1、几个重要不等式编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，学会柯西不等式的简单应用.2.用向量递推的方法讨论排序不等式，学会排序不等式的简单应用.3.了解数学归纳法的原理、使用范围和基本步骤，会用数学归纳法证明一些简单问题.4.会用数学归纳法证明贝努利不等式.5.通过对上述重要不等式的分析、证明和简单应用，提高学生分析问题的能力、推理论证的能力和运用已知数学结论解决问题的能力. 【要点梳理】要点一：柯西不等式1二维形式的柯西不等式代数形式（定理1）对任意实数，则.（当且仅当向量与向量共线，即时，等号成立）.向量形式：设是平面上任意两个向量，则.（
2、当且仅当向量与向量共线时，等号成立）。三角形式:对任意实数，则（当且仅当时，等号成立.）证明：几何背景：如图，在三角形中，则 将以上三式代入余弦定理，并化简，可得 或因为，所以， 于是 要点诠释：（1）柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（2）定理1的变形：若a、b、c、d都是正实数，则，（当且仅当向量与向量共线，即时，等号成立）2. 一般形式的柯西不等式定理2 设与是两组实数，则，当且仅当向量与向量共线时，等号成立。要点诠释：（1）使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立，这个不等式告诉我们，任意两组数： ， ， ， ，其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这
3、三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。（2）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。（3）使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。（4）利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。要点二：排序不等式定理1 设a，b和c，d都是实数，如果，那么当且仅当a=b（或c=d）时取“=”号.定理2（排序不等式） 设有两个有序实数组： 及 则 （顺序和） （乱序和） （逆序和） . 其中，是
4、1，2，的任一排列形式，上式当且仅当（或）时，取“=”号。要点诠释：学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列要点三：贝努利不等式定理（贝努利不等式） 对任意实数和任何正整数n；有.推广 （1），且（2），有；，有（3）；则有（4）设，则当且仅当时取到“=”贝努利不等式的证明：证法1：（数学归纳法）（1）当时，等式显然成立.（2）假设时，等式成立，即当n=k+1时，综上可知，不等式成立证法2：联想到当时，当 证法3：当，当，则证法4：证法5：只证； 设
5、，故.要点四：数学归纳法对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法要点诠释：（1）数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。（2）证明了第一步，就获得了递推的基础；证明了第二步，就获得了递推的依据。【典型例题】类型一：柯西不等式的简单应用例1. 已知实数满足， ，试求的最值。【思路点拨】构造关于变量的柯西不等式，再利用已知条件，转化为关于的式子，解不等式即可.【解析】由柯西不等式得 ，即 ，由条件可得， ，
6、解得 .当且仅当向量与向量共线，即 时等号成立.当时， 的最大值是2；当时，的最小值是1.【总结升华】正确运用柯西不等式，能用它求函数或代数式的最值，注意等号成立的条件.举一反三：【变式1】已知13，求的最小值.【答案】由柯西不等式 ，因为13，所以 ，当且仅当 ，即时取等号. 所以，的最小值是13.【变式2】设，求的最大值【答案】根据柯西不等式。当且仅当，即时等号成立，此时，的最大值是.例2. 设为正数且互不相等，求证：。【思路点拨】先变形，要证，即征，对不等号的左侧使用柯西不等式，由于其中一个因式由构成，那么另一因式应表示为的和的形式。【解析】均为正数 又，只需证 又互不相等，所以不能取等
7、，原不等式成立，证毕。【总结升华】利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。举一反三：【变式1】为非负数，求证：.【答案】，由柯西不等式得即.【变式2】已知正数满足 证明 .【答案】利用柯西不等式： ，即 ，因为 ，所以，. 又因为 ，在此不等式两边同乘以2，再加上，得：，即 ， 由得，.例3. 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径.证明：。【思路点拨】注意要证明的不等式中符号为“”，故应利用不等式的对称性逆用柯西不等式，即将配凑成三个乘积和的形式.【解析】由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。【总结升华】这部
8、分内容是新增内容，是数学竞赛中的热点考点，随着数学素养的提高，高考可能会涉及。学习时掌握好的柯西不等式（以二维形式为主）的数组特点，理解好有序的数组的构造方法。举一反三：【变式1】ABC的三边长为，其外接圆半径为R，求证：【答案】由三角形中的正弦定理得两边平方，再取倒数，得，同理，由柯西不等式得得证。【变式2】之三边长为4，5，6，为三角形内部一点，到三边的距离分別为，求的最小值。【答案】，类型二：排序不等式的简单应用例4. 对，比较与的大小。【思路点拨】题目中没有给出三个数的大小顺序，且在不等式中的“地位”是对等的，不妨设，再利用排序不等式加以证明【解析】那么这两个不等式组的顺序和为：；乱序
9、和为：，由排序不等式可得：.【总结升华】应用排序不等式，必须取两组数目相同便于大小排序的数，此时有两种情形：一是知道各数的大小顺序；二是不知道各数的大小顺序，但不等式是对称不等式，可以在不失一般性的情况下，假定各数的大小顺序举一反三：【变式1】比较1010111112121313与1013111212111310的大小。【答案】因10 11 12 13及 lg10 lg11 lg12 lg13，由排序不等式得：10lg10 + 11lg11 + 12lg12 + 13lg13 13lg10 + 12lg11 + 11lg12 + 10lg13lg(1010111112121313) lg(10
10、13111212111310)即1010111112121313 1013111212111310。【变式2】已知，求证：.【答案】由对称性，不妨设，于是，由排序不等式可得： 又因为，由排序不等式，乱序和逆序和，可得：由得【变式3】设,求证：.【答案】类型三：贝努力不等式的简单应用例5. 已知.证明：【思路点拨】要证，即证，也就是证，该式可用贝努利不等式证明.【解析】； .【总结升华】贝努里不等式是分析不等式中最常见的一种不等式，具有简单的结构，深刻的内涵，因此应用非常广泛.举一反三：【变式1】对于。已知，求证：【答案】当，时；由（1）知于是【变式2】设函数，是否存在使得【答案】，由贝努利不等式，类型三：数学归纳法的简单应用例6. 用数学归纳法证明：【总结升华】本题主要考查用数学归纳法证明等式的步骤，注意当nk1时，两边加上的项和结论各是什么【证明】【总结升华】数学归纳法证题的两个步骤缺一不可证nk1成立时，必须用nk成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明举一反三：【变式】用数学归纳法证明： 【答案】当n=1时，左边=1，右边=2左边右边，不等式成立假设n=k时，不等式成立，即那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，不等式成立由、可知，原不等式对任意自然数n都成立说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是，当代入归纳假设后，就是要证明：