1、提分专练(三)一次函数与反比例函数综合问题1.2019岳阳如图T3-1,双曲线y=mx经过点P(2,1),且与直线y=kx-4(k0),过点P作平行于y轴的直线,在第一象限内交一次函数y=-x+b的图象于点M,交反比例函数y=kx的图象于点N.若PMPN,结合函数图象直接写出a的取值范围.图T3-23.2019聊城如图T3-3,A32,4,B(3,m)是直线AB与反比例函数y=nx(x0)图象的两个交点,ACx轴,垂足为C,已知D(0,1),连接AD,BD,BC.(1)求直线AB的解析式;(2)ABC和ABD的面积分别为S1,S2,求S2-S1.图T3-34.如图T3-4,一次函数y=kx+b
2、的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A(-1,n),B(2,-1)两点,与y轴相交于点C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)若点D与点C关于x轴对称,求ABD的面积;(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数y=mx上的两点,当x1x20)的图象和一次函数y=-x+b的图象都过点P(1,m),过点P作y轴的垂线,垂足为A,O为坐标原点,OAP的面积为1.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M,过点M作x轴的垂线,垂足为B,求五边形OAPMB的面积.图T3-56.2019广州如图T3-6,在平面直角坐标系xOy中,菱形AB
3、CD的对角线AC与BD交于点P(-1,2),ABx轴于点E,正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=n-3x的图象相交于A,P两点.(1)求m,n的值与点A的坐标;(2)求证:CPDAEO;(3)求sinCDB的值.图T3-67.2019泰安如图T3-7,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx(x0)的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且SOAB=152.(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)若P为x轴上一点,ABP是等腰三角形,求点P的坐标.图T3-7【参考答案】1.解:(1)把P(2,1)的坐标代入y=mx,得1=m2,则m=2.(2)由(1)可知反比
4、例函数的解析式为y=2x,2x=kx-4,整理得kx2-4x-2=0,双曲线与直线有两个不同的交点,0,即(-4)2-4k(-2)0,解得k-2.又k0,k的取值范围为-2k0.2.解:(1)反比例函数y=kx(k0)的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A(1,3),B(3,1)两点,3=k1,3=-1+b,k=3,b=4,反比例函数和一次函数的解析式分别为y=3x,y=-x+4.(2)由图象可得:当1aPN.3.解:(1)点A32,4在反比例函数y=nx(x0)的图象上,4=n32,n=6,反比例函数的解析式为y=6x(x0).将B(3,m)代入,得m=2,B(3,2).设直线A
5、B的解析式为y=kx+b,4=32k+b,2=3k+b,解得k=-43,b=6,直线AB的解析式为y=-43x+6.(2)由点A,B的坐标,得AC=4,点B到AC的距离为3-32=32,S1=12432=3.设AB与y轴的交点为E,可得E(0,6),DE=6-1=5.由点A32,4,B(3,2)知点A,B到ED的距离分别为32,3,S2=SBED-SAED=154.S2-S1=34.4.解:(1)反比例函数y=mx的图象经过点B(2,-1),m=-2,反比例函数的解析式为y=-2x.点A(-1,n)在y=-2x的图象上,n=2,A(-1,2).把点A,B的坐标代入y=kx+b,则有-k+b=2
6、,2k+b=-1,解得k=-1,b=1,一次函数的解析式为y=-x+1.(2)直线y=-x+1交y轴于点C,C(0,1),D(0,-1),CD=2,SABD=1223=3.(3)M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数y=-2x图象上的两点,且x1x20,y10,k=2,反比例函数的解析式为y=2x.反比例函数y=2x的图象过点P(1,m),m=21=2,P(1,2).一次函数y=-x+b的图象过点P(1,2),2=-1+b,解得b=3,一次函数的解析式为y=-x+3.(2)设直线y=-x+3分别交x轴、y轴于C,D两点,C(3,0),D(0,3).由y=-x+3,y=2x,得x=1,y
7、=2或x=2,y=1,P(1,2),M(2,1),PA=1,AD=3-2=1,BM=1,BC=3-2=1,五边形OAPMB的面积为:SCOD-SBCM-SADP=1233-1211-1211=72.6.解:(1)将点P(-1,2)的坐标代入y=mx,得2=-m,解得m=-2,正比例函数的解析式为y=-2x.将点P(-1,2)的坐标代入y=n-3x,得2=-(n-3),解得n=1,反比例函数的解析式为y=-2x.解方程组y=-2x,y=-2x,得x1=-1,y1=2,x2=1,y2=-2,点A的坐标为(1,-2).(2)证明:四边形ABCD是菱形,ACBD,ABCD,CPD=90,DCP=BAP
8、,即DCP=OAE.ABx轴,AEO=CPD=90,CPDAEO.(3)点A的坐标为(1,-2),AE=2,OE=1,则AO=AE2+OE2=5.CPDAEO,CDP=AOE,sinCDB=sinAOE=AEAO=25=255.7.解:(1)过点A作AMx轴于点M,则SOAB=12OBAM=152.B(5,0),OB=5,125AM=152,AM=3.OB=AB,AB=5.在RtABM中,BM=AB2-AM2=4,OM=OB+BM=9,A(9,3).点A在反比例函数y=mx(x0)的图象上,3=m9,则m=27,反比例函数的解析式为y=27x.点A(9,3),B(5,0)在一次函数y=kx+b
9、的图象上,3=9k+b,0=5k+b,解得k=34,b=-154,一次函数的解析式为y=34x-154.(2)设点P的坐标为(x,0).A(9,3),B(5,0),AB2=25,AP2=(9-x)2+32=x2-18x+90,BP2=(5-x)2=x2-10x+25.根据等腰三角形中有两边相等,分类讨论:令AB2=AP2,得25=x2-18x+90,解得x1=5,x2=13.当x=5时,点P与点B重合,故舍去,P1(13,0).令AB2=BP2,得25=x2-10x+25,解得x1=0,x2=10.故P2(0,0),P3(10,0).令AP2=BP2,得x2-18x+90=x2-10x+25,解得x=658,P4658,0.综上所述,使ABP是等腰三角形的点P的坐标为(13,0)或(0,0)或(10,0)或658,0.