高考总复习:知识导学_几个重要不等式_不分层

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1、几个重要不等式编稿:张林娟 审稿:孙永钊【学习目标】1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,学会柯西不等式的简单应用.2.用向量递推的方法讨论排序不等式,学会排序不等式的简单应用.3.了解数学归纳法的原理、使用范围和基本步骤,会用数学归纳法证明一些简单问题.4.会用数学归纳法证明贝努利不等式.5.通过对上述重要不等式的分析、证明和简单应用,提高学生分析问题的能力、推理论证的能力和运用已知数学结论解决问题的能力. 【要点梳理】要点一:柯西不等式1二维形式的柯西不等式代数形式(定理1)对任意实数,则.(当且仅当向量与向量共线,即时,等号成立).向量形式:设是平面上任意两个向量,则.(

2、当且仅当向量与向量共线时,等号成立)。三角形式:对任意实数,则(当且仅当时,等号成立.)证明:几何背景:如图,在三角形中,则 将以上三式代入余弦定理,并化简,可得 或因为,所以, 于是 要点诠释:(1)柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示;(2)定理1的变形:若a、b、c、d都是正实数,则,(当且仅当向量与向量共线,即时,等号成立)2. 一般形式的柯西不等式定理2 设与是两组实数,则,当且仅当向量与向量共线时,等号成立。要点诠释:(1)使用柯西不等式的方便之处在于,对任意的两组实数都成立,这个不等式告诉我们,任意两组数: , , , ,其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这

3、三种运算不满足交换律,先各自平方,然后求和,最后相乘,运算的结果不会变小。(2)柯西不等式是一个非常重要的不等式,其结构和谐,应用灵活广泛,灵活巧妙的运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。(3)使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件,继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。(4)利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。要点二:排序不等式定理1 设a,b和c,d都是实数,如果,那么当且仅当a=b(或c=d)时取“=”号.定理2(排序不等式) 设有两个有序实数组: 及 则 (顺序和) (乱序和) (逆序和) . 其中,是

4、1,2,的任一排列形式,上式当且仅当(或)时,取“=”号。要点诠释:学习排序不等式要抓住它的本质含义:两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大反之,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小,注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列要点三:贝努利不等式定理(贝努利不等式) 对任意实数和任何正整数n;有.推广 (1),且(2),有;,有(3);则有(4)设,则当且仅当时取到“=”贝努利不等式的证明:证法1:(数学归纳法)(1)当时,等式显然成立.(2)假设时,等式成立,即当n=k+1时,综上可知,不等式成立证法2:联想到当时,当 证法3:当,当,则证法4:证法5:只证; 设

5、,故.要点四:数学归纳法对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当n取第一个值n0时命题成立;然后假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法要点诠释:(1)数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法,它是一种完全归纳法。(2)证明了第一步,就获得了递推的基础;证明了第二步,就获得了递推的依据。【典型例题】类型一:柯西不等式的简单应用例1. 已知实数满足, ,试求的最值。【思路点拨】构造关于变量的柯西不等式,再利用已知条件,转化为关于的式子,解不等式即可.【解析】由柯西不等式得 ,即 ,由条件可得, ,

6、解得 .当且仅当向量与向量共线,即 时等号成立.当时, 的最大值是2;当时,的最小值是1.【总结升华】正确运用柯西不等式,能用它求函数或代数式的最值,注意等号成立的条件.举一反三:【变式1】已知13,求的最小值.【答案】由柯西不等式 ,因为13,所以 ,当且仅当 ,即时取等号. 所以,的最小值是13.【变式2】设,求的最大值【答案】根据柯西不等式。当且仅当,即时等号成立,此时,的最大值是.例2. 设为正数且互不相等,求证:。【思路点拨】先变形,要证,即征,对不等号的左侧使用柯西不等式,由于其中一个因式由构成,那么另一因式应表示为的和的形式。【解析】均为正数 又,只需证 又互不相等,所以不能取等

7、,原不等式成立,证毕。【总结升华】利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便,而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。举一反三:【变式1】为非负数,求证:.【答案】,由柯西不等式得即.【变式2】已知正数满足 证明 .【答案】利用柯西不等式: ,即 ,因为 ,所以,. 又因为 ,在此不等式两边同乘以2,再加上,得:,即 , 由得,.例3. 设是内的一点,是到三边的距离,是外接圆的半径.证明:。【思路点拨】注意要证明的不等式中符号为“”,故应利用不等式的对称性逆用柯西不等式,即将配凑成三个乘积和的形式.【解析】由柯西不等式得,记为的面积,则故不等式成立。【总结升华】这部

8、分内容是新增内容,是数学竞赛中的热点考点,随着数学素养的提高,高考可能会涉及。学习时掌握好的柯西不等式(以二维形式为主)的数组特点,理解好有序的数组的构造方法。举一反三:【变式1】ABC的三边长为,其外接圆半径为R,求证:【答案】由三角形中的正弦定理得两边平方,再取倒数,得,同理,由柯西不等式得得证。【变式2】之三边长为4,5,6,为三角形内部一点,到三边的距离分別为,求的最小值。【答案】,类型二:排序不等式的简单应用例4. 对,比较与的大小。【思路点拨】题目中没有给出三个数的大小顺序,且在不等式中的“地位”是对等的,不妨设,再利用排序不等式加以证明【解析】那么这两个不等式组的顺序和为:;乱序

9、和为:,由排序不等式可得:.【总结升华】应用排序不等式,必须取两组数目相同便于大小排序的数,此时有两种情形:一是知道各数的大小顺序;二是不知道各数的大小顺序,但不等式是对称不等式,可以在不失一般性的情况下,假定各数的大小顺序举一反三:【变式1】比较1010111112121313与1013111212111310的大小。【答案】因10 11 12 13及 lg10 lg11 lg12 lg13,由排序不等式得:10lg10 + 11lg11 + 12lg12 + 13lg13 13lg10 + 12lg11 + 11lg12 + 10lg13lg(1010111112121313) lg(10

10、13111212111310)即1010111112121313 1013111212111310。【变式2】已知,求证:.【答案】由对称性,不妨设,于是,由排序不等式可得: 又因为,由排序不等式,乱序和逆序和,可得:由得【变式3】设,求证:.【答案】类型三:贝努力不等式的简单应用例5. 已知.证明:【思路点拨】要证,即证,也就是证,该式可用贝努利不等式证明.【解析】; .【总结升华】贝努里不等式是分析不等式中最常见的一种不等式,具有简单的结构,深刻的内涵,因此应用非常广泛.举一反三:【变式1】对于。已知,求证:【答案】当,时;由(1)知于是【变式2】设函数,是否存在使得【答案】,由贝努利不等式,类型三:数学归纳法的简单应用例6. 用数学归纳法证明:【总结升华】本题主要考查用数学归纳法证明等式的步骤,注意当nk1时,两边加上的项和结论各是什么【证明】【总结升华】数学归纳法证题的两个步骤缺一不可证nk1成立时,必须用nk成立的结论,否则,就不是数学归纳法证明举一反三:【变式】用数学归纳法证明: 【答案】当n=1时,左边=1,右边=2左边右边,不等式成立假设n=k时,不等式成立,即那么当n=k+1时,这就是说,当n=k+1时,不等式成立由、可知,原不等式对任意自然数n都成立说明:这里要注意,当n=k+1时,要证的目标是,当代入归纳假设后,就是要证明:

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