1、模块综合试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1在复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点共轭复数的定义与应用题点复数与点的对应关系答案D解析z1i，1i，在复平面内对应的点位于第四象限2曲线ysin xex(其中e2.718 28是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线的斜率为()A2 B3 C. D.考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切线的斜率答案A解析ycos xex，当x0时，y2，即k2，故选A.3观察下列等式：9011,91211,92321
2、,93431，.猜想第n(nN)个等式应为()A9(n1)n10n9B9(n1)n10n9C9n(n1)10n1D9(n1)(n1)10n10考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案B解析注意观察每一个等式与n的关系，易知选项B正确4|sin x|dx等于()A0 B1 C2 D4考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分答案D解析|sin x|dxsin xdx(sin x)dxcos x|cos x|11114.5已知在正三角形ABC中，若D是BC边的中点，G是三角形ABC的重心，则2.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD中，若三角形BCD的重心为M，四面体
3、内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于()A1 B2 C3 D4考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析由题意知，O为正四面体的外接球和内切球的球心设正四面体的高为h，由等体积法可求得内切球的半径为h，外接球的半径为h，所以3.6函数f(x)3x4x3(x0,1)的最大值是()A. B1 C0 D1考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案D解析由f(x)312x23(12x)(12x)0，解得x，0,1(舍去)当x时，f(x)0，当x时，f(x)0)若函数f(x)ax2ln x的图像上存在垂直于y轴的切线，则2ax0存在大于0的实数根，即a0)，l7
4、2.令l0，解得x4或x4(舍去)当0x4时，l4时，l0.故当x4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元故选D.10已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导数为f(x)，当x(，0时，恒有xf(x)F(2x1)的实数x的取值范围为()A(1,2) B.C. D(2,1)考点利用导数研究函数的单调性题点已知函数值大小求未知数答案A解析f(x)是奇函数，不等式xf(x)f(x)等价于xf(x)f(x)即xf(x)f(x)0，F(x)xf(x)，F(x)xf(x)f(x)，即当x(，0时，F(x)0时，F(x)为增函数，即不等式F(3)F(
5、2x1)等价于F(3)F(|2x1|)，|2x1|3，32x13，得1x2，故选A.11若由曲线yx21，直线xy3以及两坐标轴的正半轴所围成的图形的面积为S，则S等于()A. B. C3 D.考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案D解析由得或所以所求面积为图中阴影部分的面积所以S(x21)dx(3x)dx1.12已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值考点函数在某点处取得极值的条
6、件题点不含参数的函数求极值答案C解析当k1时，f(x)exx1，f(1)0，x1不是f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)，显然f(1)0，且在x1附近的左侧f(x)0，f(x)在x1处取到极小值故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13设z(2i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为_考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案5解析z(2i)234i，所以|z|34i|5.14已知不等式10的解集为(1,2)，则dx_.考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分答案23ln 3解析由10，得ax3a，又不等式10的解集为(1,2
7、)，解得a1，dxdxx3ln(x1)|23ln 3.15已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数答案，解析依题意可知函数f(x)在(，)上是减函数，所以f(x)3x22ax10在(，)上恒成立，则4a2120，解得a.16如图所示的数阵中，第20行第2个数字是_1考点归纳推理的应用题点归纳推理在数阵(表)中的应用答案解析设第n(n2且nN)行的第2个数字为，其中a11，则由数阵可知an1ann，a20(a20a19)(a19a18)(a2a1)a11918111191，.三、解答题(本大题共6小题，共70
8、分)17(10分)已知复数z满足|z|，z的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限(1)求复数z；(2)若m2mmz2是纯虚数，求实数m的值考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解(1)设zabi(a，bR)，则a2b22，b1.因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a5，求证：.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证，只需证，即证()2()2，即证2a522a52，只需证，只需证a25aa25a6，即证06，显然06成立，所以.19(12分)设函数f(x)sin xcos xx1,0x2，求函数f(x)的单调区间与极值考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题
9、解f(x)cos xsin x1sin1(0x0，nN.(1)求a1，a2，a3；(2)猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明考点数学归纳法证明数列问题题点利用数学归纳法证明数列通项问题解(1)a1S11，所以a11.又因为an0，所以a11.S2a1a21，所以a2.S3a1a2a31，所以a3.(2)由(1)猜想an，nN.下面用数学归纳法加以证明：当n1时，由(1)知a11成立假设当nk(kN)时，ak成立当nk1时，ak1Sk1Sk，所以a2ak120，所以ak1，即当nk1时猜想也成立综上可知，猜想对一切nN都成立21(12分)已知函数f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数，当x
10、1时，f(x)取得极值2.(1)求f(x)的单调区间和极大值；(2)证明：对任意x1，x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|0，故f(x)在区间(，1)上是增函数；当x(1,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上是增函数f(x)在x1处取得极大值，极大值为f(1)2.(2)证明由(1)知，f(x)x33x(x1,1)是减函数，且f(x)在1,1上的最大值Mf(1)2，f(x)在1,1上的最小值mf(1)2.对任意的x1，x2(1,1)，恒有|f(x1)f(x2)|Mm2(2)4.22(12分)已知函数f(x)ex2x23x.(1)求证：函数f(x)在区间0,1上存在唯一的极值点；(
11、2)当x时，若关于x的不等式f(x)x2(a3)x1恒成立，试求实数a的取值范围考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围(1)证明f(x)ex4x3，f(0)e0320，f(0)f(1)0，f(x)在区间0,1上单调递增，f(x)在区间0,1上存在唯一零点，f(x)在区间0,1上存在唯一的极小值点(2)解由f(x)x2(a3)x1，得ex2x23xx2(a3)x1，即axexx21，x，a.令g(x)，则g(x).令(x)ex(x1)x21，则(x)x(ex1)x，(x)0.(x)在上是增加的(x)0.因此g(x)0，故g(x)在上是增加的，则g(x)g2，a的取值范围是.