1、提分专练(六)与切线有关的计算与证明1.2019天津已知PA,PB分别与O相切于点A,B,APB=80,C为O上一点.(1)如图T6-1,求ACB的大小;(2)如图T6-1,AE为O的直径,AE与BC相交于点D,若AB=AD,求EAC的大小.图T6-12.2019江西联考如图T6-2,在RtABC中,ACB=90,E是BC的中点,以AC为直径的O与AB边交于点D,连接DE.(1)求证:DE是O的切线;(2)若CD=6 cm,DE=5 cm,求O直径的长.图T6-23.2019九江二模如图T6-3,已知,在RtABC中,以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆,圆心为点O,这个圆交线段BC于点E,点
2、G为BD的中点.(1)求证:GE为O的切线;(2)若CDBD=12,GE=6,求AD的长.图T6-34.如图T6-4,在RtABC中,C=90,AD是BAC的平分线,经过A,D两点的圆的圆心O恰好落在AB上,O分别与AB,AC相交于点E,F.(1)求证:BC为O的切线;(2)若O的半径为2,AC=3,求BD的长.图T6-45.2019江西样卷六如图T6-5,点C在以AB为直径的O上,将ABC沿边AC翻折得到ACD,再将CD沿CE翻折,使点D恰好落在O上的点F处.(1)求证:直线CE是O的切线;(2)当AB=10,且tanDAB=43时,求CE的长.图T6-56.2019南昌调研如图T6-6,已
3、知O的直径AB为4,CD为弦,AB与CD交于点M,将CD沿着CD翻折后,点A与圆心O重合,延长OA至点P,使AP=OA,连接PC.(1)求CD的长.(2)求证:PC是O的切线.(3)点G为ADB的中点,在PC的延长线上,有一动点Q,连接QG交AB于点E,交BC于点F(F与B,C不重合),则GEGF是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.图T6-67.2018赣州章贡模拟 如图T6-7,O是ABC的外接圆,AE平分BAC交O于点E,交BC于点D,过点E作直线lBC.(1)判断直线l与O的位置关系,并说明理由;(2)若ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF;(3)在(2)的条件
4、下,若DE=4,DF=3,求AF的长.图T6-7【参考答案】1.解:(1)如图,连接OA,OB.PA,PB分别是O的切线,OAPA,OBPB,即PAO=PBO=90.APB=80,在四边形OAPB中,AOB=360-90-90-80=100,ACB=12AOB=50.(2)如图,连接CE.AE为O的直径,ACE=90.由(1)知,ACB=50,BCE=ACE-ACB=40,BAE=BCE=40.在ABD中,AB=AD,ADB=ABD=70.ACD中,ADB是外角,EAC=ADB-ACB=70-50=20.2.解:(1)证明:连接DO,如图.BDC=90,E为BC的中点,DE=CE=BE,EDC
5、=ECD.又OD=OC,ODC=OCD,而OCD+DCE=ACB=90,EDC+ODC=90,即EDO=90,DEOD.OD是O的半径,DE与O相切.(2)在RtBCD中,BD=BC2-CD2=102-62=8(cm),BCA=BDC=90,B=B,BCABDC,ACCD=BCBD,即AC6=108,AC=152,O直径的长为152.3.解:(1)证明:连接OE,DE,OG,如图.CD为O的直径,CED=90.点G为BD的中点,GE=12BD=DG,在GEO和GDO中,OE=OD,GE=GD,OG=OG,GEOGDO(SSS),GEO=GDO=90.GE为O的切线.(2)ACB=90,CDA=
6、90,ACD=B,tanB=CDBD=12,tanACD=ADCD=12,AD=12CD=12GE=3.4.解:(1)证明:如图,连接OD.AD是BAC的平分线,BAD=CAD.又OD=OA,OAD=ODA,CAD=ODA,ODAC,ODB=C=90,即ODBC.又BC过半径OD的外端点D,BC为O的切线.(2)由(1)知,ODAC.BDOBCA,BOBA=DOCA.O的半径为2.DO=OE=2,AE=4,BE+2BE+4=23,BE=2,BO=4,在RtBDO中,BD=BO2-OD2=23.5.解:(1)证明:如图,连接OC.由折叠的性质可知BC=DC,DAC=CAB.OA=OB,OAC=O
7、CA,DAC=OCA,OCAD.由折叠的性质可知CEAD,OCE=DEC=90.点C在O上,直线CE是O的切线. (2)如图,连接BF.AB是O的直径,AFB=90.tanDAB=43,BFAF=43.AB=10,BF=8.由折叠的性质可知DC=BC,DE=FE,CE=12BF=4.6.解:(1)由题意,得CDAO,且AM=OM,连接OC,如图,则OM=12OC.AOC=60,CM=OCsin60=232=3.CD=2CM=23.(2)证明:连接CA,如图,则AOC为等边三角形,CA=AO=PA,CAO=60,P=PCA=30.PCO=90.即PCOC.OC是O的半径,PC是O的切线. (3)
8、证明:连接GO并延长交O于H,连接HF.如图.点G为ADB的中点,OGAB.GH为O的直径,GFH=90,GOE=GFH=90.OGE=FGH,GOEGFH.GEGH=GOGF.GEGF=GOGH=24=8为定值.7.解:(1)直线l与O相切.理由:如图所示,连接OE.AE平分BAC,BAE=CAE.BE=CE.OEBC.lBC,OEl.直线l与O相切.(2)证明:BF平分ABC,ABF=CBF.又CBE=CAE=BAE,CBE+CBF=BAE+ABF.又EFB=BAE+ABF,EBF=EFB.BE=EF.(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=7.DBE=BAE,DEB=BEA,BEDAEB.DEBE=BEAE,即47=7AE,解得AE=494.AF=AE-EF=494-7=214.