1、计数原理全章复习与巩固编稿：李 霞 审稿： 张林娟【学习目标】 1. 正确使用加法原理和乘法原理，正确区分排列和组合问题，熟练掌握二项式定理的形式和二项式系数的性质.2. 能把所学知识使用到实际问题中，并能熟练运用.【知识网络】【要点梳理】 要点一：计数方法排列与组合 (1)分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理与分步有关，分类计数原理与分类有关 (2)排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属排列问题，与顺序无关的属组合问题 (3)排列与组合的主要
2、公式排列数公式：，组合数公式：组合数性质：(i)，；(ii)；(iii)排列组合应用题的处理方法和策略 (1)正确选择使用分类计数原理还是分步计数原理“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法 (2)排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关 (3)复杂
3、的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验 (4)按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义 (5)处理排列组合的综合性问题，一般思路方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能 (6)在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数
4、、组合数计算公式与组合数性质容易产生的错误是重复和遗漏计数 常见的解题策略有以下几种： 特殊元素优先安排的策略； 合理分类与准确分步的策略； 排列、组合混合问题先选后排的策略； 正难则反、等价转化的策略； 相邻问题捆绑处理的策略； 不相邻问题插空处理的策略； 定序问题除法处理的策略； 分排问题直排处理的策略； “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； 构造模型的策略要点诠释：主要的计数思想有分类与分步、模型处理思想、优限法思想、正难则反思想、先选后排思想等；常见问题的类型基本上是组合与排列问题、至多与至少问题、相邻与不相邻问题等.要点二：二项式定理关于二项式定理的知识(1)二项式定理，其中各项
5、系数就是组合数，展开式共有(n+1)项，第r+1项是 (2)二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项(r0，1，n)叫做二项展开式的通项公式 (3)二项式系数的性质 对称性：(r0，1，2，n)递推性：增减性与最大值：逐渐增大,随后又逐渐减小若n是偶数，则中间项的二项式系数最大，其值为若n是奇数，则中间两项的二项式系数相等，并且最大，其值为 所有二项式系数和等于，即 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即要点诠释：熟记二项式定理，是解答与二项式定理有关问题的前提条件,对比较复杂的二项式，有时先化简再展开更便于计算. 注意二项式系数与项的系数是有区别的.【典型例题】类型一：两个计数
6、原理例1. 某学习小组有8名同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人？【解析】设男生有x人，则女生有(8-x)人，依题意，得：，即，解得（舍），故男生有5人，女生有3人；或男生有6人，女生有2人.【总结升华】对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决时，可以综合应用两个原理.举一反三：【变式1】计算.【答案】362879【解析】由，故原式=.【变式2】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排
7、在10月7日，则不同的安排方案共有 ( )A504种 B960种 C1008种 D1108种 【答案】 C 【解析】分两类：甲、乙排1、2号或6、7号，共有2种方法；甲、乙排中间，丙排7号或不排7号，共有种方法；故共有1008种不同的排法例2. 同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（ ）A6种B9种C11种D23种 【解析】解法1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B可拿a，c，d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同分配
8、方法同理，A拿c ，d时也各有三种不同的分配方式由分类计数原理，四张贺年卡共有333=9种分配方式解法2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡如果A先拿有3种，此时写被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法接下来，剩下的两个人都各只有一种取法由分步计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有3311=9种 应选B【总结升华】正确使用和区别两个原理是解决本题的关键.举一反三：【变式1】现有6名同学同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) A56 B65 C D65432 【答案】 A 【解析】因为每名同学有5个讲座可选，6位同学共有55555556
9、种选法【变式2】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( ) A324 B328 C360 D648 【答案】 B 【解析】利用分类计数原理，共分两类： (1)0作个位，共个偶数； (2)0不作个位，共个偶数， 共计72+256328个偶数，故选B类型二：排列与组合及分类、分布原理的应用例3. 下表是高考第一批录取的一份志愿表. 如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择. 若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？【思路点拨】填写学校时是有顺序的，因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题；同一学校的两个
10、专业也有顺序，要区分第一专业和第二专业. 因此这是一个排列问题.【解析】填表过程可分两步.第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有.综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：种.【总结升华】要完成的事件与元素的排列顺序是否相关，有时题中并未直接点明，需要根据实际情景自己判断，特别是学习了组合这一点尤其重要. 另外，较复杂的事件应分解开考虑.举一反三： 【变式1】某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中
11、产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_种(用数字作答) 【答案】 96 【解析】 两类：第一棒是丙有种传递方案，第一棒是甲、乙中一人有种传递方案因此共有方案48+4896种 【变式2】现安排甲、乙、丙、丁、戌5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( ) A152 B126 C90 D54 【答案】 B 【解析】 分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108126种
12、，故B正确例4 . 8个人分两排坐，每排4人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排方法？【思路点拨】由题意可分为“乙、丙坐前排，甲坐在前排的8人做法”和“乙、丙坐后，甲坐在前排的8人做法”两类情况；也可以采取“总方法数减去不合题意的方法总数”. 下面用两种方法来解答.【解析】解法一：由题意可分为“乙、丙坐前排，甲坐在前排的8人做法”和“乙、丙坐后，甲坐在前排的8人做法”两类情况. 在每类情况下，划分“乙、丙坐下”，“甲坐下”，“其他五人坐下”三个步骤，因此共有不同的排法有：种.解法二：采取“总方法数减去不合题意的方法总数”. 把“甲坐在第一排的8人坐法数”看成“总方法数”，
13、这个数目是. 在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的8人坐法”，这个数目是. 其中第一个因数表示甲坐在第一排的方法数，表示从乙、丙中任选一人的方法数，表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个则表示乙、丙中未安排的那个人坐在第二排的方法数，就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为：种.【总结升华】直接法和间接法对比考虑，正难则反举一反三： 【变式1】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ( ) A18 B24 C30 D36 【答案】 C 【解析】 用间接法解答：四名学生中有两名学生分到一
14、个班的种数是，顺序有种，而甲、乙被分到同一个班有正种，所以种数是【变式2】从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( ) A70种 B80种 C100种 D140种 【答案】 A 【解析】 直接法：一男两女，有种，两男一女，有种，共计70种 间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，都是女医生有种，于是符合条件的有8410470种类型三：求二项展开式特定项和有关二项展开式的系数问题例5. 已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.【思路点拨】先由条件列方程求出n.
15、 （1）需考虑二项式系数的性质；（2）需列不等式确定r.【解析】令x=1得展开式的各项系数之和为，而展开式的二项式系数的和为，故有，所以n=5.（1）因n=5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.故，.（2）设展开式中第r+1项的系数最大，故有即 解得.，即展开式中第5项的系数最大.【总结升华】展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法也不同. 前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组，解不等式组时可能会求出几个r，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小. 举一反三：【变式1】 展开式中，系数等于_ 【答案】 15【解析】 ，所以系数等于15 【变式2】在的展开式中，系数为有理数的项共有_项 【答案】 6 【解析】二项展开式的通项公式为(0r20)，要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项【变式3】察下列等式：，由以上等式推测到一个一般的结论：对于，_【答案】 【解析】这是一种需用类比推理方法来解的问题，结论由两项构成，第二项前有，两项的指数分别为，因此对于，有【变式4】的展开式中的系数是( ) A-6 B-3 C0 D3【答案】 A【解析】 ， 则x2的系数是-12+6-6