5分）已知两条直线l1：4x+2y30，l2：2x+y+10，则ll与l2的距离为【分析】先把直线方程中x、y的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式d，求出他们之间的距离【解答】解：两条直线l1：4x+2y30，l2：2x+y+10，即两条直线l1：4x+2y30，l2：4x+2y+20，它们之间的距离为d，故答案为：【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式d 应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题15（5分）若直线yx+b与曲线y3有公共点，则b的取值范围是1，3【分析】曲线即 （x2）2+（y3）24（1y3）
19、，表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线yx+b的距离等于半径2，解得 b1+b1结合图象可得b的范围【解答】解：如图所示：曲线y3，即y3，平方可得（x2）2+（y3）24（ 1y3，0x4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆由圆心到直线yx+b的距离等于半径2，可得 2，b1+，或b1结合图象可得1b3，故答案为：1，3【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题16（5分）有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，点A为两曲线的一个公共点，且满足F1AF290，则的值为2【分析】可设
20、P为第一象限的点，|AF1|m，|AF2|n，运用椭圆和双曲线的定义，可得m，n，再由勾股定理，结合离心率公式，化简可得所求值【解答】解：可设A为第一象限的点，|AF1|m，|AF2|n，由椭圆的定义可得m+n2a，由双曲线的定义可得mn2a可得ma+a，naa，由F1AF290，可得m2+n2（2c）2，即为（a+a）2+（aa）24c2，化为a2+a22c2，则+2，即有2故答案为：2【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和离心率公式，考查勾股定理和化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）已知圆M：x2+（y1）216外有一点A（4，2），过点A作直线
21、l（1）当直线l与圆M相切时，求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为135时，求直线l被圆M所截得的弦长【分析】（1）根据题意，分析圆M的圆心与半径，分2种情况讨论直线l：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x4，分析可得其符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+2k（x4），由直线与圆的位置关系分析可得k的值，即可得直线的方程，综合可得答案；（2）根据题意，易得直线l的方程为y+2（x4），即x+y20，结合直线与圆相交的性质分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，圆M：x2+（y1）216的圆心为（0，1），半径r4；分2种情况讨论：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x
22、4，满足题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+2k（x4），即kxy4k20，则，解得，此时直线l的方程为7x24y760，所以直线l的方程为x4或7x24y760；（2）当直线l的倾斜角为135时，直线l的方程为y+2（x4），即x+y20，圆心M（0，1）到直线l的距离为；所以直线l被圆M所截得的弦长【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题18（12分）已知函数f（x）x3+3x2+9x2，求：（1）函数yf（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程；（2）f（x）的单调递减区间【分析】（1）求出f（x）3x2+6x+9，f（0）9，f（0）2，由
23、此利用导数的几何意义能求出函数yf（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程（2）由f（x）3x2+6x+90，能求出f（x）的单调递减区间【解答】解：（1）f（x）x3+3x2+9x2，f（x）3x2+6x+9，f（0）9，f（0）2，函数yf（x）的图象在点（0，f（0）处的切线方程为：y+29x，即9xy20（2）f（x）x3+3x2+9x2，f（x）3x2+6x+9，由f（x）3x2+6x+90，解得x1或x3f（x）的单调递减区间为（，1），（3，+）【点评】本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的减区间的求法，考查导数的几何意义、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，
24、考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题19（12分）如图，在三棱锥PABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，ABBC，O是AC中点，OHPC于H（1）证明：PC平面BOH；（2）若，求三棱锥ABOH的体积【分析】（1）推导出BOAC，从而BO平面PAC，进而BOPC，再由OHPC，能证明PC平面BOH（2）VABOHVBHAOVBHOC，由此能求出三棱锥ABOH的体积【解答】解：（1）ABBC，O是AC中点，BOAC，（1分）又平面PAC平面ABC，且BO平面ABC，平面PAC平面ABCAC，BO平面PAC，（3分）BOPC，（4分）又OHPC，BOOHO，P
25、C平面BOH；（6分）（2）HAO与HOC面积相等，VABOHVBHAOVBHOC，BO平面PAC，（8分），HOC30HC1，（10分），即（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20（12分）已知椭圆C的两焦点分别为，其短半轴长为1（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过点H（0，1）的直线y2x+t与椭圆C相交于两点M，N若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值【分析】（1）由题意可得c2，b1，可得曲线C的方程，（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程
26、与椭圆方程，利用判别式大于0求得t的范围，再由根与系数的关系及直线HM与HN的斜率之和为1求实数t的值【解答】解：（1）由题意可得c2，b1，a2b2+c29曲线C的方程为：+y21；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y得，37x2+36tx+9（t21）0，由（36t）24379（t21）0，可得t，又直线y2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，t1，又x1+x2，x1x2，kHM+kHN+4+（t1）4+（t1）41，解得t3，故t的值为3【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题21（12分）已知椭圆C的焦点
27、为（，0），（，0），且椭圆C过点M（4，1），直线l：yx+m不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形【分析】（1）利用椭圆的定义先求出2a的值，可得出的值，再利用a、b、c之间的关系求出b的值，从而得出椭圆C的标准方程；（2）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式以及韦达定理计算出直线MA、MB的斜率互为相反数来证明结论成立【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为，由椭圆的定义可得，b2a2155，因此，椭圆C的标准方程为；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆方程
28、，消去y并化简得5x2+8mx+4m2200，由韦达定理可得，直线l与椭圆交于不同的两点A、B，所以，64m220（4m220）16（25m2）0，解得5m5，所以，直线MA、MB的斜率都存在且不为零，设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，则，故原命题成立【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题22（12分）已知函数（1）当a1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若不等式恒成立，求a的值【分析】（1）a1时，f（x），f（x），可得f（1）1，又f（1）0利用点斜式即可得出f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程令f
29、（x）0，解得xe通过列表可得函数f（x）的单调递区间及其极值（2）由题意可得：x0，由不等式f（x）1恒成立，即x1alnx0恒成立令g（x）x1alnx0，g（1）0，x（0，+）g（x），对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解：（1）a1时，f（x），f（x），f（1）1，又f（1）0函数f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程为y01（x1），即xy10令f（x）0，解得xex （0，e）e （e，+）f（x）+ 0f（x） 单调递增 极大值 单调递减可得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+），可得极大值为f（e），为极小值（2）由
30、题意可得：x0，由不等式f（x）1恒成立，即x1alnx0恒成立令g（x）x1alnx0，g（1）0，x（0，+）g（x）1，若a0，则函数g（x）在（0，+）上单调递增，又g（1）0，x（0，1）时，g（x）0，不符合题意，舍去若0a1，则函数g（x）在（a，+）上g（x）0，即函数g（x）单调递增，又g（1）0，x（a，1）时，g（x）0，不符合题意，舍去若a1，则函数g（x）在（1，+）上g（x）0，即函数g（x）单调递增，x（a，1）时，g（x）0，函数g（x）单调递减x1时，函数g（x）取得极小值即最小值，又g（1）0，x0时，g（x）0恒成立若1a，则函数g（x）在（0，a）上g（x）0，即函数g（x）单调递减，又g（1）0，x（1，a）时，g（x）0，不符合题意，舍去综上可得：a1【点评】本题考查了求函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题