2018-2019学年山西大学附中高二(下)2月月考数学试卷(文科)含详细解答

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资源描述

1、2018-2019学年山西大学附中高二(下)2月月考数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1(5分)双曲线x21的虚轴长为()A2B3C4D52(5分)到两定点F1(3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹()A椭圆B线段C双曲线D两条射线3(5分)已知a0,b0,则“ab1”是“a+b2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件4(5分)若直线xy+10与圆(xa)2+y22有公共点,则实数a取值范围是()A3,1B1,3C3,1D(,31,+)5(5分)设、是两个不同的平面,m、n是两条不同直线,则下列结论中错

2、误的是()A若m,n,则 mnB若mn,则 m、n与所成的角相等C若,m,则 mD若mn,m,n,则6(5分)命题p:x00,x0+2,则p为()Ax0,x+2Bx0,x+2Cx0,x+2Dx0,x+27(5分)已知F1(4,0),F2(4,0)是双曲线C的两个焦点,且直线是该双曲线的一条渐近线,则此双曲线的标准方程为()ABCD8(5分)已知方程+1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是()Am2或m1Bm2C1m2Dm2或2m19(5分)过双曲线左焦点F1的弦AB长为6,则ABF2(F2为右焦点)的周长是()A12B14C22D2810(5分)已知抛物线C:y24x的焦点为F,准线为l,

3、过点F作倾斜角为60的直线交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),过点A作准线l的垂线,垂足为M,则AFM的面积为()AB2C4D811(5分)定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f(x)0,f(0)4,则不等式exf(x)4(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(3,+)B(,0)(3,+)C(,0)(0,+)D(0,+)12(5分)已知椭圆C:+1(ab0)的左顶点为A,上顶点为B,过椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线AB于点D,若直线OD的斜率是直线AB的斜率的k倍,其中O为坐标原点,且k5,则椭圆C的离心率e的取值范围为()A(,1)B(0,)C(,1)D(0,)二、填空题题(本大

4、题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)若函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)2f(2)x+x3,则f(2) 14(5分)已知两条直线l1:4x+2y30,l2:2x+y+10,则ll与l2的距离为 15(5分)若直线yx+b与曲线y3有公共点,则b的取值范围是 16(5分)有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,点A为两曲线的一个公共点,且满足F1AF290,则的值为 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17(10分)已知圆M:x2+(y1)216外有一点A(4,2),过点A作直线l(1)当直线l与圆M相切时,求直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为135时

5、,求直线l被圆M所截得的弦长18(12分)已知函数f(x)x3+3x2+9x2,求:(1)函数yf(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程;(2)f(x)的单调递减区间19(12分)如图,在三棱锥PABC中,正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直,ABBC,O是AC中点,OHPC于H(1)证明:PC平面BOH;(2)若,求三棱锥ABOH的体积20(12分)已知椭圆C的两焦点分别为,其短半轴长为1(1)求椭圆C的方程;(2)设不经过点H(0,1)的直线y2x+t与椭圆C相交于两点M,N若直线HM与HN的斜率之和为1,求实数t的值21(12分)已知椭圆C的焦点为(,0),(,0

6、),且椭圆C过点M(4,1),直线l:yx+m不过点M,且与椭圆交于不同的两点A,B(1)求椭圆C的标准方程;(2)求证:直线MA,MB与x轴总围成一个等腰三角形22(12分)已知函数(1)当a1时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若不等式恒成立,求a的值2018-2019学年山西大学附中高二(下)2月月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1(5分)双曲线x21的虚轴长为()A2B3C4D5【分析】由双曲线方程可得焦点在y轴上,求得b1,虚轴长可求【解答】解:双曲线x21的焦点在y轴上,且a2,b1,则虚轴长2b2,故选:A【点评】本题

7、考查双曲线的方程和性质,主要是虚轴长的求法,考查方程思想和运算能力,属于基础题2(5分)到两定点F1(3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹()A椭圆B线段C双曲线D两条射线【分析】由已知中F1(3,0)、F2(3,0),我们易得|F1F2|6,根据到两定点F1、F2的距离之差的绝对值,大于|F1F2|时,轨迹为双曲线,等于|F1F2|时,轨迹两条射线,小于|F1F2|时,轨迹不存在,即可得到答案【解答】解:F1(3,0)、F2(3,0)|F1F2|6故到两定点F1(3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是以F1(3,0)、F2(3,0)为端点的两条

8、射线故选:D【点评】本题考查的知识点是轨迹方程,熟练掌握到两定点F1、F2的距离之差为定值时,轨迹的三种不同情况是解答本题的关键,本题易忽略判断|F1F2|的值,而直接根据双曲线的定义,而错选C3(5分)已知a0,b0,则“ab1”是“a+b2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可【解答】解:若a3,b,满足a+b2,但ab1不成立,a2+b22ab,(a+b)24ab,ab1,(a+b)24,a+b2,故a0,b0,则“ab1”是“a+b2”的充分不必要条件,故选:A【点评】本题主要考查充分条件

9、和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键4(5分)若直线xy+10与圆(xa)2+y22有公共点,则实数a取值范围是()A3,1B1,3C3,1D(,31,+)【分析】根据直线xy+10与圆(xa)2+y22有公共点,可得圆心到直线xy+10的距离不大于半径,从而可得不等式,即可求得实数a取值范围【解答】解:直线xy+10与圆(xa)2+y22有公共点圆心到直线xy+10的距离为|a+1|23a1故选:C【点评】本题考查直线与圆的位置关系,解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径,建立不等式5(5分)设、是两个不同的平面,m、n是两条不同直线,则下列结论中错误的是()A若m,n,则

10、 mnB若mn,则 m、n与所成的角相等C若,m,则 mD若mn,m,n,则【分析】在A中,由线面垂直的性质定理得mn;在B中,由线面所成角的概念得m、n与所成的角相等;在C中,由面面平行的性质定理得m;在D中,与相交或平行【解答】解:由、是两个不同的平面,m、n是两条不同直线,知:在A中,若m,n,则由线面垂直的性质定理得mn,故A正确;在B中,若mn,则由线面所成角的概念得m、n与所成的角相等,故B正确;在C中,若,m,则由面面平行的性质定理得m,故C正确;在D中,若mn,m,n,则与相交或平行,故D错误故选:D【点评】本题考查命题真假的判断,考查考查空间中直线与平面的位置关系等基础知识,

11、考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想是,是中档题6(5分)命题p:x00,x0+2,则p为()Ax0,x+2Bx0,x+2Cx0,x+2Dx0,x+2【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题p:x00,x0+2,则p为:x0,x+2故选:B【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查7(5分)已知F1(4,0),F2(4,0)是双曲线C的两个焦点,且直线是该双曲线的一条渐近线,则此双曲线的标准方程为()ABCD【分析】利用已知条件,列出方程,求出a

12、,b,可得双曲线C的标准方程;【解答】解:由题意,c4,双曲线的焦点坐标在x轴上,直线是该双曲线的一条渐近线,所以,a2+b216,b2,a2,双曲线C的标准方程为:;故选:A【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法,考查学生的计算能力,比较基础8(5分)已知方程+1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是()Am2或m1Bm2C1m2Dm2或2m1【分析】先根据椭圆的焦点在x轴上m22+m,同时根据2+m0,两个范围取交集即可得出答案【解答】解:椭圆的焦点在x轴上m22+m,即m22m0解得m2或m1又2+m0m2m的取值范围:m2或2m1故选:D【点评】本题主要考查椭圆的标准方

13、程的问题即对于椭圆标准方程,当焦点在x轴上时,ab;当焦点在y轴上时,ab9(5分)过双曲线左焦点F1的弦AB长为6,则ABF2(F2为右焦点)的周长是()A12B14C22D28【分析】由双曲线方程求得a4,由双曲线的定义可得 AF2+BF2 22,ABF2的周长是( AF1 +AF2 )+( BF1+BF2 )(AF2+BF2 )+AB,计算可得答案【解答】解:由双曲线的标准方程可得 a4,由双曲线的定义可得 AF2AF12a,BF2 BF12a,AF2+BF2 AB4a16,即AF2+BF2 616,AF2+BF2 22ABF2(F2为右焦点)的周长是 ( AF1 +AF2 )+( BF

14、1+BF2 )(AF2+BF2 )+AB22+628故选:D【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出AF2+BF2 22 是解题的关键10(5分)已知抛物线C:y24x的焦点为F,准线为l,过点F作倾斜角为60的直线交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),过点A作准线l的垂线,垂足为M,则AFM的面积为()AB2C4D8【分析】确定过点F作倾斜角为60的直线方程为y(x1),代入抛物线方程,求得交点A的坐标,再求AFM的面积【解答】解:由已知条件的,抛物线准线为x1,焦点(1,0),直线倾斜角为60,得斜率ktan60,设过点F作倾斜角为60的直线方程为

15、y(x1),代入抛物线方程可得3(x1)24x,3x210x+30,x3,或x,A在第一象限,A点坐标(3,2),|AM|4,SAMF,故选:C【点评】本题考查抛物线的性质,考查三角形的面积,确定直线方程与抛物线方程联立是解题的关键11(5分)定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f(x)0,f(0)4,则不等式exf(x)4(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(3,+)B(,0)(3,+)C(,0)(0,+)D(0,+)【分析】令g(x)exf(x),求出函数的导数,根据函数的单调性得到关于x的不等式,解出即可【解答】解:令g(x)exf(x),则g(x)ex(f(x)+f(x)0,故

16、g(x)在R递增,而g(0)f(0)4,故不等式exf(x)4,即g(x)g(0),解得:x0,故不等式的解集是(0,+),故选:D【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道常规题12(5分)已知椭圆C:+1(ab0)的左顶点为A,上顶点为B,过椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线AB于点D,若直线OD的斜率是直线AB的斜率的k倍,其中O为坐标原点,且k5,则椭圆C的离心率e的取值范围为()A(,1)B(0,)C(,1)D(0,)【分析】求得AB所在直线方程,得到D的坐标,由斜率关系即可求得椭圆离心率,再由k的范围得答案【解答】解:(1)直线AB的方程为y(x+a),将

17、xc代入得点D(c,b+), 则直线OD的斜率为,可得a(k1)c,则e,k5,k14,则(0,)故选:B【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了直线与椭圆位置关系的应用,是中档题二、填空题题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)若函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)2f(2)x+x3,则f(2)12【分析】根据题意,求出函数的导数可得f(x)2f(2)+3x2,令x2可得f(2)2f(2)+12,变形可得答案【解答】解:根据题意,f(x)2f(2)x+x3,则f(x)2f(2)+3x2,当x2时,有f(2)2f(2)+12,变形可得:f(2)12;故答案为:12【点评】本题

18、考查函数导数的计算,关键是掌握导数的计算公式,属于基础题14(5分)已知两条直线l1:4x+2y30,l2:2x+y+10,则ll与l2的距离为【分析】先把直线方程中x、y的系数化为相同的,再利用两条平行直线间的距离公式d,求出他们之间的距离【解答】解:两条直线l1:4x+2y30,l2:2x+y+10,即两条直线l1:4x+2y30,l2:4x+2y+20,它们之间的距离为d,故答案为:【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式d 应用,注意未知数的系数必需相同,属于基础题15(5分)若直线yx+b与曲线y3有公共点,则b的取值范围是1,3【分析】曲线即 (x2)2+(y3)24(1y3)

19、,表示以A(2,3)为圆心,以2为半径的一个半圆,由圆心到直线yx+b的距离等于半径2,解得 b1+b1结合图象可得b的范围【解答】解:如图所示:曲线y3,即y3,平方可得(x2)2+(y3)24( 1y3,0x4),表示以A(2,3)为圆心,以2为半径的一个半圆由圆心到直线yx+b的距离等于半径2,可得 2,b1+,或b1结合图象可得1b3,故答案为:1,3【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,体现了数形结合的数学思想,属于中档题16(5分)有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,点A为两曲线的一个公共点,且满足F1AF290,则的值为2【分析】可设

20、P为第一象限的点,|AF1|m,|AF2|n,运用椭圆和双曲线的定义,可得m,n,再由勾股定理,结合离心率公式,化简可得所求值【解答】解:可设A为第一象限的点,|AF1|m,|AF2|n,由椭圆的定义可得m+n2a,由双曲线的定义可得mn2a可得ma+a,naa,由F1AF290,可得m2+n2(2c)2,即为(a+a)2+(aa)24c2,化为a2+a22c2,则+2,即有2故答案为:2【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和离心率公式,考查勾股定理和化简整理的运算能力,属于中档题三、解答题(本大题共6小题,共70分)17(10分)已知圆M:x2+(y1)216外有一点A(4,2),过点A作直线

21、l(1)当直线l与圆M相切时,求直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为135时,求直线l被圆M所截得的弦长【分析】(1)根据题意,分析圆M的圆心与半径,分2种情况讨论直线l:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x4,分析可得其符合题意,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+2k(x4),由直线与圆的位置关系分析可得k的值,即可得直线的方程,综合可得答案;(2)根据题意,易得直线l的方程为y+2(x4),即x+y20,结合直线与圆相交的性质分析可得答案【解答】解:(1)根据题意,圆M:x2+(y1)216的圆心为(0,1),半径r4;分2种情况讨论:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x

22、4,满足题意,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+2k(x4),即kxy4k20,则,解得,此时直线l的方程为7x24y760,所以直线l的方程为x4或7x24y760;(2)当直线l的倾斜角为135时,直线l的方程为y+2(x4),即x+y20,圆心M(0,1)到直线l的距离为;所以直线l被圆M所截得的弦长【点评】本题考查直线与圆的方程的应用,涉及直线与圆的位置关系,属于综合题18(12分)已知函数f(x)x3+3x2+9x2,求:(1)函数yf(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程;(2)f(x)的单调递减区间【分析】(1)求出f(x)3x2+6x+9,f(0)9,f(0)2,由

23、此利用导数的几何意义能求出函数yf(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程(2)由f(x)3x2+6x+90,能求出f(x)的单调递减区间【解答】解:(1)f(x)x3+3x2+9x2,f(x)3x2+6x+9,f(0)9,f(0)2,函数yf(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为:y+29x,即9xy20(2)f(x)x3+3x2+9x2,f(x)3x2+6x+9,由f(x)3x2+6x+90,解得x1或x3f(x)的单调递减区间为(,1),(3,+)【点评】本题考查函数的切线方程的求法,考查函数的减区间的求法,考查导数的几何意义、导数性质等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,

24、考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题19(12分)如图,在三棱锥PABC中,正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直,ABBC,O是AC中点,OHPC于H(1)证明:PC平面BOH;(2)若,求三棱锥ABOH的体积【分析】(1)推导出BOAC,从而BO平面PAC,进而BOPC,再由OHPC,能证明PC平面BOH(2)VABOHVBHAOVBHOC,由此能求出三棱锥ABOH的体积【解答】解:(1)ABBC,O是AC中点,BOAC,(1分)又平面PAC平面ABC,且BO平面ABC,平面PAC平面ABCAC,BO平面PAC,(3分)BOPC,(4分)又OHPC,BOOHO,P

25、C平面BOH;(6分)(2)HAO与HOC面积相等,VABOHVBHAOVBHOC,BO平面PAC,(8分),HOC30HC1,(10分),即(12分)【点评】本题考查线面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题20(12分)已知椭圆C的两焦点分别为,其短半轴长为1(1)求椭圆C的方程;(2)设不经过点H(0,1)的直线y2x+t与椭圆C相交于两点M,N若直线HM与HN的斜率之和为1,求实数t的值【分析】(1)由题意可得c2,b1,可得曲线C的方程,(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线方程

26、与椭圆方程,利用判别式大于0求得t的范围,再由根与系数的关系及直线HM与HN的斜率之和为1求实数t的值【解答】解:(1)由题意可得c2,b1,a2b2+c29曲线C的方程为:+y21;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由,消去y得,37x2+36tx+9(t21)0,由(36t)24379(t21)0,可得t,又直线y2x+t不经过点H(0,1),且直线HM与HN的斜率存在,t1,又x1+x2,x1x2,kHM+kHN+4+(t1)4+(t1)41,解得t3,故t的值为3【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,是中档题21(12分)已知椭圆C的焦点

27、为(,0),(,0),且椭圆C过点M(4,1),直线l:yx+m不过点M,且与椭圆交于不同的两点A,B(1)求椭圆C的标准方程;(2)求证:直线MA,MB与x轴总围成一个等腰三角形【分析】(1)利用椭圆的定义先求出2a的值,可得出的值,再利用a、b、c之间的关系求出b的值,从而得出椭圆C的标准方程;(2)将直线l的方程与椭圆C的方程联立,列出韦达定理,利用斜率公式以及韦达定理计算出直线MA、MB的斜率互为相反数来证明结论成立【解答】解:(1)设椭圆C的标准方程为,由椭圆的定义可得,b2a2155,因此,椭圆C的标准方程为;(2)设点A(x1,y1)、B(x2,y2),将直线l的方程代入椭圆方程

28、,消去y并化简得5x2+8mx+4m2200,由韦达定理可得,直线l与椭圆交于不同的两点A、B,所以,64m220(4m220)16(25m2)0,解得5m5,所以,直线MA、MB的斜率都存在且不为零,设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2,则,故原命题成立【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题,考查韦达定理法在椭圆综合问题中的应用,考查计算能力与推理能力,属于中等题22(12分)已知函数(1)当a1时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若不等式恒成立,求a的值【分析】(1)a1时,f(x),f(x),可得f(1)1,又f(1)0利用点斜式即可得出f(x)在点P(1,f(1)处的切线方程令f

29、(x)0,解得xe通过列表可得函数f(x)的单调递区间及其极值(2)由题意可得:x0,由不等式f(x)1恒成立,即x1alnx0恒成立令g(x)x1alnx0,g(1)0,x(0,+)g(x),对a分类讨论,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解:(1)a1时,f(x),f(x),f(1)1,又f(1)0函数f(x)在点P(1,f(1)处的切线方程为y01(x1),即xy10令f(x)0,解得xex (0,e)e (e,+)f(x)+ 0f(x) 单调递增 极大值 单调递减可得函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+),可得极大值为f(e),为极小值(2)由

30、题意可得:x0,由不等式f(x)1恒成立,即x1alnx0恒成立令g(x)x1alnx0,g(1)0,x(0,+)g(x)1,若a0,则函数g(x)在(0,+)上单调递增,又g(1)0,x(0,1)时,g(x)0,不符合题意,舍去若0a1,则函数g(x)在(a,+)上g(x)0,即函数g(x)单调递增,又g(1)0,x(a,1)时,g(x)0,不符合题意,舍去若a1,则函数g(x)在(1,+)上g(x)0,即函数g(x)单调递增,x(a,1)时,g(x)0,函数g(x)单调递减x1时,函数g(x)取得极小值即最小值,又g(1)0,x0时,g(x)0恒成立若1a,则函数g(x)在(0,a)上g(x)0,即函数g(x)单调递减,又g(1)0,x(1,a)时,g(x)0,不符合题意,舍去综上可得:a1【点评】本题考查了求函数的单调性,极值,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题

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