高考总复习:知识讲解_《计数原理》全章复习与巩固
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1、计数原理全章复习与巩固编稿:李 霞 审稿: 张林娟【学习目标】 1. 正确使用加法原理和乘法原理,正确区分排列和组合问题,熟练掌握二项式定理的形式和二项式系数的性质.2. 能把所学知识使用到实际问题中,并能熟练运用.【知识网络】【要点梳理】 要点一:计数方法排列与组合 (1)分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理,两者的区别在于分步计数原理与分步有关,分类计数原理与分类有关 (2)排列与组合主要研究从一些不同元素中,任取部分或全部元素进行排列或组合,求共有多少种方法的问题区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关,与顺序有关的属排列问题,与顺序无关的属组合问题 (3)排列与组合的主要
2、公式排列数公式:,组合数公式:组合数性质:(i),;(ii);(iii)排列组合应用题的处理方法和策略 (1)正确选择使用分类计数原理还是分步计数原理“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件,而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件所以准确理解两个原理的关键在于明确:分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,彼此之间交集为空集,并集为全集,不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件;分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成事件,步与步之间互不影响,即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法 (2)排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关 (3)复杂
3、的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化,从而寻求解题途径,由于结果的正确性难以直接检验,因而常需要用不同的方法求解来获得检验 (4)按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步,是处理组合问题的基本思想方法,要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义 (5)处理排列组合的综合性问题,一般思路方法是先选元素(组合),后排列,按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”,始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理,通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能 (6)在解决排列组合综合性问题时,必须深刻理解排列与组合的概念,能够熟练确定问题是排列问题还是组合问题,牢记排列数
4、、组合数计算公式与组合数性质容易产生的错误是重复和遗漏计数 常见的解题策略有以下几种: 特殊元素优先安排的策略; 合理分类与准确分步的策略; 排列、组合混合问题先选后排的策略; 正难则反、等价转化的策略; 相邻问题捆绑处理的策略; 不相邻问题插空处理的策略; 定序问题除法处理的策略; 分排问题直排处理的策略; “小集团”排列问题中先整体后局部的策略; 构造模型的策略要点诠释:主要的计数思想有分类与分步、模型处理思想、优限法思想、正难则反思想、先选后排思想等;常见问题的类型基本上是组合与排列问题、至多与至少问题、相邻与不相邻问题等.要点二:二项式定理关于二项式定理的知识(1)二项式定理,其中各项
5、系数就是组合数,展开式共有(n+1)项,第r+1项是 (2)二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项(r0,1,n)叫做二项展开式的通项公式 (3)二项式系数的性质 对称性:(r0,1,2,n)递推性:增减性与最大值:逐渐增大,随后又逐渐减小若n是偶数,则中间项的二项式系数最大,其值为若n是奇数,则中间两项的二项式系数相等,并且最大,其值为 所有二项式系数和等于,即 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和,即要点诠释:熟记二项式定理,是解答与二项式定理有关问题的前提条件,对比较复杂的二项式,有时先化简再展开更便于计算. 注意二项式系数与项的系数是有区别的.【典型例题】类型一:两个计数
6、原理例1. 某学习小组有8名同学,从男生中选2人,女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛,要求每科均有1人参加,共有180种不同的选法,那么该小组中男、女同学各有多少人?【解析】设男生有x人,则女生有(8-x)人,依题意,得:,即,解得(舍),故男生有5人,女生有3人;或男生有6人,女生有2人.【总结升华】对于复杂问题,不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决时,可以综合应用两个原理.举一反三:【变式1】计算.【答案】362879【解析】由,故原式=.【变式2】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排
7、在10月7日,则不同的安排方案共有 ( )A504种 B960种 C1008种 D1108种 【答案】 C 【解析】分两类:甲、乙排1、2号或6、7号,共有2种方法;甲、乙排中间,丙排7号或不排7号,共有种方法;故共有1008种不同的排法例2. 同室4人各写1张贺年卡,先集中起来,然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式有( )A6种B9种C11种D23种 【解析】解法1:设四人A,B,C,D写的贺年卡分别是a,b,c,d,当A拿贺年卡b,则B可拿a,c,d中的任何一个,即B拿a,C拿d,D拿c或B拿c,D拿a,C拿d或B拿d,C拿a,D拿c,所以A拿b时有三种不同分配
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