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2018-2019学年陕西省西安一中高二(上)10月月考数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年陕西省西安一中高二(上)10月月考数学试卷一、选择题(满分36分,每小题3分):1(3分)已知等比数列的前n项和Sn4n+a,则a的值等于()A4B1C0D12(3分)现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用1年期自动转存业务,则5年末的本利和共有()A81.0253万元B81.0254万元C81.0255万元D81.0256万元3(3分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知a,c2,cosA,则b()ABC2D34(3分)已知数列an满足a10,an+1(nN+),则a30()A0BCD5(3分)一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120夹角的方向航

2、行,已知河水流速为2km/h,则经过 h,该船的实际航程为()A2 kmB6 kmC2 kmD8 km6(3分)在等差数列an中,已知a4+a816,则该数列前11项和S11()A58B88C143D1767(3分)已知an为等比数列,a4+a72,a5a68,则a1+a10()A7B5C5D78(3分)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S84S4,则a10()ABC10D129(3分)设等差数列an的公差为d,若数列为递减数列,则()Ad0Bd0Ca1d0Da1d010(3分)在ABC中,B,BC边上的高等于BC,则sinA()ABCD11(3分)设各项均为实数的等比数列

3、an的前n项和为Sn,若S1010,S3070,则S40等于()A150B200C150或200D400或5012(3分)设数列an的前n项和为Sn,且a11,an+1SnSn+1,则Sn()AnBCnD二、填空题(满分20分,每小题4分):13(4分)某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于   14(4分)设an是首项为a1,公差为1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为   15(4分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北

4、侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD   m16(4分)在等差数列an中,若a3+a5+a7+a9+a11100,则3a9a13   17(4分)在ABC中,B120,AB,A的角平分线AD,则AC   三、解答题(满分44分):18(8分)已知数列an的前n项和公式为Sn2n230n(1)求数列an的通项公式an;(2)求Sn的最小值及对应的n值19(8分)有四个实数,前3个数成等比数列,且它们的积为216,后三个数成等差数列,且它们的和为12,求这四个数20(8分)已知ABC的内角

5、A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosC(acosB+bcosA)(I)求C;(II)若c,ABC的面积为,求ABC的周长21(10分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c2acosB()证明:A2B;()若ABC的面积S,求角A的大小22(10分)设数列an的前n项和为Sn,已知2Sn3n+3()求an的通项公式;()若数列bn,满足anbnlog3an,求bn的前n项和Tn2018-2019学年陕西省西安一中高二(上)10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(满分36分,每小题3分):1(3分)已知等比数列的前n项和Sn4n+a,则a的值等于()A4B1

6、C0D1【分析】由,利用Sn4n+a,能求出a1,a2,a3,再由等比数列的性质能求出a的值【解答】解:等比数列的前n项和Sn4n+a,a2S2S1(16+a)(4+a)12,a3S3S2(64+a)(16+a)48,12248(4+a),解得a1故选:B【点评】本题考查公式由的应用和等比数列的性质,是基础题解题时要认真审题,仔细解答2(3分)现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用1年期自动转存业务,则5年末的本利和共有()A81.0253万元B81.0254万元C81.0255万元D81.0256万元【分析】根据自动转存特点计算【解答】解:5年末的本利和为8(1+2.5%)581.02

7、55万元故选:C【点评】本题考查了函数值计算,属于基础题3(3分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知a,c2,cosA,则b()ABC2D3【分析】由余弦定理可得cosA,利用已知整理可得3b28b30,从而解得b的值【解答】解:a,c2,cosA,由余弦定理可得:cosA,整理可得:3b28b30,解得:b3或(舍去)故选:D【点评】本题主要考查了余弦定理,一元二次方程的解法在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题4(3分)已知数列an满足a10,an+1(nN+),则a30()A0BCD【分析】根据题意,由数列的递推公式求出数列的前4项,分析可得an+3an,

8、则数列an的周期为3,据此可得a30a3+27a3,即可得答案【解答】解:根据题意,数列an满足a10,an+1(nN+),则a2,a3,a40,则有an+3an,则数列an的周期为3,则a30a3+27a3;故选:C【点评】本题考查数列的递推公式,注意利用递推公式分析数列的前n项5(3分)一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120夹角的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过 h,该船的实际航程为()A2 kmB6 kmC2 kmD8 km【分析】根据题意,画出示意图,根据三角形的知识求出解来【解答】解:如图所示,表示水流速度,表示船在静水中的速度,则表示船的实际速度;又|2,|4,A

9、OB120,则CBO60,|2,AOCBCO90实际速度为2km/h,则实际航程为26km故选:B【点评】本题考查了平面向量的应用问题,解题时应注意船在静水中的速度,水流速度和船的实际速度的区别,是基础题目6(3分)在等差数列an中,已知a4+a816,则该数列前11项和S11()A58B88C143D176【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11a4+a816,再由S11 运算求得结果【解答】解:在等差数列an中,已知a4+a816,a1+a11a4+a816,S1188,故选:B【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前n项和公式的应用,属于中档题7(3分)已知an为等

10、比数列,a4+a72,a5a68,则a1+a10()A7B5C5D7【分析】由a4+a72,及a5a6a4a78可求a4,a7,进而可求公比q,代入等比数列的通项可求a1,a10,即可【解答】解:a4+a72,由等比数列的性质可得,a5a6a4a78a44,a72或a42,a74当a44,a72时,a18,a101,a1+a107当a42,a74时,q32,则a108,a11a1+a107综上可得,a1+a107故选:D【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用,考查了基本运算的能力8(3分)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S84S4,则a10()ABC10D1

11、2【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解:an是公差为1的等差数列,S84S4,8a1+14(4a1+),解得a1则a10+91故选:B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题9(3分)设等差数列an的公差为d,若数列为递减数列,则()Ad0Bd0Ca1d0Da1d0【分析】由数列递减可得1,由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得答案【解答】解:数列为递减数列,1,即1,a1(an+1an)a1d0故选:C【点评】本题考查等差数列的性质和指数函数的性质,是基础题10(3分)在ABC中,B,BC边上的高等于BC,则

12、sinA()ABCD【分析】由已知,结合勾股定理和余弦定理,求出AB,AC,再由三角形面积公式,可得sinA【解答】解:在ABC中,B,BC边上的高等于BC,ABBC,由余弦定理得:ACBC,故BCBCABACsinABCBCsinA,sinA,故选:D【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算,熟练掌握正弦定理和余弦定理,是解答的关键11(3分)设各项均为实数的等比数列an的前n项和为Sn,若S1010,S3070,则S40等于()A150B200C150或200D400或50【分析】根据等比数列的前n项和的公式化简S1010,S3070,分别得到关于q的两个关系式,两者相除即可求出公比q

13、的10次方的值,然后利用等比数列的前n项和的公式表示S40比S10的值,把q的10次方的值代入即可求出比值,根据比值即可得到S40的值【解答】解:根据等比数列的前n项和的公式化简S1010,S3070得:S1010,S3070,则7,得到1+q10+q207,即(q10)2+q1060,解得q103(舍去),q102,则15,所以S4015S10150故选:A【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值,是一道综合题12(3分)设数列an的前n项和为Sn,且a11,an+1SnSn+1,则Sn()AnBCnD【分析】由已知数列递推式可得Sn+1SnSnSn+1,即,由此可知,数

14、列是以1为首项,以1为公差的等差数列,求出等差数列的通项公式得答案【解答】解:由an+1SnSn+1,得Sn+1SnSnSn+1,又,数列是以1为首项,以1为公差的等差数列,则,故选:D【点评】本题考查数列递推式,考查等差关系的确定,训练了等差数列通项公式的求法,是中档题二、填空题(满分20分,每小题4分):13(4分)某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于6【分析】由题意可得,第n天种树的棵数an是以2为首项,以2为公比的等比数列,根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足sn100,解不等式可求【

15、解答】解:由题意可得,第n天种树的棵数an是以2为首项,以2为公比的等比数列sn2n+121002n+1102nN*n+17n6,即n的最小值为6故答案为:6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用,解题的关键是等比数列模型的确定14(4分)设an是首项为a1,公差为1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为【分析】由条件求得,Sn,再根据S1,S2,S4成等比数列,可得 S1S4,由此求得a1的值【解答】解:由题意可得,ana1+(n1)(1)a1+1n,Sn,再根据若S1,S2,S4成等比数列,可得 S1S4,即 a1(4a16),解得 a

16、1,故答案为:【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式,等比数列的定义和性质,属于中档题15(4分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD100m【分析】设此山高h(m),在BCD中,利用仰角的正切表示出BC,进而在ABC中利用正弦定理求得h【解答】解:设此山高h(m),则BCh,在ABC中,BAC30,CBA105,BCA45,AB600根据正弦定理得,解得h100(m)故答案为:100【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是构造三角形,将各个已

17、知条件向这个主三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求解16(4分)在等差数列an中,若a3+a5+a7+a9+a11100,则3a9a1340【分析】根据等差数列的等差中项性质可知a3+a5+a7+a9+a115a7进而求得a7,根据等差数列通项公式可知a7a1+6d,最后根据3a9a132(a1+6d)求得答案【解答】解:a3+a5+a7+a9+a115a7100,a7a1+6d203a9a132(a1+6d)40故答案为40【点评】本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的通项公式,属基础题17(4分)在ABC中,B120,AB,A的角平分线AD,则

18、AC【分析】利用已知条件求出A,C,然后利用正弦定理求出AC即可【解答】解:由题意以及正弦定理可知:,即,ADB45,A18012045,可得A30,则C30,三角形ABC是等腰三角形,AC2故答案为:【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力三、解答题(满分44分):18(8分)已知数列an的前n项和公式为Sn2n230n(1)求数列an的通项公式an;(2)求Sn的最小值及对应的n值【分析】(1)利用递推式即可得出;(2)利用二次函数的单调性即可得出【解答】解:(1)当n1时,a123028;当n2时,anSnSn12n230n2(n1)230(n1)4n32,

19、当n1时上式也成立,an4n32(2)Sn2n230n2当n7或8时,Sn取得最小值,为112【点评】本题考查了递推式的应用、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题19(8分)有四个实数,前3个数成等比数列,且它们的积为216,后三个数成等差数列,且它们的和为12,求这四个数【分析】设此前3个数分别为:,a,aq,可得aaq216,解得a设后三个数分别为:bd,b,b+d可得bd+b+b+d12,解得b于是4d6,46q,解得d,q即可得出【解答】解:设此前3个数分别为:,a,aq,aaq216,a3216,解得a6设后三个数分别为:bd,b,b+dbd+b+b+d12,解得b

20、44d6,46q,解得d2,q这四个数分别为:9,6,4,2【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题20(8分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosC(acosB+bcosA)(I)求C;(II)若c,ABC的面积为,求ABC的周长【分析】(I)由已知及正弦定理,两角和的正弦函数公式可得cosC,结合范围0C,可求C的值(II)由三角形面积公式可求ab6,进而根据余弦定理可求(a+b)225,求得a+b的值,即可得解【解答】(本题满分为12分)解:(I)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)

21、sinC,(2分)即2cosCsin(A+B)sinC                   (3分)故2sinCcosCsinC                         (4分)可得cosC,又0C,所以C                    (6分)(II)由已知,SABCab

22、sinC                  (7分)又C,所以ab6                          (8分)由已知及余弦定理得,c2a2+b22abcosC7   (9分)故a2+b213,从而(a+b)225                 (10分)所以ABC的周长

23、为5+              (12分)【点评】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题21(10分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c2acosB()证明:A2B;()若ABC的面积S,求角A的大小【分析】()利用正弦定理,结合和角的正弦公式,即可证明A2B()若ABC的面积S,则bcsinA,结合正弦定理、二倍角公式,即可求角A的大小【解答】()证明:b+c2acosB,sinB+sinC2sinAcos

24、B,sinB+sin(A+B)2sinAcosBsinB+sinAcosB+cosAsinB2sinAcosBsinBsinAcosBcosAsinBsin(AB)A,B是三角形中的角,BAB,A2B;()解:ABC的面积S,bcsinA,2bcsinAa2,2sinBsinCsinAsin2B,sinCcosB,B+C90,或CB+90,A90或A45【点评】本题考查了正弦定理,解三角形,考查三角形面积的计算,考查二倍角公式的运用,属于中档题22(10分)设数列an的前n项和为Sn,已知2Sn3n+3()求an的通项公式;()若数列bn,满足anbnlog3an,求bn的前n项和Tn【分析】

25、()利用2Sn3n+3,可求得a13;当n1时,2Sn13n1+3,两式相减2an2Sn2Sn1,可求得an3n1,从而可得an的通项公式;()依题意,anbnlog3an,可得b1,当n1时,bn31nlog33n1(n1)31n,于是可求得T1b1;当n1时,Tnb1+b2+bn+(131+232+(n1)31n),利用错位相减法可求得bn的前n项和Tn【解答】解:()因为2Sn3n+3,所以2a131+36,故a13,当n1时,2Sn13n1+3,此时,2an2Sn2Sn13n3n123n1,即an3n1,所以an()因为anbnlog3an,所以b1,当n1时,bn31nlog33n1(n1)31n,所以T1b1;当n1时,Tnb1+b2+bn+(131+232+(n1)31n),所以3Tn1+(130+231+332+(n1)32n),两式相减得:2Tn+(30+31+32+32n(n1)31n)+(n1)31n,所以Tn,经检验,n1时也适合,综上可得Tn【点评】本题考查数列的求和,着重考查数列递推关系的应用,突出考查“错位相减法”求和,考查分析、运算能力,属于中档题