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§3 解三角形的实际应用举例 课时对点练(含答案)

1、3解三角形的实际应用举例基础过关1.如图所示,为了测量某障碍物两侧A,B间的距离,给定下列四组数据,计算时应当用的数据组为()A.,a B.,aC.a,b, D.,b解析解ABC应有三个元素才行,故选C.答案C2.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为4米,A30,则其跨度AB的长为()A.12米 B.8米C.3米 D.4米解析ABC为等腰三角形,A30,B30,C120,由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C424224448,AB4米.答案D3.在静水中划船的速度是每分钟40 m,水流的速度是每分钟20 m,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达

2、对岸,那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为()A. B. C. D.解析设水流速度与船速的合速度为v,方向指向对岸.则由题意知,sin ,又,.答案C4.甲、乙两塔相距60 m,从甲塔塔底望乙塔塔顶的仰角为45,从甲塔塔顶望乙塔塔底的俯角为30,则甲、乙两塔的高度分别为_.解析如图所示,在RtBCD中,CDBDtan 4560(m);在RtABD中,ADB30,ABBDtan 3020(m).答案20m,60 m5.如图所示,汽车以每小时50 km的速度向东行驶,在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向,行驶1.2小时后到达B处,看到这个灯塔在北偏东15方向,这时汽车与灯塔的

3、距离为_km.解析在ABM中,MAB30,ABM9015105,AMB45,AB1.25060,由正弦定理,得,所以MB30(km).答案306.如图所示,在高出地面30 m的小山顶上建造一座电视塔CD,今在距离B点60 m的地面上取一点A,若测得CAD45,求此电视塔的高度.解设CDx m,BAC,则tan ,又DAB45,tanDAB,又tan(45)3,3,x150 m,即电视塔的高度为150 m.7.在地面上某处测得塔顶的仰角为,由此处向塔走30米,测得塔顶的仰角为2,再向塔走10米,测得塔顶的仰角为4,求角.解如图所示,在BCD中,C,BDA2,CBD,又CD30米,BD30米.BD

4、E2,BEA4,DBE2.DEEB10米.由余弦定理,cos 2.又2为三角形的内角,2,.能力提升8.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC10 m,吊杆AC15 m,吊索AB5 m,起吊的货物与岸的距离AD为()A.30 m B. mC.15 m D.45 m解析在ABC中,cosABC,ABC(0,180),sinABC,在RtABD中,ADABsinABC5.答案B9.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45,30,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120,甲、乙两地相距500米,则电视塔在这次测

5、量中的高度是()A.100米 B.400米C.200米 D.500米解析由题可得右图,其中AS为塔高,设为h,甲、乙分别在B、C处. 则ABS45,ACS30,BC500,ABC120,在ABS中,ABASh,在ACS中,ACh,在ABC中,ABh,ACh,BC500,ABC120.由余弦定理(h)25002h22500hcos 120,h500(米).答案D10.一海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行,它在A点测得灯塔P在船的北偏东60方向上,2 h后船到达B点时,测得灯塔P在船的北偏东45方向上,则B点到灯塔P的距离为_n mile.解析由题可知,在ABP中,AB40,PAB3

6、0,ABP135,BPA15,由正弦定理得,BP20()(n mile),答案20()11.如图所示,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船航行的速度为_海里/时.解析由题可知PM68,MPN120,N45,由正弦定理得MN6834.速度v(海里/时).答案12.如图所示,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75,距离为12 n mile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30,距离为8 n mile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120.(1)求A处与D处的距离;(2)求灯塔C与D处的距离.(精确

7、到1 n mile)解(1)在ABD中,ADB60,DAB75,B45.由正弦定理,得AD24 n mile.即A处与D处的距离为24 n mile.(2)在ADC中,由余弦定理,得CD2AD2AC22ADACcos 30,解得CD814 n mile.即灯塔C与D处的距离约为14 n mile.创新突破13.在一个直角边长为10 m的等腰直角三角形ABC的草地上,铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地,要求P,Q,R三点分别在ABC的三条边上,且要使PQR的面积最小,现有两种设计方案:方案一:直角顶点Q在斜边AB上,R,P分别在直角边AC,BC上.方案二:直角顶点Q在直角边BC上,R,P分别在直角边AC,斜边AB上.请问应选用哪一种方案?并说明理由.解方案一:直角顶点Q在斜边AB上,R,P分别在直角边AC,BC上,则P,Q,R,C四点共圆,且AB与圆相切时PQR的面积最小,最小面积为55.方案二:直角顶点Q在直角边BC上,R,P分别在直角边AC,斜边AB上,设QPQRl,QRC,所以2lsin lcos 10,所以l,所以最小面积为10,因为10,所以应选用方案二.