1、专题四几何图形综合题类型一 动点问题 (2019福建模拟)如图1，在ACD中，ADCD4，AC4，ACB与ACD关于直线AC对称，E为AB边上一动点(与点A，B不重合)，连接CE，将射线CE绕点C顺时针旋转120，交射线AD于点F.(1)求DAB的大小；(2)如图2，当E为AB中点时，求CF的长度；(3)用等式表示线段AE，AF与AC之间的数量关系，并加以证明【分析】(1)过点D作DPAC，垂足为P.由ADCD4，AC4得AP2，由cosDAP得DAP30，利用对称的性质可得DAB60；(2)作CHAF于点H，CGAB的延长线于点G，利用全等三角形的性质以及勾股定理即可得解；(3)由CFHCE
2、G得RtACHRtACG，由三角函数得AGAC，从而可得AEAFAC.【自主解答】1(2019福建名校联考)在ABC中，ABAC2，D是BC边上的动点，连接AD.(1)如图1，若BC3，ADCBAC，求CD的长；(2)如图2，若BC2，D是BC的中点，把ADC绕点A顺时针旋转(060)角度后得到AEF，连接BF，点G是BF中点求证：DEG是等边三角形2(2019宁德二检)如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，E是AD边上的一个动点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BCDE，连接AC，AD.(1)若直线DA交BC于点F，求证：EFBF；(2)当AE时，求证：ACD是等腰三角形；(3)
3、在点E的运动过程中，求ACD面积的最小值3(2018泉州模拟)如图，在RtABC中，A90，AB12，AC16，点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且PDQ90.(1)求ED，EC的长；(2)若BP2，求CQ的长；(3)若线段PQ与线段DE的交点为F，当PDF为等腰三角形时，求BP的长类型二 图形变化问题 (2019福建)在RtABC中，ABC90，ACB30.将ABC绕点C顺时针旋转一个角度得到DEC，点A，B的对应点分别为D，E.(1)若点E恰好落在边AC上，如图1，求ADE的大小；(2)若60，F为AC的中点，如图2，求证：四边形
4、BEDF是平行四边形【分析】(1)利用旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和即可计算出答案；(2)利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF与AC的关系，利用含30角的直角三角形的性质得到AB与AC的关系，接着利用全等三角形的性质以及平行四边形的判定方法即可得到结论【自主解答】4(2019福建大联考)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处(1)如图1，若折痕AE5，且tanEFC，求矩形ABCD的周长；(2)如图2，在AD边上截取DGCF，连接GE，BD，相交于点H，求证：BDGE.5(2019原创)某同学用两个完全相同的直角三角形纸片重叠在一起(如图1)固定ABC不动，将
5、DEF沿线段AB向右平移(1)若A60，斜边AB4，设ADx(0x4)，两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y，试求出y与x的函数关系式；(2)在运动过程中，如图2，四边形CDBF能否为正方形，若能，请指出此时点D的位置，并说明理由；若不能，请你添加一个条件，并说明四边形CDBF为正方形6(2018福建模拟)在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EAFCEF45.(1)将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG(如图1)，求证：AEGAEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图2)，求证：EF2ME2NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变
6、(如图3)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系7(2019泉州模拟)有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90后得到矩形AMEF(如图1)，连接BD，MF，若BD16 cm，ADB30.(1)试探究线段BD 与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)把BCD 与MEF 剪去，将ABD绕点A顺时针旋转得AB1D1，边AD1交FM 于点K(如图2)，设旋转角为(090)，当AFK 为等腰三角形时，求的度数；(3)若将AFM沿AB方向平移得到A2F2M2(如图3)，F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NPAB时，求平移的距离参考答案类型一【例1】 (1
7、)如图，过点D作DPAC，垂足为P.ADCD4，AC4，APAC2.在RtADP中，cosDAP，DAP30.由对称得BACDAC，DAB2DAP60.(2)如图，作CHAF于点H，CGAB的延长线于点G，CHFCGB90.DACBAC30，CHCG.AECAFC360DABECF180，AECCEG180，CFHCEG，CFHCEG，CFCE.在RtCBG中，CBG2CAB60，CBCD4，BG2，CG2.在RtCEG中，EGEBBGABBG4，CE2，CF的长为2.(3)线段AE，AF与AC之间的数量关系为AEAFAC.证明如下：由(2)得CFHCEG，FHEG.ACAC，CHCG，RtA
8、CHRtACG，AHAG.在RtACG中，CAG30，AGACcosCAGAC，AEAFAGEGAHFH2AGAC.跟踪训练1(1)解：在ADC和BAC中，ADCBAC，CC，ADCBAC，CA2CDCB.AC2，BC3，CD.(2)证明：如图，连接BE，DF，CF，ABAC2，D是BC的中点，BC2，BDCD，ADBC，sinCAD，CADBAD60.把ADC绕点A顺时针旋转(060)角度后得到AEF，BADCADFAE，AFACAB，AEAD，BAEFAD，BAEFAD，BEFD，ABEAFD.又AFAB，ABFAFB，EBFDFB.又BGFG，BEFD，EBGDFG，EGDG.FAC，A
9、FAC，AFC90，BAF120，AFB30，BFCAFCAFB120.BDCD，BGGF，DGFC，DGF60.又EGBDGF，EGD60，DEG是等边三角形2(1)证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，FEBEBC.根据对称可得FBEEBC，FEBFBE，EFBF.(2)证明：如图，分别过点A作AGBC于点G，AHCD于点H.四边形ABCD是矩形，BAD90，tanABE，ABE30，FEB90ABE60，FBEFEB60，ABGFBEABE30，AGAB2.根据对称可得BCDC90，CDCD，BCDCGACHA90，四边形AGCH是矩形，AGCH2，AH是CD的垂直平分线，ACAD，AC
10、D是等腰三角形(3)解：如图，根据对称可得点C与点D的对称点分别为点C，D，作点A关于BE的对称点A.由对称性得ACDACD，BABA，SACDSACD，点A落在以点B为圆心、以AB为半径的弧AM上设弧AM交BC于点M，过点A作ANCD于N.由垂线段最短知BAANBMMC.BABM，ANMC，当点A落在点M处时，ACD的面积最小，即ACD的面积最小，此时MCBCBM2，SACDSACDMCDC4，ACD面积的最小值为4.3解：(1)A90，AB12，AC16，根据勾股定理得BC20，CDBC10.DEBC，ACDE90，CC，CDECAB，即，ED，EC.(2)CDECAB，BDEC.PDQ9
11、0，QDCPDB90.QDCEDQ90，EDQPDB，PBDQED，即，EQ，CQCEEQ11.(3)线段PQ与线段DE的交点为点F，点P在边AB上BPDEQD，.若设BPx，则EQx，CQx.tanQPD，tan C，QPDC.PDECDQ，PDFCDQ.PDF为等腰三角形，CDQ为等腰三角形当CQCD时，可得x10，解得x.当QCQD时，如图，过点Q作QMCB于M，CMCD5.cos C，CQ，x，解得x.当DCDQ时，如图，过点D作DNCQ于N，CQ2CN.cos C，CN8，CQ16，此时点A与点Q重合，x16，解得x(舍去)综上所述，BP的长为或.类型二【例2】 (1)在ABC中，A
12、BC90，ACB30，BAC60.由旋转性质得DCAC，DCEACB30，DACADC(180DCE)75.又EDCBAC60，ADEADCEDC15.(2)在ABC中，ABC90，ACB30，ABAC.F是AC的中点，BFFCAC，FBCACB30.由旋转性质得ABDE，DECABC90，BCEACD60，DEBF.如图，延长BF交EC于点G，则BGEGBCGCB90，BGEDEC，DEBF，四边形BEDF是平行四边形跟踪训练4解：(1)设EC3k，tanEFC，则FC4k，EF5k.四边形ABCD是矩形，ABDC8k.AFED90，AFBEFC90.B90，BAFAFB90，BAFEFC，
13、tanBAF，BF6k，AF10k.在RtAEF中，AF2EF2AE2，AE5，100k225k2(5)2，解得k1，ABDC8，BCADAF10，矩形ABCD的周长为36.(2)GDFC，DEEF，cosEFC.cosBAF，BAFEFC，DBAEGD，DBAEGD.DBAADB90，DGHGDH90，GHD90，BDGE.5解：(1)如图，设BC与DF的交点为G.DFAC，DGBC90，GDBA60，GBD30.BD4x，GD，BG，ySBDG(0x4)(2)不能为正方形，添加条件：ACBC，当点D运动到AB的中点位置时，四边形CDBF为正方形理由：ACBDFE90，D是AB的中点，CDA
14、B，BFDE，CDBDBFBE.CFBD，CDBDBFCF，四边形CDBF是菱形ACBC，D是AB的中点，CDAB，即CDB90，四边形CDBF是正方形6(1)证明：将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，AFAG，FAG90.EAF45，GAE45.在AGE和AFE中，AEGAEF(SAS)(2)证明：设正方形ABCD的边长为a.如图，将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，连接GM，则ADFABG，DFBG.由(1)知，AEGAEF，EGEF.CEF45，BME，DNF，CEF均为等腰直角三角形，CECF，BEBM，NFDF，BCBECDDF，BEDF，BEBMDFBG，BMG45
15、，GME454590，EG2ME2MG2.EGEF，MGBMDFNF，EF2ME2NF2.(3)解：EF22BE22DF2.提示：如图，延长FE交AB的延长线于M点，交AD的延长线于N点，将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到AGH，连接HM，HE.由(1)知，AEHAEF.由勾股定理得(GHBE)2BG2EH2，即(GHBE)2(BMGM)2EH2.又EFHE，DFGHGM，BEBM，(GHBE)2(BEGH)2EF2，即2(DF2BE2)EF2.7解：(1)结论：BDMF，BDMF.理由如下：如图，延长FM交BD于点N.由题意得BADMAF，BDMF，ADBAFM.又DMNAMF，ADBDMNAFMAMF90，DNM90，BDMF.(2)如图，当AKFK时，KAFF30，则BAB1180B1AD1KAF180903060，即60.当AFFK时，FAK(180F)75，BAB190FAK15，即15.综上所述，的度数为60或15.(3)如图，由题意得矩形PNA2A.设A2Ax，则PNx.在RtA2M2F2中，F2M2FM16，FADB30，A2M28，A2F28，AF28x.PAF290，PF2A30，APAF2tan 308x，PDADAP88x.NPAB，DNPB.DD，DPNDAB，解得x124，即A2A124，平移的距离是(124)cm.