1、2018-2019学年四川省遂宁市射洪县高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（6分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（6分）已知命题；命题q：若ab，则，则下列为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq3（6分）为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；从最近五
2、场比赛的得分看，乙比甲更稳定；从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定其中所有正确结论的编号为（）ABCD4（6分）某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A16B18C32D725（6分）已知P是双曲线y21上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则的值是（）ABCD不能确定6（6分）已知定义在R上的函数g（x），其导函数为g（x），若g（x）g（x）+x3+x，且当x0时，g（x），则不等式2g（x）2g（x1）3x23x+2的解集为（）A（，0）B（0，）C（，+）D（，）二、填
3、空题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）7（6分）曲线yx3在点（1，1）处的切线与x轴及直线xa所围成的三角形面积为，则实数a 8（6分）过抛物线C：y24x的焦点F作互相垂直的弦AB，CD，则四边形ACBD面积的最小值为 9（6分）已知在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是sin2+4cos0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程是，M（0，），直线l与曲线C的公共点为P，Q，则 三、解答题（本小题共3个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）10（15分）近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫
4、困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积x（单位：亩）12345管理时间y（单位：月）810132524并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与
5、管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望参考公式：，其中na+b+c+d临界值表：P（K2k0） 0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828参考数据：25.211（15分）已知F1，F2分别是椭圆E：的左，右焦点，点在椭圆E上，且抛物线y24x的焦点是椭圆E的一个焦点（1）求a，b的值：（2）过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x2+y2a2+b2相交于A，B两点，且与椭圆E相交于C，D两点，当时，求F1CD的面积12（16分）已知函数f（x）xlnx2ax2+x，aR（）若f（x）在（0，+）内单调递减，求实数a的取
6、值范围；（）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x22018-2019学年四川省遂宁市射洪县高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（6分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案【解答】解：，（1i）313i+3i2i322i，复数在复平面内对应的点的坐标为（2，2），位于第三象限故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几
7、何意义，是基础题2（6分）已知命题；命题q：若ab，则，则下列为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【分析】根据题意，分析可得p为真命题，而q为假命题，结合复合命题的真假关系分析选项，综合即可得答案【解答】解：根据题意，对于P，x2x+1（x）2+0恒成立，则x0R，则x02x0+10为真命题；对于q，当a0而b0时，则不成立，则q为假命题；分析选项可得：pq、pq、pq都是假命题；pq为真命题；故选：B【点评】本题考查复合命题的真假的判定，关键是掌握复合命题真假的判定方法3（6分）为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：甲
8、最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定其中所有正确结论的编号为（）ABCD【分析】根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得【解答】解：甲的中位数为29，乙的中位数为30，故不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故正确，不正确故选：C【点评】本题考查了茎叶图，属基础题4（6分）某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方
9、法的种数为（）A16B18C32D72【分析】根据题意，分2步进行分析：，分析3辆不同型号的车的停放方法，利用插空法分析剩余的4个车位中恰有3个连在一起的排法，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进行分析：，3辆不同型号的车需停放，共有A336种方法，要求剩余的4个车位中恰有3个连在一起，利用插空法，有C42A2212种方法，所以不同的停放方法有61272种故选：D【点评】本题考查排列组合的应用，注意分步计数原理的应用，属于基础题5（6分）已知P是双曲线y21上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则的值是（）ABCD不能确定【分析】设P（m，n），
10、则n21，即m23n23，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到【解答】解：设P（m，n），则n21，即m23n23，由双曲线y21的渐近线方程为yx，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）（，），（，），则+故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题6（6分）已知定义在R上的函数g（x），其导函数为g（x），若g（x）g（x）+x3+x，且当x0时，g（x），则不等式2g（x）2g（x1）3x23x+2的解集为（）A（，0）B（0
11、，）C（，+）D（，）【分析】由g（x）g（x）+x3+x得g（x）g（x）+g（x），构造函数h（x）g（x），得到h（x）为偶函数，又当x0时，g（x），h（x）g（x）0，可得出h（x）的单调性，2g（x）2g（x1）3x23x+2g（x）g（x1），即h（x）h（x1）可得|x|x1|，从而解得x【解答】解：定义在R上的函数g（x）且g（x）g（x）+x3+x，g（x）g（x）+g（x），令h（x）g（x），则h（x）h（x）h（x）为偶函数h（x）g（x），又当x0时，g（x），h（x）0，h（x） 在0，+）为减函数，且h（x） 在（，0）为增函数不等式2g（x）2g（x1）3x2
12、3x+2g（x）g（x1）即h（x）h（x1）|x|x1|解得x故选：D【点评】本题考查了利用导数研究函数单调性、利用单调性解不等式；构造函数是本题的难点；但这类题只要掌握方法了；都是大同小异一个模式；同学们可以有针对性的加以训练属于难题二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）7（6分）曲线yx3在点（1，1）处的切线与x轴及直线xa所围成的三角形面积为，则实数a1或【分析】求得函数y的导数，可得切线的斜率，以及切线方程，求得切线与x轴和xa的交点，由三角形的面积公式可得所求值【解答】解：yx3的导数为y3x2，可得切线的斜率为3，切线方程为y13（x1），可得y3x2，可得切线与
13、x轴的交点为（，0），切线与xa的交点为（a，3a2），可得|a|3a2|，解得a1或，故答案为：1或【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，以及直线方程的运用，考查三角形的面积求法，属于基础题8（6分）过抛物线C：y24x的焦点F作互相垂直的弦AB，CD，则四边形ACBD面积的最小值为32【分析】设直线AB的方程为yk（x1），将直线AB的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出|AB|，同理得出|CD|，由面积公式S|AB|CD|结合基本不等式可得出四边形ACBD面积的最小值【解答】解：如下图所示，显然焦点F的坐标为（1，0），所以，可设直线AB的方程为yk（x1），将直线
14、l的方程代入抛物线的方程并整理得k2x22（k2+4）x+k20，所以，x1+x22+，所以，|AB|x1+x2+24+，同理可得|CD|4+4k2，由基本不等式可知，四边形ACBD的面积为S|AB|CD|4（1+k2）8（k2+2）32当且仅当k1时，等号成立，因此，四边形ACBD的面积的最小值为32故答案为：32【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及多边形面积的计算，考查计算能力，属于中等题9（6分）已知在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是sin2+4cos0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程是，M（0，），直线l与曲线C的公共点为P，Q
15、，则【分析】求出曲线C的直角坐标方程，把直线l的方程化为，代入曲线C的直角坐标方程，然后利用参数m的几何意义求解【解答】解：由曲线C的极坐标方程是sin2+4cos0，得2sin2+4cos0，即曲线C的直角坐标方程为y24x由直线l的参数方程是，消去参数t，可得直线l的普通方程为化直线l的普通方程为参数方程，代入y24x，得3m2+20m+120，m1m24故答案为：【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此时t的几何意义的应用，是中档题三、解答题（本小题共3个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）10（15分）近年来，国资委、党委高度
16、重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积x（单位：亩）12345管理时间y（单位：月）810132524并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿
17、的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望参考公式：，其中na+b+c+d临界值表：P（K2k0） 0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828参考数据：25.2【分析】（1）分别求出3，16，从而10，254，47，求出0.933，从而得到管理时间y与土地使用面积x线性相关（2）完善列联表，求出K218.7510.828，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3）x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理
18、的男性村民的概率为，由此能求出X的分布列和数学期望【解答】解：（1）依题意3，16，故4+1+1+410，64+36+9+81+64254，（2）（8）+（1）（6）+19+2847，则0.933，故管理时间y与土地使用面积x线性相关（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得K2的观测值为：18.7510.828，故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3）依题意，x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故P（X0）（）3，P（
19、X1），P（X2），P（X3），故X的分布列为：X0123P则数学期望为：E（X）+3【点评】本题考查相关系数的求法，考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11（15分）已知F1，F2分别是椭圆E：的左，右焦点，点在椭圆E上，且抛物线y24x的焦点是椭圆E的一个焦点（1）求a，b的值：（2）过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x2+y2a2+b2相交于A，B两点，且与椭圆E相交于C，D两点，当时，求F1CD的面积【分析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义，可求出a，b；（2）联立直线与圆的方程可以求出t2，再联立直
20、线和椭圆的方程化简，有根与系数的关系的到结论，继而求出面积【解答】解：（1）y24x的焦点为F（1，0），则F1（1，0），F2（1，0），2a|PF1|+|PF2|，解得，c1，b1（2）由已知，可设直线l的方程为xty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（t2+1）y2+2ty20，易知0，则，（x1+1）（x2+1）+y1y2（ty1+2）（ty2+2）+y1y2（t2+1）y1y2+2t（y1+y2）+4因为，所以1，解得t23联立，得（t2+2）y2+2ty10，8（t2+1），设C（x3，y3），D（x4，y4），则，【点评】此题考查了圆锥曲线的方程、直线与圆的位置关
21、系，涉及了向量知识，属于较难题型12（16分）已知函数f（x）xlnx2ax2+x，aR（）若f（x）在（0，+）内单调递减，求实数a的取值范围；（）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2【分析】（I）令f（x）0恒成立，分离参数得出4a，利用函数单调性求出函数g（x）的最大值即可得出a的范围；（II）令t，根据分析法构造关于t的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可【解答】解：（I）f（x）lnx4ax+2，若f（x）在（0，+）内单调递减，则f（x）0恒成立，即4a在（0，+）上恒成立令g（x），则g（x），当0x时，g（x）0，当x时，g（x）0，g（x）在（
22、0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，g（x）的最大值为g（）e，4ae，即aa的取值范围是，+）（II）f（x）有两个极值点，f（x）0在（0，+）上有两解，即4a有两解，由（1）可知0a由lnx14ax1+20，lnx24ax2+20，可得lnx1lnx24a（x1x2），不妨设0x1x2，要证明x1+x2，只需证明，即证明lnx1lnx2，只需证明ln，令h（x）lnx（0x1），则h（x）0，故h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1）0，即lnx在（0，1）上恒成立，不等式ln恒成立，综上，x1+x2【点评】本题考查了函数单调性的判断，函数最值的计算，考查导数与函数单调性的关系，属于中档题