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浙江省湖州五中2019年中考数学一模提高试卷(含答案解析)

1、2019年浙江省湖州五中中考数学一模提高试卷一选择题(共10小题)1在O中,P为其内一点,过点P的最长的弦为8cm,最短的弦长为4cm,则OP为()cmA2BC3D22平面上有四个点,过其中任意3个点一共能确定圆的个数为()A0或3或4B0或1或3C0或1或3或4D0或1或43直线MN通过原点的是()AM(2,3),N(4,6)BM(2,3),N(4,6)CM(2,3),N(4,6)DM(2,3),N(4,6)4证明一个四边形是正方形,使用次数最少的方法对折,则应该对折()A1次B2次C3次D4次5如图,在ABC中,AB10,AC8,BC6,以边AB中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别

2、是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的差是()A6B2+1C9D76已知:如图,O是等腰RtABC的外接圆,点D是上的一点,BD交AC于点E,若BC4,AD0.8,则DE的长是()A1.2B0.9C1D0.67如图,已知AC是O的直径,点B在圆周上(不与A、C重合),点D在AC的延长线上,连接BD交O于点E,若AOB3ADB,则()ADEEBBDEEBCDEDODDEOB8已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(mn),过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形,若这两个三角形都为等腰三角形,则()Am2+2mn+n20Bm22mn+n20Cm2+2mnn20Dm22mnn2

3、09如图,ABC内切圆是O,折叠矩形ABCD,使点D、O重合,FG是折痕,点F在AD上,G在ABC上,连结OG,DG,若OG垂直DG,且O的半径为1,则下列结论不成立的是()ACD+DF4BCDDF23CBC+AB2+4DBCAB210如图,已知正方形ABCD,点E是边AB的中点,点O是线段AE上的一个动点(不与A、E重合),以O为圆心,OB为半径的圆与边AD相交于点M,过点M作O的切线交DC于点N,连接OM、ON、BM、BN记MNO、AOM、DMN的面积分别为S1、S2、S3,则下列结论不一定成立的是()AS1S2+S3BAOMDMNCMBN45DMNAM+CN二填空题(共6小题)11有x支

4、球队参加篮球比赛,共比赛45场,每两队之间都比赛两场,列方程为 12梅西踢足球,沿直线CD进攻,最恰当的射点位于点 (填CDE)13如图矩形,AB2BC4,E是AB二等分点,直线l平行于直线EC,且直线l与直线EC之间的距离为2,点F在矩形ABCD边上,沿直线EF折叠矩形ABCD,使点A落在直线l上,则DF 14如图,在RtABC中,B90,A30,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则EAD的余弦值是 15如图,在RtABC的纸片中,C90,AC5,AB13点D在边BC上,以AD为折痕将ADB折叠得到ADB,AB与

5、边BC交于点E若DEB为直角三角形,则BD的长是 16当2x1时,抛物线y(xm)2+m2+1有ymax4,则m 三解答题(共5小题)17我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”(1)已知:如图1,四边形ABCD是“等对角四边形”,AC,A70,B80求C,D的度数(2)在探究“等对角四边形”性质时:小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图2),其中ABCADC,ABAD,此时她发现CBCD成立请你证明此结论;由此小红猜想:“对于任意等对角四边形,当一组邻边相等时,另一组邻边也相等”你认为她的猜想正确吗?若正确,请证明;若不正确,请举出反例(3)已知:在“等对

6、角四边形”ABCD中,DAB60,ABC90,AB5,AD4求对角线AC的长18如图1,地面BD上两根等长立柱AB,CD之间有一根绳子可看成抛物线y0.1x20.8x+5(1)求绳子最低点离地面的距离;(2)因实际需要,在离AB为5米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图2),使左边抛物线F1的最低点距MN为1米,离地面2米,求MN的长;(3)将立柱MN的长度提升为5米,通过调整MN的位置,使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为设MN离AB的距离为m,抛物线F2的顶点离地面距离为k,但2k3时,求m的取值范围19在RtABC中,ACB90,AC12点D在直线CB上,以CA,CD为边作矩形ACDE

7、,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G(1)如图,点D在线段CB上,四边形ACDE是正方形若点G为DE的中点,求FG的长若DGGF,求BC的长(2)已知BC9,是否存在点D,使得DFG是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由20如图1,A(4,0)正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上,点C在第二象限现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角得到正方形OEFG(1)如图2,若60,OEOA,求直线EF的函数表达式(2)若为锐角,tan,当AE取得最小值时,求正方形OEFG的面积(3)当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时,直线AE与直线FG相交于点P,OEP的其中两边之比能否

8、为:1?若能,求点P的坐标;若不能,试说明理由21如图矩形COAB,点B(4,3),点H位于边BC上直线l1:2xy+30直线l2:2xy30(1)若点N为l2上第一象限的点,AHN为等腰Rt,求N坐标(2)若把l1、l2上的点构成的图形称为图形V已知矩形AJHI的顶点J在图形V上,I为平面系上的点,且J(x,y),求x的范围(写出过程) 参考答案与试题解析一选择题(共10小题)1在O中,P为其内一点,过点P的最长的弦为8cm,最短的弦长为4cm,则OP为()cmA2BC3D2【分析】根据直径是圆中最长的弦,知该圆的直径是8cm;最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦;根据垂径定理即可求得C

9、P的长,再进一步根据勾股定理,可以求得OP的长【解答】解:如图所示,CDAB于点P根据题意,得:AB8cm,CD4cm,CDAB,CPCD2cm,根据勾股定理,得OP2(cm)故选:A2平面上有四个点,过其中任意3个点一共能确定圆的个数为()A0或3或4B0或1或3C0或1或3或4D0或1或4【分析】如图,当四点在同一条直线上时,不能确定圆,当四点共圆时,只能作一个圆,当三点在同一直线上时,可以作三个圆,当四点不共圆时,且没有三点共线时,能确定四个圆,由此即可解决问题【解答】解:如图,当四点在同一条直线上时,不能确定圆,当四点共圆时,只能作一个圆,当三点在同一直线上时,可以作三个圆,当四点不共

10、圆时,且没有三点共线时,能确定四个圆故选:C3直线MN通过原点的是()AM(2,3),N(4,6)BM(2,3),N(4,6)CM(2,3),N(4,6)DM(2,3),N(4,6)【分析】根据待定系数法求得一次函数的解析式,然后判断即可得到结论【解答】解:A、M(2,3),N(4,6),直线MN的解析式为yx;故直线MN过原点;B、M(2,3),N(4,6),直线MN的解析式为yx12,;故直线MN不过原点;C、M(2,3),N(4,6),直线MN的解析式为yx4;故直线MN不过原点;D、M(2,3),N(4,6),直线MN的解析式为yx+4;故直线MN不过原点;故选:A4证明一个四边形是正

11、方形,使用次数最少的方法对折,则应该对折()A1次B2次C3次D4次【分析】由折叠得出四个角相等的四边形是矩形,再由一组邻边相等,即可得出四边形是正方形【解答】解:把四边形对折1次(共2层),2组邻角相等,且一组对边相等;将四边形展开后沿对角线对折,则对角相等,两组邻边长度相等,所以4个角相等,且4条边相等则这个四边形是正方形故选:B5如图,在ABC中,AB10,AC8,BC6,以边AB中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的差是()A6B2+1C9D7【分析】如图,设O与AC相切于点E,连接OE,作OP1BC垂足为P1交O于Q1

12、,此时垂线段OP1最短,P1Q1最小值为OP1OQ1,求出OP1,如图当Q2在AB边上时,P2与B重合时,P2Q2最大值5+38,由此不难解决问题【解答】解:如图,设O与AC相切于点E,连接OE,作OP1BC垂足为P1交O于Q1,此时垂线段OP1最短,P1Q1最小值为OP1OQ1,AB10,AC8,BC6,AB2AC2+BC2,C90,OP1B90,OP1ACAOOB,P1CP1B,OP1AC4,P1Q1最小值为OP1OQ11,如图,当Q2在AB边上时,P2与B重合时,P2Q2经过圆心,经过圆心的弦最长,P2Q2最大值5+38,PQ长的最大值与最小值的差是7故选:D6已知:如图,O是等腰RtA

13、BC的外接圆,点D是上的一点,BD交AC于点E,若BC4,AD0.8,则DE的长是()A1.2B0.9C1D0.6【分析】根据圆周角定理得到D90,根据勾股定理求出BD、证明ADEBCE,得到CE5DE,根据勾股定理计算即可【解答】解:在等腰RtABC中,BC4,AB是O的直径,AB4,D90,AD0.8,AB4,BD,DC,DACCBE,ADEBCE,即CE5DE,在RtBCE中,CE2+BC2BE2,即(5DE)2+42(DE)2,解得,DE0.6,故选:D7如图,已知AC是O的直径,点B在圆周上(不与A、C重合),点D在AC的延长线上,连接BD交O于点E,若AOB3ADB,则()ADEE

14、BBDEEBCDEDODDEOB【分析】连接EO,只要证明DEOD即可解决问题【解答】解:连接EOOBOE,BOEB,OEBD+DOE,AOB3D,B+D3D,D+DOE+D3D,DOED,EDEOOB,故选:D8已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(mn),过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形,若这两个三角形都为等腰三角形,则()Am2+2mn+n20Bm22mn+n20Cm2+2mnn20Dm22mnn20【分析】如图,根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2(nm)2,整理即可求解【解答】解:如图,m2+m2(nm)2,2m2n22mn+m2,m2+2mnn20故选:C9如图,A

15、BC内切圆是O,折叠矩形ABCD,使点D、O重合,FG是折痕,点F在AD上,G在ABC上,连结OG,DG,若OG垂直DG,且O的半径为1,则下列结论不成立的是()ACD+DF4BCDDF23CBC+AB2+4DBCAB2【分析】设O与BC的切点为M,连接MO并延长MO交AD于点N,根据折叠的性质得到OGDG,根据全等三角形的性质得到OMGC1,CDGMBCBMGCBC2求得BCAB2设ABa,BCb,ACc,O的半径为r,根据勾股定理得到a2+b2(a+b2)2,求得BC+AB2+4再设DFx,在RtONF中,FN3+,OFx,ON1+,根据勾股定理得到CDDF,CD+DF【解答】解:如图,设

16、O与BC的切点为M,连接MO并延长MO交AD于点N,将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,使点D与点O重合,折痕为FG,OGDG,OGDG,MGO+DGC90,MOG+MGO90,MOGDGC,在OMG和GCD中,OMGGCD,OMGC1,CDGMBCBMGCBC2ABCD,BCAB2设ABa,BCb,ACc,O的半径为r,O是RtABC的内切圆可得r(a+bc),ca+b2在RtABC中,由勾股定理可得a2+b2(a+b2)2,整理得2ab4a4b+40,又BCAB2即b2+a,代入可得2a(2+a)4a4(2+a)+40,解得a1+或a1(不合题意舍去),BC+AB2+4再设DFx,在RtO

17、NF中,FN3+,OFx,ON1+,由勾股定理可得(2+x)2+()2x2,解得x4,CDDF,CD+DF综上只有选项A错误,故选:A10如图,已知正方形ABCD,点E是边AB的中点,点O是线段AE上的一个动点(不与A、E重合),以O为圆心,OB为半径的圆与边AD相交于点M,过点M作O的切线交DC于点N,连接OM、ON、BM、BN记MNO、AOM、DMN的面积分别为S1、S2、S3,则下列结论不一定成立的是()AS1S2+S3BAOMDMNCMBN45DMNAM+CN【分析】(1)如图作MPAO交ON于点P,当AMMD时,求得S1S2+S3,(2)利用MN是O的切线,四边形ABCD为正方形,求

18、得AOMDMN(3)作BPMN于点P,利用RtMABRtMPB和RtBPNRtBCN来证明C,D成立【解答】解:(1)如图,作MPAO交ON于点P,点O是线段AE上的一个动点,当AMMD时,S梯形ONDA(OA+DN)ADSMNOSMOP+SMPNMPAM+MPMDMPAD,(OA+DN)MP,SMNOS梯形ONDA,S1S2+S3,不一定有S1S2+S3,(2)MN是O的切线,OMMN,又四边形ABCD为正方形,AD90,AMO+DMN90,AMO+AOM90,AOMDMN,在AMO和DMN中,AOMDMN故B成立;(3)如图,作BPMN于点P,MN,BC是O的切线,PMBMOB,CBMMO

19、B,ADBC,CBMAMB,AMBPMB,在RtMAB和RtMPB中,RtMABRtMPB(AAS)AMMP,ABMMBP,BPABBC,在RtBPN和RtBCN中,RtBPNRtBCN(HL)PNCN,PBNCBN,MBNMBP+PBN,MNMP+PNAM+CN故C,D成立,综上所述,A不一定成立,故选:A二填空题(共6小题)11有x支球队参加篮球比赛,共比赛45场,每两队之间都比赛两场,列方程为x(x1)45【分析】先列出x支篮球队,每两队之间都比赛两场,共可以比赛x(x1)场,再根据题意列出方程为x(x1)45【解答】解:有x支球队参加篮球比赛,每两队之间都比赛两场,共比赛场数为x(x1

20、),共比赛了45场,x(x1)45,故答案为:x(x1)4512梅西踢足球,沿直线CD进攻,最恰当的射点位于点D或E(填CDE)【分析】直接利用圆周角定理得出最佳射门点【解答】解:如图所示:当在点D,E位置时,圆周角相同,故最恰当的射点位于点D或E故答案为:D或E13如图矩形,AB2BC4,E是AB二等分点,直线l平行于直线EC,且直线l与直线EC之间的距离为2,点F在矩形ABCD边上,沿直线EF折叠矩形ABCD,使点A落在直线l上,则DF2或42【分析】当直线l在直线CE上方时,连接DE交直线l于M,只要证明DFM是等腰直角三角形即可利用DFDM解决问题,当直线l在直线EC下方时,由DEF1

21、BEF1DF1E,得到DF1DE,由此即可解决问题【解答】解:如图,当直线l在直线CE上方时,连接DE交直线l于M,AB2BC4,E是AB二等分点,BC2,BE2AE四边形ABCD是矩形,AB90,ADBC,AB4,ADBC2,ADAEEBBC2,ADE、ECB是等腰直角三角形,AEDBEC45,DEC90,lEC,EDl,EM2AE,点A、点M关于直线EF对称,MDFMFD45,DMMFDEEM22,DFDM42,当直线l在直线EC下方时,DEF1BEF1DF1E,DF1DE2,综上所述DF的长为2或42故答案为2或4214如图,在RtABC中,B90,A30,以点A为圆心,BC长为半径画弧

22、交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则EAD的余弦值是【分析】设BCx,由含30角的直角三角形的性质得出AC2BC2x,求出ABx,根据题意得出ADBCx,AEDEABx,作EMAD于M,由等腰三角形的性质得出AMx,在RtAEM中,由三角函数的定义即可得出结果【解答】解:如图所示,设BCx,在RtABC中,B90,A30,AC2BC2x,ABBCx,根据题意得:ADBCx,AEDEABx,如图,作EMAD于M,则AMADx,在RtAEM中,cosEAD,故答案为:15如图,在RtABC的纸片中,C90,AC5,AB13点D在边BC上,以AD为折

23、痕将ADB折叠得到ADB,AB与边BC交于点E若DEB为直角三角形,则BD的长是7或【分析】由勾股定理可以求出BC的长,由折叠可知对应边相等,对应角相等,当DEB为直角三角形时,可以分为两种情况进行考虑,分别利用勾股定理可求出BD的长【解答】解:在RtABC中,BC12,(1)当EDB90时,如图1,过点B作BFAC,交AC的延长线于点F,由折叠得:ABAB13,BDBDCF,设BDx,则BDCFx,BFCD12x,在RtAFB中,由勾股定理得:(5+x)2+(12x)2132,即:x27x0,解得:x10(舍去),x27,因此,BD7(2)当DEB90时,如图2,此时点E与点C重合,由折叠得

24、:ABAB13,则BC1358,设BDx,则BDx,CD12x,在RtBCD中,由勾股定理得:(12x)2+82x2,解得:x,因此BD故答案为:7或16当2x1时,抛物线y(xm)2+m2+1有ymax4,则m2或【分析】根据题意和二次函数的性质,利用分类讨论的方法可以求得m的值,本题得以解决【解答】解:当2x1时,抛物线y(xm)2+m2+1有ymax4,当m1时,x1时,函数取得最大值,即4(1m)2+m2+1,解得,m2;当m2时,x2时,函数取得最大值,即4(2m)2+m2+1,解得,m2(舍去);当2m1时,xm时,函数取得最大值,4(mm)2+m2+1,解得,m1,m2(舍去);

25、由上可得,m的值是2或,故答案为:2或三解答题(共5小题)17我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”(1)已知:如图1,四边形ABCD是“等对角四边形”,AC,A70,B80求C,D的度数(2)在探究“等对角四边形”性质时:小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图2),其中ABCADC,ABAD,此时她发现CBCD成立请你证明此结论;由此小红猜想:“对于任意等对角四边形,当一组邻边相等时,另一组邻边也相等”你认为她的猜想正确吗?若正确,请证明;若不正确,请举出反例(3)已知:在“等对角四边形”ABCD中,DAB60,ABC90,AB5,AD4求对角线AC的长

26、【分析】(1)根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出DB80,根据多边形内角和定理求出C即可;(2)连接BD,根据等边对等角得出ABDADB,求出CBDCDB,根据等腰三角形的判定得出即可;先画出反例图形,即可得出答案;(3)分两种情况:当ADCABC90时,延长AD,BC相交于点E,先用含30角的直角三角形的性质求出AE,得出DE,再用三角函数求出CD,由勾股定理求出AC;当BCDDAB60时,过点D作DMAB于点M,DNBC于点N,则AMD90,四边形BNDM是矩形,先求出AM、DM,再由矩形的性质得出DNBM3,BNDM2,求出CN、BC,根据勾股定理求出AC即可【解答】(1)解:四边

27、形ABCD是“等对角四边形”,AC,A70,B80,DB80,C360808070130;(2)证明:如图1,连接BD,ABAD,ABDADB,ABCADC,ABCABDADCADB,CBDCDB,CBCD;解:小红的猜想不正确,如图:四边形ABCD是“等对角四边形”AC90,ABAD,但是BC和CD不等,所以小红的猜想不正确;(3)解:分两种情况:当ADCABC90时,延长AD,BC相交于点E,如图3所示:ABC90,DAB60,AB5,E30,AE2AB10,DEAEAD1046,EDC90,E30,CD2,AC2;当BCDDAB60时,过点D作DMAB于点M,DNBC于点N,如图4所示:

28、则AMD90,四边形BNDM是矩形,DAB60,ADM30,AMAD2,DM2BMABAM523,四边形BNDM是矩形,DNBM3,BNDM2,BCD60,CN,BCCN+BN3,AC2;综上所述:AC的长为2或218如图1,地面BD上两根等长立柱AB,CD之间有一根绳子可看成抛物线y0.1x20.8x+5(1)求绳子最低点离地面的距离;(2)因实际需要,在离AB为5米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图2),使左边抛物线F1的最低点距MN为1米,离地面2米,求MN的长;(3)将立柱MN的长度提升为5米,通过调整MN的位置,使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为设MN离AB的距离为m,抛物线F

29、2的顶点离地面距离为k,但2k3时,求m的取值范围【分析】(1)直接利用配方法求出二次函数最值得出答案;(2)利用顶点式求出抛物线F1的解析式,进而得出x5时,y的值,进而得出MN的长;(3)根据题意得出抛物线F2的解析式,得出k的值,进而得出m的取值范围【解答】解:(1)a0.10,抛物线顶点为最低点,y0.1x20.8x+50.1(x4)2+,绳子最低点离地面的距离为:米;(2)由(1)可知,对称轴为x4,则BD8,令x0得y5,A(0,5),C(8,5),由题意可得:抛物线F1的顶点坐标为:(4,2),设F1的解析式为:ya(x4)2+2,将(0,5)代入得:16a+25,解得:a,抛物

30、线F1为:y(x4)2+2,当x5时,y+2,MN的长度为:米;(3)MNDC5,根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上,F2的横坐标为:(8m)+mm+4,抛物线F2的顶点坐标为:(m+4,k),抛物线F2的解析式为:y(xm4)2+k,把C(8,5)代入得:(8m4)2+k5,解得:k(4m)2+5,k(m8)2+5,k是关于m的二次函数,又由已知m8,在对称轴的左侧,k随m的增大而增大,当k2时,(m8)2+52,解得:m12,m214(不符合题意,舍去),当k3时,(m8)2+53,解得:m182,m28+2(不符合题意,舍去),m的取值范围是:2m8219在RtA

31、BC中,ACB90,AC12点D在直线CB上,以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G(1)如图,点D在线段CB上,四边形ACDE是正方形若点G为DE的中点,求FG的长若DGGF,求BC的长(2)已知BC9,是否存在点D,使得DFG是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由【分析】(1)只要证明ACFGEF,推出,即可解决问题;如图1中,想办法证明1230即可解决问题;(2)分四种情形:如图2中,当点D在线段BC上时,此时只有GFGD,如图3中,当点D在线段BC的延长线上,且直线AB,CE的交点中AE上方时,此时只有GFDG,如图4中,当点D

32、在线段BC的延长线上,且直线AB,EC的交点中BD下方时,此时只有DFDG,如图5中,当点D中线段CB的延长线上时,此时只有DFDG,分别求解即可解决问题【解答】解:(1)在正方形ACDE中,DGGE6,在RtAEG中,AG6,EGAC,ACFGEF,FGAG2如图1中,正方形ACDE中,AEED,AEFDEF45,EFEF,AEFDEF,12,设12x,AEBC,B1x,GFGD,32x,在DBF中,3+FDB+B180,x+(x+90)+x180,解得x30,B30,在RtABC中,BC12(2)在RtABC中,AB15,如图2中,当点D在线段BC上时,此时只有GFGD,DGAC,BDGB

33、CA,设BD3x,则DG4x,BG5x,GFGD4x,则AF159x,AECB,AEFBCF,整理得:x26x+50,解得x1或5(舍弃)腰长GD4x4如图3中,当点D在线段BC的延长线上,且直线AB,CE的交点中AE上方时,此时只有GFDG,设AE3x,则EG4x,AG5x,FGDG12+4x,AEBC,AEFBCF,解得x2或2(舍弃),腰长DG4x+1220如图4中,当点D在线段BC的延长线上,且直线AB,EC的交点中BD下方时,此时只有DFDG,过点D作DHFG设AE3x,则EG4x,AG5x,DG4x+12,FHGHDGcosDGB(4x+12),GF2GH,AFGFAG,ACDG,

34、ACFGEF,解得x或(舍弃)腰长GD4x+12,如图5中,当点D在线段CB的延长线上时,此时只有DFDG,作DHAG于H设AE3x,则EG4x,AG5x,DG4x12,FHGHDGcosDGB,FG2FH,AFAGFG,ACEG,ACFGEF,解得x或(舍弃),腰长DG4x12,综上所述,等腰DFG的腰长为4或20或或20如图1,A(4,0)正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上,点C在第二象限现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角得到正方形OEFG(1)如图2,若60,OEOA,求直线EF的函数表达式(2)若为锐角,tan,当AE取得最小值时,求正方形OEFG的面积(3)当正方形OEFG的顶

35、点F落在y轴上时,直线AE与直线FG相交于点P,OEP的其中两边之比能否为:1?若能,求点P的坐标;若不能,试说明理由【分析】(1)先判断出AEO为正三角形,再根据锐角三角函数求出OM即可;(2)判断出当AEx轴时,线段AE的长最小,用勾股定理计算即可;(3)由OEP的其中两边之比为:1分三种情况进行计算即可【解答】解:(1)如图1,过点E作EHOA于点H,EF与y轴的交点为MOEOA,60,AEO为正三角形,则OH2,EH2,故点E(2,2),EOM30,OM,设EF的函数表达式为:ykx+,将点E的坐标代入上式并解得:k,故直线EF的表达式为:yx+;(2)射线OQ与OA的夹角为( 为锐角

36、,tan)无论正方形边长为多少,绕点O旋转角后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上,当AEOQ时,线段AE的长最小在RtAOE中,设AEa,则OE3a,则(a)2+(3a)242,解得:a2,OE3a,正方形OEFG的面积(3a)2;(3)设正方形边长为m当点F落在y轴正半轴时如图3,当P与F重合时,PEO是等腰直角三角形,有或在RtAOP中,APO45,OPOA4,点P1的坐标为(0,4)在图3的基础上,当减小正方形边长时,点P在边FG 上,OEP的其中两边之比不可能为:1;当增加正方形边长时,存在(图4)和(图5)两种情况如图4,EFP是等腰直角三角形,有,即,此时有APOF在RtAOE

37、中,AOE45,OEOA4,PEOE8,PAPE+AE12,点P2的坐标为(4,12)如图5,过P作PRx轴于点R,延长PG交x轴于点H设PFn在RtPOG中,PO2PG2+OG2m2+(m+n)22m2+2mn+n2,在RtPEF中,PE2PF2+EF2m2+n2,当时,PO22PE22m2+2mn+n22(m2+n2),得n2mEOPH,AOEAHP,AH4OA16,m6在等腰RtPRH中,PRHRPH24,ORRHOH12,点P3的坐标为(12,24)当点F落在y轴负半轴时,如图6,P与A重合时,在RtPOG中,OPOG,又正方形OGFE中,OGOE,OPOE点P4的坐标为(4,0)在图

38、6的基础上,当正方形边长减小时,OEP的其中两边之比不可能为:1;当正方形边长增加时,存在(图7)这一种情况如图7,过P作PRx轴于点R,设PGn在RtOPG中,PO2PG2+OG2n2+m2,在RtPEF中,PE2PF2+FE2(m+n )2+m22m2+2mn+n2当时,PE22PO22m2+2mn+n22n2+2m2,n2m,由于NGOGm,则PNNGm,OEPN,AOEANP,1,即ANOA4在等腰RtONG中,ONm,8m,m4,在等腰RtPRN中,RNPR4,点P5的坐标为(12,4)所以,OEP的其中两边的比能为:1,点P的坐标是:P1(0,4),P2(4,12),P3(12,2

39、4),P4(4,0),P5(12,4)21如图矩形COAB,点B(4,3),点H位于边BC上直线l1:2xy+30直线l2:2xy30(1)若点N为l2上第一象限的点,AHN为等腰Rt,求N坐标(2)若把l1、l2上的点构成的图形称为图形V已知矩形AJHI的顶点J在图形V上,I为平面系上的点,且J(x,y),求x的范围(写出过程)【分析】(1)分三种情况:若点A为直角顶点时,点N在第一象限;若点H为直角顶点时,点N在第一象限;若点N为直角顶点时,点N在第一象限;进行讨论可求点N的坐标;(2)根据矩形的性质可求J点的横坐标x的取值范围【解答】解:(1)若点A为直角顶点时,点N在第一象限,连结AC,如图1,AHBACB45,AHN不可能是等腰直角三角形,点M不存在;若点H为直角顶点时,点N在第一象限,如图1,过点N