1、章末复习,第一章 推理与证明,学习目标,1.整合本章知识要点. 2.进一步理解归纳推理与类比推理的概念、思维形式、应用等. 3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明. 4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.归纳与类比 (1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理. (2)类比推理：由 到 的推理. (3)合情推理：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.,部分,整体,个别,一般,特殊,特殊,2.综合法和分析法 (1) 是从已知条件推出结论的证明方法； (2)
2、 是从结论追溯到条件的证明方法. 3.反证法 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与_ 矛盾，或与 矛盾，或与 矛盾等.,综合法,分析法,已知条件,假设,定义、公理、定理,4.数学归纳法 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n 时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n 时结论成立，推得当n 时结论也成立.,k,n0,k1,题型探究,类型一 合情推理,例1 (1)观察下列等式：,照此规律，,答案,解析,答案,解析,解析 题干两图中，与PAB，PAB相对应的是三棱锥PABC， PABC； 与PAB两边PA，PB相对
3、应的是三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC. 与PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC.,反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明. (2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.,跟踪训练1 (1)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以
4、C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，如此继续下去，画出的第8道弧的半 径是_，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为_.,答案,解析,8,第二道弧所在圆的半径为2，圆心角为90，因此弧长为；,(2)设P是ABC内一点，ABC中BC，AC，AB边上的高分别为hA，hB，hC，P到BC，AC，AB三边的距离依次为la，lb，lc，则有 ，类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，A，B，C，D四个顶点到对面的距离分别是hA，hB，hC，hD，P到这四个面的距离依次是la，lb，lc，ld， 则有_
5、.,答案,解析,类型二 综合法与分析法,证明,证明 方法一 分析法,(0，)，sin 0，,1cos 0， 4cos (1cos )1， 可变形为4cos24cos 10， 只需证(2cos 1)20，显然成立.,方法二 综合法,(0，)，sin 0，,反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.,跟踪训练2 设a，b是两个正实数，且ab，求证：a3b3a2bab2.,证明,证明
6、要证a3b3a2bab2成立，即需证 (ab)(a2abb2)ab(ab)成立， 即需证a2abb2ab成立. 只需证a22abb20成立， 即需证(ab)20成立. 而由已知条件可知，ab，所以ab0， 所以(ab)20显然成立. 即a3b3a2bab2.,类型三 反证法,证明,因为x0且y0， 所以1x2y且1y2x， 两式相加，得2xy2x2y，所以xy2. 这与已知xy2矛盾.,反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时，也常用反证法.,跟踪训练3 已知：ac2(bd). 求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至
7、少有一个方程有实数根.,证明,证明 假设两方程都没有实数根， 则1a24b2ac， 即ac2(bd)，与已知矛盾，故原命题成立.,类型四 数学归纳法,解答,下面用数学归纳法证明：,(2)假设当nk(k1，kN)时猜想成立，,那么当nk1时，,即当nk1时猜想成立. 由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想均成立.,反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少. (2)由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要利用当nk时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.,跟踪
8、训练4 观察下列四个等式： 第一个式子 11 第二个式子 2349 第三个式子 3456725 第四个式子 4567891049 (1)按照此规律，写出第五个等式；,解答,解 第5个等式：5671381.,(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明.,解答,解 猜想第n个等式为 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2. 下面用数学归纳法证明. 当n1时，左边1，右边(21)21， 猜想成立. 假设当nk(k1，kN)时，猜想成立， 即有k(k1)(k2)(3k2)(2k1)2.,那么当nk1时， 左边(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1) k(k1)(k2)(3k2)(2k1
9、)3k(3k1) (2k1)2(2k1)3k(3k1) 4k24k18k(2k1)2 2(k1)12. 右边2(k1)12， 即当nk1时，猜想也成立. 根据知，猜想对任意nN都成立.,达标检测,1.数列5,9,17,33，x，中的x等于 A.47 B.65 C.63 D.128,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 5221,9231,17241,33251， 归纳可得：x26165.,解析,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析,答案,3.若a0，b0，则有,解析,解析 方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故选A.,1,2,3,4
10、,5,答案,4.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是 A.方程x3axb0没有实根 B.方程x3axb0至多有一个实数 C.方程x3axb0至多有两个实根 D.方程x3axb0恰好有两个实根,解答,1,2,3,4,5,左边右边，所以等式成立. (2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，,则当nk1时，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,所以当nk1时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切nN，等式都成立.,1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明. 2.综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用.反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.,规律与方法,3.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)当nn0时，结论成立.第二步(归纳递推)假设当nk时，结论成立，推得当nk1时，结论也成立.数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.,