1、2019年浙江省湖州五中中考数学一模提高试卷一选择题（共10小题）1在O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（）cmA2BC3D22平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（）A0或3或4B0或1或3C0或1或3或4D0或1或43直线MN通过原点的是（）AM（2，3），N（4，6）BM（2，3），N（4，6）CM（2，3），N（4，6）DM（2，3），N（4，6）4证明一个四边形是正方形，使用次数最少的方法对折，则应该对折（）A1次B2次C3次D4次5如图，在ABC中，AB10，AC8，BC6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别
2、是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的差是（）A6B2+1C9D76已知：如图，O是等腰RtABC的外接圆，点D是上的一点，BD交AC于点E，若BC4，AD0.8，则DE的长是（）A1.2B0.9C1D0.67如图，已知AC是O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交O于点E，若AOB3ADB，则（）ADEEBBDEEBCDEDODDEOB8已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（mn），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）Am2+2mn+n20Bm22mn+n20Cm2+2mnn20Dm22mnn2
3、09如图，ABC内切圆是O，折叠矩形ABCD，使点D、O重合，FG是折痕，点F在AD上，G在ABC上，连结OG，DG，若OG垂直DG，且O的半径为1，则下列结论不成立的是（）ACD+DF4BCDDF23CBC+AB2+4DBCAB210如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN记MNO、AOM、DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（）AS1S2+S3BAOMDMNCMBN45DMNAM+CN二填空题（共6小题）11有x支
4、球队参加篮球比赛，共比赛45场，每两队之间都比赛两场，列方程为 12梅西踢足球，沿直线CD进攻，最恰当的射点位于点 （填CDE）13如图矩形，AB2BC4，E是AB二等分点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，沿直线EF折叠矩形ABCD，使点A落在直线l上，则DF 14如图，在RtABC中，B90，A30，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则EAD的余弦值是 15如图，在RtABC的纸片中，C90，AC5，AB13点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到ADB，AB与
5、边BC交于点E若DEB为直角三角形，则BD的长是 16当2x1时，抛物线y（xm）2+m2+1有ymax4，则m 三解答题（共5小题）17我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，AC，A70，B80求C，D的度数（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中ABCADC，ABAD，此时她发现CBCD成立请你证明此结论；由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例（3）已知：在“等对
6、角四边形”ABCD中，DAB60，ABC90，AB5，AD4求对角线AC的长18如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间有一根绳子可看成抛物线y0.1x20.8x+5（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AB为5米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面2米，求MN的长；（3）将立柱MN的长度提升为5米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，但2k3时，求m的取值范围19在RtABC中，ACB90，AC12点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE
7、，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形若点G为DE的中点，求FG的长若DGGF，求BC的长（2）已知BC9，是否存在点D，使得DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由20如图1，A（4，0）正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角得到正方形OEFG（1）如图2，若60，OEOA，求直线EF的函数表达式（2）若为锐角，tan，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，OEP的其中两边之比能否
8、为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由21如图矩形COAB，点B（4，3），点H位于边BC上直线l1：2xy+30直线l2：2xy30（1）若点N为l2上第一象限的点，AHN为等腰Rt，求N坐标（2）若把l1、l2上的点构成的图形称为图形V已知矩形AJHI的顶点J在图形V上，I为平面系上的点，且J（x，y），求x的范围（写出过程） 参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1在O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（）cmA2BC3D2【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得C
9、P的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长【解答】解：如图所示，CDAB于点P根据题意，得：AB8cm，CD4cm，CDAB，CPCD2cm，根据勾股定理，得OP2（cm）故选：A2平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（）A0或3或4B0或1或3C0或1或3或4D0或1或4【分析】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆，由此即可解决问题【解答】解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共
10、圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆故选：C3直线MN通过原点的是（）AM（2，3），N（4，6）BM（2，3），N（4，6）CM（2，3），N（4，6）DM（2，3），N（4，6）【分析】根据待定系数法求得一次函数的解析式，然后判断即可得到结论【解答】解：A、M（2，3），N（4，6），直线MN的解析式为yx；故直线MN过原点；B、M（2，3），N（4，6），直线MN的解析式为yx12，；故直线MN不过原点；C、M（2，3），N（4，6），直线MN的解析式为yx4；故直线MN不过原点；D、M（2，3），N（4，6），直线MN的解析式为yx+4；故直线MN不过原点；故选：A4证明一个四边形是正
11、方形，使用次数最少的方法对折，则应该对折（）A1次B2次C3次D4次【分析】由折叠得出四个角相等的四边形是矩形，再由一组邻边相等，即可得出四边形是正方形【解答】解：把四边形对折1次（共2层），2组邻角相等，且一组对边相等；将四边形展开后沿对角线对折，则对角相等，两组邻边长度相等，所以4个角相等，且4条边相等则这个四边形是正方形故选：B5如图，在ABC中，AB10，AC8，BC6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的差是（）A6B2+1C9D7【分析】如图，设O与AC相切于点E，连接OE，作OP1BC垂足为P1交O于Q1
12、，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值5+38，由此不难解决问题【解答】解：如图，设O与AC相切于点E，连接OE，作OP1BC垂足为P1交O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1OQ1，AB10，AC8，BC6，AB2AC2+BC2，C90，OP1B90，OP1ACAOOB，P1CP1B，OP1AC4，P1Q1最小值为OP1OQ11，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值5+38，PQ长的最大值与最小值的差是7故选：D6已知：如图，O是等腰RtA
13、BC的外接圆，点D是上的一点，BD交AC于点E，若BC4，AD0.8，则DE的长是（）A1.2B0.9C1D0.6【分析】根据圆周角定理得到D90，根据勾股定理求出BD、证明ADEBCE，得到CE5DE，根据勾股定理计算即可【解答】解：在等腰RtABC中，BC4，AB是O的直径，AB4，D90，AD0.8，AB4，BD，DC，DACCBE，ADEBCE，即CE5DE，在RtBCE中，CE2+BC2BE2，即（5DE）2+42（DE）2，解得，DE0.6，故选：D7如图，已知AC是O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交O于点E，若AOB3ADB，则（）ADEE
14、BBDEEBCDEDODDEOB【分析】连接EO，只要证明DEOD即可解决问题【解答】解：连接EOOBOE，BOEB，OEBD+DOE，AOB3D，B+D3D，D+DOE+D3D，DOED，EDEOOB，故选：D8已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（mn），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）Am2+2mn+n20Bm22mn+n20Cm2+2mnn20Dm22mnn20【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2（nm）2，整理即可求解【解答】解：如图，m2+m2（nm）2，2m2n22mn+m2，m2+2mnn20故选：C9如图，A
15、BC内切圆是O，折叠矩形ABCD，使点D、O重合，FG是折痕，点F在AD上，G在ABC上，连结OG，DG，若OG垂直DG，且O的半径为1，则下列结论不成立的是（）ACD+DF4BCDDF23CBC+AB2+4DBCAB2【分析】设O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，根据折叠的性质得到OGDG，根据全等三角形的性质得到OMGC1，CDGMBCBMGCBC2求得BCAB2设ABa，BCb，ACc，O的半径为r，根据勾股定理得到a2+b2（a+b2）2，求得BC+AB2+4再设DFx，在RtONF中，FN3+，OFx，ON1+，根据勾股定理得到CDDF，CD+DF【解答】解：如图，设
16、O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，OGDG，OGDG，MGO+DGC90，MOG+MGO90，MOGDGC，在OMG和GCD中，OMGGCD，OMGC1，CDGMBCBMGCBC2ABCD，BCAB2设ABa，BCb，ACc，O的半径为r，O是RtABC的内切圆可得r（a+bc），ca+b2在RtABC中，由勾股定理可得a2+b2（a+b2）2，整理得2ab4a4b+40，又BCAB2即b2+a，代入可得2a（2+a）4a4（2+a）+40，解得a1+或a1（不合题意舍去），BC+AB2+4再设DFx，在RtO
17、NF中，FN3+，OFx，ON1+，由勾股定理可得（2+x）2+（）2x2，解得x4，CDDF，CD+DF综上只有选项A错误，故选：A10如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN记MNO、AOM、DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（）AS1S2+S3BAOMDMNCMBN45DMNAM+CN【分析】（1）如图作MPAO交ON于点P，当AMMD时，求得S1S2+S3，（2）利用MN是O的切线，四边形ABCD为正方形，求
18、得AOMDMN（3）作BPMN于点P，利用RtMABRtMPB和RtBPNRtBCN来证明C，D成立【解答】解：（1）如图，作MPAO交ON于点P，点O是线段AE上的一个动点，当AMMD时，S梯形ONDA（OA+DN）ADSMNOSMOP+SMPNMPAM+MPMDMPAD，（OA+DN）MP，SMNOS梯形ONDA，S1S2+S3，不一定有S1S2+S3，（2）MN是O的切线，OMMN，又四边形ABCD为正方形，AD90，AMO+DMN90，AMO+AOM90，AOMDMN，在AMO和DMN中，AOMDMN故B成立；（3）如图，作BPMN于点P，MN，BC是O的切线，PMBMOB，CBMMO
19、B，ADBC，CBMAMB，AMBPMB，在RtMAB和RtMPB中，RtMABRtMPB（AAS）AMMP，ABMMBP，BPABBC，在RtBPN和RtBCN中，RtBPNRtBCN（HL）PNCN，PBNCBN，MBNMBP+PBN，MNMP+PNAM+CN故C，D成立，综上所述，A不一定成立，故选：A二填空题（共6小题）11有x支球队参加篮球比赛，共比赛45场，每两队之间都比赛两场，列方程为x（x1）45【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛两场，共可以比赛x（x1）场，再根据题意列出方程为x（x1）45【解答】解：有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛两场，共比赛场数为x（x1
20、），共比赛了45场，x（x1）45，故答案为：x（x1）4512梅西踢足球，沿直线CD进攻，最恰当的射点位于点D或E（填CDE）【分析】直接利用圆周角定理得出最佳射门点【解答】解：如图所示：当在点D，E位置时，圆周角相同，故最恰当的射点位于点D或E故答案为：D或E13如图矩形，AB2BC4，E是AB二等分点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，沿直线EF折叠矩形ABCD，使点A落在直线l上，则DF2或42【分析】当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，只要证明DFM是等腰直角三角形即可利用DFDM解决问题，当直线l在直线EC下方时，由DEF1
21、BEF1DF1E，得到DF1DE，由此即可解决问题【解答】解：如图，当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，AB2BC4，E是AB二等分点，BC2，BE2AE四边形ABCD是矩形，AB90，ADBC，AB4，ADBC2，ADAEEBBC2，ADE、ECB是等腰直角三角形，AEDBEC45，DEC90，lEC，EDl，EM2AE，点A、点M关于直线EF对称，MDFMFD45，DMMFDEEM22，DFDM42，当直线l在直线EC下方时，DEF1BEF1DF1E，DF1DE2，综上所述DF的长为2或42故答案为2或4214如图，在RtABC中，B90，A30，以点A为圆心，BC长为半径画弧
22、交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则EAD的余弦值是【分析】设BCx，由含30角的直角三角形的性质得出AC2BC2x，求出ABx，根据题意得出ADBCx，AEDEABx，作EMAD于M，由等腰三角形的性质得出AMx，在RtAEM中，由三角函数的定义即可得出结果【解答】解：如图所示，设BCx，在RtABC中，B90，A30，AC2BC2x，ABBCx，根据题意得：ADBCx，AEDEABx，如图，作EMAD于M，则AMADx，在RtAEM中，cosEAD，故答案为：15如图，在RtABC的纸片中，C90，AC5，AB13点D在边BC上，以AD为折
23、痕将ADB折叠得到ADB，AB与边BC交于点E若DEB为直角三角形，则BD的长是7或【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当DEB为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长【解答】解：在RtABC中，BC12，（1）当EDB90时，如图1，过点B作BFAC，交AC的延长线于点F，由折叠得：ABAB13，BDBDCF，设BDx，则BDCFx，BFCD12x，在RtAFB中，由勾股定理得：（5+x）2+（12x）2132，即：x27x0，解得：x10（舍去），x27，因此，BD7（2）当DEB90时，如图2，此时点E与点C重合，由折叠得
24、：ABAB13，则BC1358，设BDx，则BDx，CD12x，在RtBCD中，由勾股定理得：（12x）2+82x2，解得：x，因此BD故答案为：7或16当2x1时，抛物线y（xm）2+m2+1有ymax4，则m2或【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决【解答】解：当2x1时，抛物线y（xm）2+m2+1有ymax4，当m1时，x1时，函数取得最大值，即4（1m）2+m2+1，解得，m2；当m2时，x2时，函数取得最大值，即4（2m）2+m2+1，解得，m2（舍去）；当2m1时，xm时，函数取得最大值，4（mm）2+m2+1，解得，m1，m2（舍去）；
25、由上可得，m的值是2或，故答案为：2或三解答题（共5小题）17我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，AC，A70，B80求C，D的度数（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中ABCADC，ABAD，此时她发现CBCD成立请你证明此结论；由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，DAB60，ABC90，AB5，AD4求对角线AC的长
26、【分析】（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出DB80，根据多边形内角和定理求出C即可；（2）连接BD，根据等边对等角得出ABDADB，求出CBDCDB，根据等腰三角形的判定得出即可；先画出反例图形，即可得出答案；（3）分两种情况：当ADCABC90时，延长AD，BC相交于点E，先用含30角的直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC；当BCDDAB60时，过点D作DMAB于点M，DNBC于点N，则AMD90，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DNBM3，BNDM2，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可【解答】（1）解：四边
27、形ABCD是“等对角四边形”，AC，A70，B80，DB80，C360808070130；（2）证明：如图1，连接BD，ABAD，ABDADB，ABCADC，ABCABDADCADB，CBDCDB，CBCD；解：小红的猜想不正确，如图：四边形ABCD是“等对角四边形”AC90，ABAD，但是BC和CD不等，所以小红的猜想不正确；（3）解：分两种情况：当ADCABC90时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：ABC90，DAB60，AB5，E30，AE2AB10，DEAEAD1046，EDC90，E30，CD2，AC2；当BCDDAB60时，过点D作DMAB于点M，DNBC于点N，如图4所示：
28、则AMD90，四边形BNDM是矩形，DAB60，ADM30，AMAD2，DM2BMABAM523，四边形BNDM是矩形，DNBM3，BNDM2，BCD60，CN，BCCN+BN3，AC2；综上所述：AC的长为2或218如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间有一根绳子可看成抛物线y0.1x20.8x+5（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AB为5米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面2米，求MN的长；（3）将立柱MN的长度提升为5米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为设MN离AB的距离为m，抛物线F
29、2的顶点离地面距离为k，但2k3时，求m的取值范围【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；（2）利用顶点式求出抛物线F1的解析式，进而得出x5时，y的值，进而得出MN的长；（3）根据题意得出抛物线F2的解析式，得出k的值，进而得出m的取值范围【解答】解：（1）a0.10，抛物线顶点为最低点，y0.1x20.8x+50.1（x4）2+，绳子最低点离地面的距离为：米；（2）由（1）可知，对称轴为x4，则BD8，令x0得y5，A（0，5），C（8，5），由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（4，2），设F1的解析式为：ya（x4）2+2，将（0，5）代入得：16a+25，解得：a，抛物
30、线F1为：y（x4）2+2，当x5时，y+2，MN的长度为：米；（3）MNDC5，根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，F2的横坐标为：（8m）+mm+4，抛物线F2的顶点坐标为：（m+4，k），抛物线F2的解析式为：y（xm4）2+k，把C（8，5）代入得：（8m4）2+k5，解得：k（4m）2+5，k（m8）2+5，k是关于m的二次函数，又由已知m8，在对称轴的左侧，k随m的增大而增大，当k2时，（m8）2+52，解得：m12，m214（不符合题意，舍去），当k3时，（m8）2+53，解得：m182，m28+2（不符合题意，舍去），m的取值范围是：2m8219在RtA
31、BC中，ACB90，AC12点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形若点G为DE的中点，求FG的长若DGGF，求BC的长（2）已知BC9，是否存在点D，使得DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由【分析】（1）只要证明ACFGEF，推出，即可解决问题；如图1中，想办法证明1230即可解决问题；（2）分四种情形：如图2中，当点D在线段BC上时，此时只有GFGD，如图3中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GFDG，如图4中，当点D
32、在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DFDG，如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DFDG，分别求解即可解决问题【解答】解：（1）在正方形ACDE中，DGGE6，在RtAEG中，AG6，EGAC，ACFGEF，FGAG2如图1中，正方形ACDE中，AEED，AEFDEF45，EFEF，AEFDEF，12，设12x，AEBC，B1x，GFGD，32x，在DBF中，3+FDB+B180，x+（x+90）+x180，解得x30，B30，在RtABC中，BC12（2）在RtABC中，AB15，如图2中，当点D在线段BC上时，此时只有GFGD，DGAC，BDGB
33、CA，设BD3x，则DG4x，BG5x，GFGD4x，则AF159x，AECB，AEFBCF，整理得：x26x+50，解得x1或5（舍弃）腰长GD4x4如图3中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GFDG，设AE3x，则EG4x，AG5x，FGDG12+4x，AEBC，AEFBCF，解得x2或2（舍弃），腰长DG4x+1220如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DFDG，过点D作DHFG设AE3x，则EG4x，AG5x，DG4x+12，FHGHDGcosDGB（4x+12），GF2GH，AFGFAG，ACDG，
34、ACFGEF，解得x或（舍弃）腰长GD4x+12，如图5中，当点D在线段CB的延长线上时，此时只有DFDG，作DHAG于H设AE3x，则EG4x，AG5x，DG4x12，FHGHDGcosDGB，FG2FH，AFAGFG，ACEG，ACFGEF，解得x或（舍弃），腰长DG4x12，综上所述，等腰DFG的腰长为4或20或或20如图1，A（4，0）正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角得到正方形OEFG（1）如图2，若60，OEOA，求直线EF的函数表达式（2）若为锐角，tan，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积（3）当正方形OEFG的顶
35、点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由【分析】（1）先判断出AEO为正三角形，再根据锐角三角函数求出OM即可；（2）判断出当AEx轴时，线段AE的长最小，用勾股定理计算即可；（3）由OEP的其中两边之比为：1分三种情况进行计算即可【解答】解：（1）如图1，过点E作EHOA于点H，EF与y轴的交点为MOEOA，60，AEO为正三角形，则OH2，EH2，故点E（2，2），EOM30，OM，设EF的函数表达式为：ykx+，将点E的坐标代入上式并解得：k，故直线EF的表达式为：yx+；（2）射线OQ与OA的夹角为（ 为锐角
36、，tan）无论正方形边长为多少，绕点O旋转角后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上，当AEOQ时，线段AE的长最小在RtAOE中，设AEa，则OE3a，则（a）2+（3a）242，解得：a2，OE3a，正方形OEFG的面积（3a）2；（3）设正方形边长为m当点F落在y轴正半轴时如图3，当P与F重合时，PEO是等腰直角三角形，有或在RtAOP中，APO45，OPOA4，点P1的坐标为（0，4）在图3的基础上，当减小正方形边长时，点P在边FG 上，OEP的其中两边之比不可能为：1；当增加正方形边长时，存在（图4）和（图5）两种情况如图4，EFP是等腰直角三角形，有，即，此时有APOF在RtAOE
37、中，AOE45，OEOA4，PEOE8，PAPE+AE12，点P2的坐标为（4，12）如图5，过P作PRx轴于点R，延长PG交x轴于点H设PFn在RtPOG中，PO2PG2+OG2m2+（m+n）22m2+2mn+n2，在RtPEF中，PE2PF2+EF2m2+n2，当时，PO22PE22m2+2mn+n22（m2+n2），得n2mEOPH，AOEAHP，AH4OA16，m6在等腰RtPRH中，PRHRPH24，ORRHOH12，点P3的坐标为（12，24）当点F落在y轴负半轴时，如图6，P与A重合时，在RtPOG中，OPOG，又正方形OGFE中，OGOE，OPOE点P4的坐标为（4，0）在图
38、6的基础上，当正方形边长减小时，OEP的其中两边之比不可能为：1；当正方形边长增加时，存在（图7）这一种情况如图7，过P作PRx轴于点R，设PGn在RtOPG中，PO2PG2+OG2n2+m2，在RtPEF中，PE2PF2+FE2（m+n ）2+m22m2+2mn+n2当时，PE22PO22m2+2mn+n22n2+2m2，n2m，由于NGOGm，则PNNGm，OEPN，AOEANP，1，即ANOA4在等腰RtONG中，ONm，8m，m4，在等腰RtPRN中，RNPR4，点P5的坐标为（12，4）所以，OEP的其中两边的比能为：1，点P的坐标是：P1（0，4），P2（4，12），P3（12，2
39、4），P4（4，0），P5（12，4）21如图矩形COAB，点B（4，3），点H位于边BC上直线l1：2xy+30直线l2：2xy30（1）若点N为l2上第一象限的点，AHN为等腰Rt，求N坐标（2）若把l1、l2上的点构成的图形称为图形V已知矩形AJHI的顶点J在图形V上，I为平面系上的点，且J（x，y），求x的范围（写出过程）【分析】（1）分三种情况：若点A为直角顶点时，点N在第一象限；若点H为直角顶点时，点N在第一象限；若点N为直角顶点时，点N在第一象限；进行讨论可求点N的坐标；（2）根据矩形的性质可求J点的横坐标x的取值范围【解答】解：（1）若点A为直角顶点时，点N在第一象限，连结AC，如图1，AHBACB45，AHN不可能是等腰直角三角形，点M不存在；若点H为直角顶点时，点N在第一象限，如图1，过点N
