1、2017-2018学年云南省玉溪一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，6，7，8，集合A2，3，5，6，集合B1，3，4，6，7，则集合AUB（）A2，5B3，6C2，5，6D2，3，5，6，82（5分）在等差数列an中，若a24，a42，则a6（）A1B0C1D63（5分）已知抛物线，则它的准线方程是（）Ax2Bx2CD4（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“ab”是“平面平面”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5
2、（5分）若x，y满足，则x2y的最大值为（）A3B1C5D96（5分）函数的零点所在的区间是（）A（1，0）BCD7（5分）函数f（x）cos（x+）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（） A（k，k+），kzB（2k，2k+），kzC（k，k+），kzD（，2k+），kz8（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）ABCD19（5分）双曲线（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在C上，PF1F2为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）ABCD10（5分）要得到函数ylog3（1x）的图象，只需将函数ylog3x的图象（）A先关于x轴对称，再向右平
3、移1个单位B先关于x轴对称，再向左平移1个单位C先关于y轴对称，再向右平移1个单位D先关于y轴对称，再向左平移1个单位11（5分）设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M、N满足，则（）A20B15C9D612（5分）若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A3B2C2D3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为 14（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和15，则输出的i的值为 &nb
4、sp; 15（5分）曲线ye3x+2在点（0，3）处的切线方程为 16（5分）已知函数f（x），g（x）+m，x1（0，3，x21，2，使得f（x1）g（x2），则实数m的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）设函数f（x）|x1|xa|（1）若a3，解不等式f（x）1；（2）若不等式f（x）2有解，求实数a的取值范围18（12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosAacosC+ccosA（1）求A；（2）若b+c2，求a的取值范围19（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用
5、水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0，0.5），0.5，1），4，4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中a的值；（2）设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由（结果保留到小数点后三位）20（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，
6、面ABEF为正方形，CDEF，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60（1）证明：平面ABEF平面EFDC；（2）求直线BD与平面BCE所成角的正弦值21（12分）数列an的前n项和记为Sn，a1t，点（Sn，an+1）在直线y2x+1上，nN*（1）当实数t为何值时，数列an是等比数列；（2）在（1）的结论下，设，求数列bn的前n项和Tn22（12分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），OAB的面积为4（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N求证：|AN|BM|为定值2017
7、-2018学年云南省玉溪一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，6，7，8，集合A2，3，5，6，集合B1，3，4，6，7，则集合AUB（）A2，5B3，6C2，5，6D2，3，5，6，8【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；【解答】解：全集U1，2，3，4，5，6，7，8，集合A2，3，5，6，集合B1，3，4，6，7，UB2，5，8，则AUB2，5故选：A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的
8、关键2（5分）在等差数列an中，若a24，a42，则a6（）A1B0C1D6【分析】直接利用等差中项求解即可【解答】解：在等差数列an中，若a24，a42，则a4（a2+a6）2，解得a60故选：B【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力3（5分）已知抛物线，则它的准线方程是（）Ax2Bx2CD【分析】利用抛物线的标准方程，直接求解准线方程即可【解答】极为：抛物线，开口向下，对称轴为y轴，所以抛物线的准线方程为：故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查4（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“ab”是“平面平面”的（）A充分不必要条件
9、B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行和面面平行的判定条件分别进行判断即可【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面，内，当ab时，平面与平面可能平行也可能相交，即充分性不成立，当平面平面时，直线a，b分别在两个不同平面，内，则两直线平行或异面，即必要性也不成立，“ab”是“平面平面”的既不充分也不必要条件故选：D【点评】本题考查了直线平行和面面平行的判定条件，是基础题5（5分）若x，y满足，则x2y的最大值为（）A3B1C5D9【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：由zx2y得yx，作出不等式组对应的平面区域如图（
10、阴影部分）平移直线yx，由图象可知当直线，过点B时，直线的截距最小，此时z最大，由，得 B（3，1），代入目标函数zx2y，得z5，目标函数zx2y的最大值是5，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法6（5分）函数的零点所在的区间是（）A（1，0）BCD【分析】由题意易知函数的在定义域上是减函数，再由函数零点的判定定理求解【解答】解：易知函数在定义域上是减函数，也是连续函数f（）0，f（）0，故函数的零点所在的区间为（，）；故选：C【点评】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题7（5分）函数f（x）cos（x+）
11、的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（） A（k，k+），kzB（2k，2k+），kzC（k，k+），kzD（，2k+），kz【分析】由周期求出，由五点法作图求出，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间【解答】解：由函数f（x）cos（x+）的部分图象，可得函数的周期为2（）2，f（x）cos（x+）再根据函数的图象以及五点法作图，可得+，kz，即，f（x）cos（x+）由2kx+2k+，求得 2kx2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），kz，故选：D【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法
12、作图求出的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题8（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）ABCD1【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S11，高为1，故棱锥的体积V，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键9（5分）双曲线（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在C上，PF1F2为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）ABCD【分析】根据F1F2PF2列方程得出a，b，c的关
13、系，从而得出答案【解答】解：不妨设P在第一象限，PF1F2为等腰直角三角形，F1F2PF2，且F1F2PF2，把xc代入双曲线方程得y，即PF2，2c，即c22aca20，e22e10，解得e+1或e+1（舍），故选：B【点评】本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题10（5分）要得到函数ylog3（1x）的图象，只需将函数ylog3x的图象（）A先关于x轴对称，再向右平移1个单位B先关于x轴对称，再向左平移1个单位C先关于y轴对称，再向右平移1个单位D先关于y轴对称，再向左平移1个单位【分析】根据图象变换性质，即可得到答案【解答】解：得到函数ylog3（1x）的图象，只需将函数ylo
14、g3x的图象先关于y轴对称，再向右平移1个单位，故选：C【点评】本题主要考查了函数的图象变换，涉及函数图象的平移变换和对称变换，掌握其变换规律时解题的关键，属于基础题11（5分）设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M、N满足，则（）A20B15C9D6【分析】根据图形得出+，（）2，结合向量结合向量的数量积求解即可【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，根据图形可得：+，（）2，222，22，|6，|4，221239故选：C【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示12（5分）若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为
15、正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A3B2C2D3【分析】由四棱锥的体积为9可得到底面边长a与高h的关系，作出图形，则球心O在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R的表达式，将问题转化为求R何时取得最小值的问题【解答】解：设底面边长ABa，棱锥的高SMh，V棱锥SABCDa2h9，a2，正四棱锥内接于球O，O在直线SM上，设球O半径为R，（1）若O在线段SM上，如图一，则OMSMSOhR，（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OMSOSMRh，SM平面ABCD，OMB是直角三角形，OM2+MB2OB2，OBR，MBBD
16、a，（hR）2+R2，或（Rh）2+R22hRh2+，即R+3当且仅当取等号，即h3时R取得最小值故选：A【点评】本题考查了正棱锥与其外接球的结构特征，寻找球的半径与棱锥底面边长的关系是解题关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为【分析】从中任意取出2本，基本事件总数n36，取出的书恰好都是数学书包含的基本事件个数m6，由此能求出取出的书恰好都是数学书的概率【解答】解：5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任意取出2本，基本事件总数n36，取出的书恰好都是数学书包含的基本事件个数m6，取出的书
17、恰好都是数学书的概率p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求出能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和15，则输出的i的值为4【分析】根据已知的程序框图知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程可得答案【解答】解：输入的a，b的值分别为0和15，i1第一次执行循环体：a1，b14，不满足条件ab，i2；第二次执行循环体：a3，b12，不满足条件ab，i3；第三次执行循环体：a6，b9，不满足条件ab，i4；第四次执行循环体：a10，b5，满足条件ab，输出i4故答案为：4
18、【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题15（5分）曲线ye3x+2在点（0，3）处的切线方程为3x+y30【分析】根据题意，求出曲线的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k，进而可得切线的点斜式方程，变形即可得答案【解答】解：根据题意，曲线ye3x+2，其导数y3e3x，则有y|x03，即切线的斜率k3，则切线的方程为y33（x0），即3x+y30故答案为：3x+y30【点评】本题考查利用导数计算切线的方程，关键是掌握导数的几何意义16（5分）已知函数f（x），g（x）+m，x1（0，3，x21，2，使得f（x1）g（x2），则实数m的取值范围是【分析】x1（0，3，x21，2，使得f
19、（x1）g（x2），可得f（x1）maxg（x）max，x1，2利用以及函数f（x），g（x）的单调性极值与最值即可得出【解答】解：x1（0，3，x21，2，使得f（x1）g（x2），f（x1）maxg（x）max，x1，2函数，x（0，3，f（x），可得xe时函数f（x）取得极大值即最大值，f（x1）maxf（e）函数，x1，2，g（x）x2xx（x1），可得x0时，函数g（x）取得极大值，g（0）m又g（2）+m可得：g（x）max+mf（x1）maxg（x）max，+m，解得mm的取值范围为：故答案为：【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查
20、了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）设函数f（x）|x1|xa|（1）若a3，解不等式f（x）1；（2）若不等式f（x）2有解，求实数a的取值范围【分析】（1）利用零点去绝对值，即可求解；（2）利用绝对值不等式的性质，即可求解；【解答】解：（1）当a3，可得，由f（x）1；所以：或或解得：x1或或x综上所述，不等式的解集为（2）|f（x）|x1|xa|（x1）（xa）|a1|，不等式f（x）2有解即所以f（x）max|a1|2，解得a1或a3，所以实数a的取值范围是（，13，+）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和零点的应用，绝对值
21、不等式的性质属于中档题18（12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosAacosC+ccosA（1）求A；（2）若b+c2，求a的取值范围【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数结合三角形的内角和，求解即可（2）利用余弦定理推出4a23bc，利用基本不等式推出bc的范围，然后求解a的取值范围【解答】解：（1）由正弦定理可得：2sinBcosAsinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB，4分B（0，），sinB0，所以2cosA1，即，因为A（0，），所以.（6分）（2），所以4a23bc，（8分）因为（当且仅当bc1时取等号）（10分），所
22、以4a23，解得a1，又因为ab+c2，所以a的取值范围是1，2）（12分）【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力19（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0，0.5），0.5，1），4，4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中a的值；（2）设该市有50万居民，估计全市居民中
23、月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由（结果保留到小数点后三位）【分析】（1）由频率和为1，列方程求得a的值；（2）计算居民每人月均用水量不低于3吨的频率，求出对应的人数；（3）计算频率和为0.80的对应月用水量即可【解答】解：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在0，0.5）中的频率为0.080.50.04，同理在0.5，1），1，1.5），1.5，2），2，2.5），2.5，3），3，3.5），3.5，4），4，4.5中的频率分别为0.08，0.5a，0.20，0.26，0.5a，0.06，0.04，
24、0.02；由0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.021，解得a0.30；（4分）（2）由（1）知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.020.12；由以上样本的频率分布，可以估计全市50万居民中月均用水量不低于3吨的人数为50万0.126（万）；（8分）（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.150.880.80，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.260.730.80，所以2.5x3；由0.3（x2.5）0.800.73，解得x2.733；所以
25、估计月用水量标准为2.733吨时，80%的居民每月的用水量不超过标准（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题20（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，CDEF，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60（1）证明：平面ABEF平面EFDC；（2）求直线BD与平面BCE所成角的正弦值【分析】（1）推导出AFDF，AFFE，从而AF平面EFDC，由此能证明平面ABEF平面EFDC（2）过D作DGEF，由DG平面ABEF，以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立
26、空间直角坐标系Gxyz，利用向量法能求出直线BD与平面BCE所成角的正弦值【解答】证明：（1）在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，CDEF，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60，由已知可得AFDF，AFFE，DFFEF，AF平面EFDC又AF平面ABEF，平面ABEF平面EFDC（4分）解：（2）过D作DGEF，垂足为G，由（1）知DG平面ABEF以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，（5分）由（1）知DEF为二面角DAFE的平面角，故DEF60，则|DF|2，|AF|4，可得B（3，4，
27、0），E（3，0，0），D（0，0，）（7分）由BEAF，可得BE平面EFDC，CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60又CDEF，四边形CDFE为等腰梯形，由题意得|CD|2，从而C（2，0，），（1，0，），（0，4，0）设（x，y，z）是平面BCE的法向量，则，取x3，得（3，0，），（10分）设直线BD与平面BCE所成角为，则，直线BD与平面BCE所成角的正弦值为（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（12分）数列an的前n项和记为Sn，a1t，点（Sn，
28、an+1）在直线y2x+1上，nN*（1）当实数t为何值时，数列an是等比数列；（2）在（1）的结论下，设，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）an+12Sn+1（nN*）an2Sn1+1（n2），化简推出an从第二项起是等比数列，列出方程求解即可（2）由（1）可知：an是首项为1，公比为3的等比数列，化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和【解答】解：（1）an+12Sn+1（nN*）an2Sn1+1（n2），当n2时，可得an+!an2（SnSn1）2an，化简得，所以an从第二项起是等比数列（4分）a1t，a22a1+12t+1，因为数列an是等比数列，所以，t1（6分）（2）由
29、（1）可知：an是首项为1，公比为3的等比数列，所以，（8分），（9分）.（12分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），OAB的面积为4（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N求证：|AN|BM|为定值【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，求得a和b的值，进而得到椭圆方程；（2）方法一、设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y0216，求出直线PA的方程，令x0，求得y，|
30、BM|；求出直线PB的方程，令y0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|BM|为定值方法二、设P（4cos，2sin），（02），求出直线PA的方程，令x0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|BM|为定值【解答】解：（1）由题意可得e，又OAB的面积为4，可得ab4，即ab8，且a2b2c2，解得a4，b2，c2，可得椭圆C的方程：；（2）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y0216，当x00时，可得P（0，2），即有M（0，2），N（0，0），可得|AN|BM|为定值16；直线PA：y（x4），令x0，可得y，则|BM|2+|；直线PB：yx+2，令y0，可得x，则|AN|4+|可得|AN|BM|4+|2+|，|AN|BM|4+|2+|16，即有|AN|BM|为定值16证法二：设P（4cos，2sin），（02），直线PA：y（x4），令x0，可得y，则|BM|2|；直线PB：yx+2，令y0，可得x，则|AN|4|即有|AN|BM|2|4|，8|，8|16则|AN|BM|为定值16【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，椭圆的参数方程，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题