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2019-2020学年广东省江门一中高二(上)开学数学试卷(9月份)含详细解答

1、2019-2020学年广东省江门一中高二(上)开学数学试卷(9月份)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1(6分)已如集合Ax|2x+13,Bx|x2x20,则AB()Ax|x1Bx|1x1Cx|2x1或x1Dx|1x22(6分)已知向量(3,1),(x,2),(0,2),若(),则实数x的值为()ABCD3(6分)已知x(,0),cosx,则tan2x()ABCD4(6分)已知等比数列an满足,且a2a44(a31),则a5()A8B16C32D645(6分)对于实数a,b,c,下列命题正确的是()A若ab,则ac2bc2B若a

2、b0,则a2abb2C若ab0,则D若ab0,则6(6分)过两直线l1:x3y+10,l2:x+2y+60的交点且与3x+y10平行的直线方程为()Ax3y+10B3x+y+70Cx3y1l0D3x+y+1307(6分)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S84S4,则a10()ABC10D128(6分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是()Am,n,且,则mnBm,n,且,则mnCm,n,mn,则Dm,n,m,n,则9(6分)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为ab,c,且,A()ABCD10(6分)直线(m1)x+(m3)y20与圆(x1)2

3、+y21的位置关系是()A相交B相切C相离D相交或相切11(6分)已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上,若圆锥的轴截面为正三角形,则圆锥的体积与球的体积之比为()A27:32B3:8C3:16D9:3212(6分)在R上定义运算:xyx(1y)若不等式(xa)(x+a)1对任意实数x成立,则()A1a1B0a2CD二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)13(6分)函数y+log2(4x)的定义域为 14(6分)若a0,b0,2a+b6,则+的最小值为 15(6分)设,将f(x)的图象向右平移(0)个单位长度,得到g(x)的图象,若g(x)是偶函数,则的最小值为 16(6分)如图,正方

4、形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若+,则+ 三、解答题:本大题共4小题,共54分解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.17(14分)等差数列an中,a74,a192a9,()求an的通项公式; ()设bn,求数列bn的前n项和Sn18(14分)已知圆C:(x2)2+y24,直线l1:ykx1,l2:yx(1)若l1,l2,被圆C所截得的弦的长度之比为1:2,求实数k的值(2)已知线段AB的端点B的坐标是(2,3),端点A在圆C上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程19(14分)如图,正方体ABCDA1B1C1D1切掉三棱锥CB1C1D1后形成多面体ABCDD1B1A1,过A

5、1D的截面分别交CD1,B1D1于点E,F(1)证明:B1C平面A1DEF;(2)求异面直线A1C与EF所成角的余弦值20(12分)如图,某城市有一块半径为1(单位:百米)的圆形景观,圆心为C,有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地,后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路,便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议,决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB问:A,B两点应选在何处可使得小道AB最短?2019-2020学年广东省江门一中高二(上)开学数学试卷(9月份)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分在每小题给出

6、的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1(6分)已如集合Ax|2x+13,Bx|x2x20,则AB()Ax|x1Bx|1x1Cx|2x1或x1Dx|1x2【分析】可以求出集合A,B,然后进行交集的运算即可【解答】解:Ax|x1,Bx|1x2,ABx|1x2故选:D【点评】本题考查了描述法的定义,一元二次不等式的解法,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题2(6分)已知向量(3,1),(x,2),(0,2),若(),则实数x的值为()ABCD【分析】根据向量垂直和向量数量积的关系,建立方程关系即可得到结论【解答】解:(),()0,即,向量(3,1),(x,2),(0,2),3x220,即3x4,

7、解得x,故选:A【点评】本题主要考查平面向量垂直于向量数量积之间的关系,利用向量坐标的基本运算是解决本题的关键,考查学生的计算能力3(6分)已知x(,0),cosx,则tan2x()ABCD【分析】由cosx的值及x的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值,进而求出tanx的值,然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后,将tanx的值代入即可求出值【解答】解:由cosx,x(,0),得到sinx,所以tanx,则tan2x故选:D【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系,以及二倍角的正切函数公式学生求sinx和tanx时注意利用x的范围判定其符合4(6分)已知等比数列an满

8、足,且a2a44(a31),则a5()A8B16C32D64【分析】先由题意求出公比,再根据等比数列的通项公式公式即可求出a5的值【解答】解:等比数列an满足,且a2a44(a31),则qq34(q21),解得q24,a5a1q4428,故选:A【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了运算求解能力,属于基础题5(6分)对于实数a,b,c,下列命题正确的是()A若ab,则ac2bc2B若ab0,则a2abb2C若ab0,则D若ab0,则【分析】选项是不等式,可以利用不等式性质,结合特例逐项判断,得出正确结果【解答】解:A,当c0时,有ac2bc2 故错B 若ab0,则a2aba(ab)0,a

9、2ab; abb2b(ab)0,abb2,a2abb2 故对C 若ab0,取a2,b1,可知,故错D 若ab0,取a2,b1,可知,故错故选:B【点评】本题考查命题真假,用到了不等式性质,特值的思想方法6(6分)过两直线l1:x3y+10,l2:x+2y+60的交点且与3x+y10平行的直线方程为()Ax3y+10B3x+y+70Cx3y1l0D3x+y+130【分析】求出两直线l1、l2的交点坐标,再设与3x+y10平行的直线方程为3x+y+m0,代入交点坐标求出m的值,即可写出方程【解答】解:两直线l1:x3y+10,l2:x+2y+60的交点为,解得,即(4,1);设与3x+y10平行的

10、直线方程为3x+y+m0,则3(4)+(1)+m0,解得m13,所求的直线方程为3x+y+130故选:D【点评】本题考查了直线方程的应用问题,是基础题7(6分)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S84S4,则a10()ABC10D12【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解:an是公差为1的等差数列,S84S4,8a1+14(4a1+),解得a1则a10+91故选:B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题8(6分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是()Am,n,且,则mnB

11、m,n,且,则mnCm,n,mn,则Dm,n,m,n,则【分析】利用线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择【解答】解:对于A,m,n,且,利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线n与垂直,又n,得到nn,又m,得到mn,所以mn;故A正确;对于B,m,n,且,则m与n位置关系不确定,可能相交、平行或者异面;故B错误;对于C,m,n,mn,则与可能平行;故C错误;对于D,m,n,m,n,则与可能相交;故D错误;故选:A【点评】本题考查了线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用;关键是由已知条件,正确运用定理的条件进行判断9(6分)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为

12、ab,c,且,A()ABCD【分析】对已知等式利用正弦定理角化边,再利用余弦定理即可求出角A【解答】解:,由正弦定理角化边得:,化简得:b2+c2a2bc,cosA,又0A,A,故选:B【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用,考查运算能力,属于基础题10(6分)直线(m1)x+(m3)y20与圆(x1)2+y21的位置关系是()A相交B相切C相离D相交或相切【分析】求出直线上的定点(1,1),判断点与圆的关系,求出即可【解答】解:(x1)2+y21表示圆心为(1,0),半径r1,(m1)x+(m3)y20,m(x+y)x+3y+2,由x+y0,x+3y+20,得x1,y1,代入(x1

13、)2+y21成立,所以点(1,1)为圆上的定点,所以直线与圆相切或者相交,故选:D【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断,基础题11(6分)已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上,若圆锥的轴截面为正三角形,则圆锥的体积与球的体积之比为()A27:32B3:8C3:16D9:32【分析】设球的半径为2R,用R表示圆锥的底面圆半径以及高,再利用锥体体积公式得出圆锥的体积的表达式,然后再结合球体的体积公式可得出答案【解答】解:取圆锥的轴截面如下图所示,设球的半径为R,圆锥的高为h,底面圆的半径为r,则圆锥的母线长为2r,结合图形可得,所以,圆锥的高为,所以,圆锥的体积为,因此,圆锥的体积与球的体积

14、之比为故选:D【点评】本题考查球体体积的计算,考查圆锥体积的计算,解决本题的关键在于利用球体的半径来表示圆锥中的几何量,考查计算能力,属于中等题12(6分)在R上定义运算:xyx(1y)若不等式(xa)(x+a)1对任意实数x成立,则()A1a1B0a2CD【分析】此题新定义运算:xyx(1y),由题意(xa)(x+a)(xa)(1xa),再根据(xa)(x+a)1,列出不等式,然后把不等式解出来【解答】解:(xa)(x+a)1(xa)(1xa)1,即x2xa2+a+10任意实数x成立,故14(a2+a+1)0,故选:C【点评】此题是一道新定义的题,要遵守命题人定的规则,另外此题主要还是考查一

15、元二次不等式的解法二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)13(6分)函数y+log2(4x)的定义域为1,4)【分析】可看出,要使得原函数有意义,则需满足,解出x的范围即可【解答】解:要使原函数有意义,则:;1x4;原函数的定义域为:1,4)故答案为:1,4)【点评】考查函数定义域的概念及求法,对数函数的定义域14(6分)若a0,b0,2a+b6,则+的最小值为【分析】利用柯西不等式求出即可【解答】解:若a0,b0,2a+b6,则(+)(2a+b)(2)28,当且仅当2ab时,取等号,则+的最小值为故答案为:【点评】本题考查了柯西不等式的应用,属于基础题15(6分)设,将f(x)的

16、图象向右平移(0)个单位长度,得到g(x)的图象,若g(x)是偶函数,则的最小值为【分析】由三角函数图象的平移及三角函数的性质得:g(x)2sin(2x+2),又g(x)是偶函数,所以2k,即,kZ又0,所以的最小值为,得解【解答】解:因为,所以f(x)2sin(2x+),将f(x)的图象向右平移(0)个单位长度,得到g(x)的图象,则g(x)2sin2(x)+2sin(2x+2),又g(x)是偶函数,所以2k,即,kZ又0,所以的最小值为,故答案为:【点评】本题考查了三角函数图象的平移及三角函数的性质,属中档题16(6分)如图,正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若+,则+ 【分

17、析】设,则+,+由于+(+)+(+)+,利用平面向量基本定理,建立方程,求出,即可得出结论【解答】解:设,则+,+由于+(+)+(+)+,+1,且+1,解得 ,+,故答案为:【点评】本题考查平面向量基本定理的运用,考查向量的加法运算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题,三、解答题:本大题共4小题,共54分解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.17(14分)等差数列an中,a74,a192a9,()求an的通项公式; ()设bn,求数列bn的前n项和Sn【分析】(I)由a74,a192a9,结合等差数列的通项公式可求a1,d,进而可求an(II)由,利用裂项求和即可求解【解答】解:

18、(I)设等差数列an的公差为da74,a192a9,解得,a11,d(II)sn【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用,试题比较容易18(14分)已知圆C:(x2)2+y24,直线l1:ykx1,l2:yx(1)若l1,l2,被圆C所截得的弦的长度之比为1:2,求实数k的值(2)已知线段AB的端点B的坐标是(2,3),端点A在圆C上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程【分析】(1)根据题意,由直线与圆的位置关系分析求出圆心C到直线l2的距离和被圆C所截得的弦长,再求出直线l1被圆C所截得的弦长与圆心C到直线l1的距离,列方程求出k的值,(2)根据题意,设M(x,y),由中点

19、坐标公式可得A的坐标,将A的坐标代入圆C的方程,即可得答案【解答】解:(1)根据题意,圆C:(x2)2+y24,其圆心为(2,0),半径r2,点C到直线l2的距离d,则直线l2被圆C截得的弦长l22,若直线l1、l2,被圆C所截得的弦的长度之比为1:2,则直线l2被圆C截得的弦长l1,则点C到直线l1的距离d,直线l1:ykx1,即kxy10,则d;解可得:k85;(2)根据题意,设M(x,y),线段AB的中点为M,且B(2,3),则A(2x+2,2y3),又由端点A在圆C上运动,则有(2x+22)2+(2y3)24,变形可得:x2+(y)21;故线段AB的中点M的轨迹方程为x2+(y)21【

20、点评】本题考查直线与圆的位置关系,涉及轨迹方程的求法,属于基础题19(14分)如图,正方体ABCDA1B1C1D1切掉三棱锥CB1C1D1后形成多面体ABCDD1B1A1,过A1D的截面分别交CD1,B1D1于点E,F(1)证明:B1C平面A1DEF;(2)求异面直线A1C与EF所成角的余弦值【分析】(1)推导出CDA1B1,CDA1B1,从而四边形A1B1CD是平行四边形,进而B1CA1D,由此能证明B1C平面A1DEF(2)推导出B1CEF,从而A1CB1是异面直线A1C与EF所成的角(或所成角的补角),由此能求出异面直线A1C与EF所成角的余弦值【解答】证明:(1)ABCD,ABCD,A

21、BA1B1,ABA1B1,CDA1B1,CDA1B1,四边形A1B1CD是平行四边形,B1CA1D,又B1C平面A1FED,A1D平面A1FED,B1C平面A1DEF解:(2)由(1)得B1C平面A1DEF,又B1C平面B1CD1,平面B1CD1平面A1DEFEF,B1CEF,A1CB1是异面直线A1C与EF所成的角(或所成角的补角),设正方体的棱长为a,则A1B1a,B1C,A1C,在RtA1B1C中,cosA1CB1,异面直线A1C与EF所成角的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明,考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查

22、数形结合思想,是中档题20(12分)如图,某城市有一块半径为1(单位:百米)的圆形景观,圆心为C,有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地,后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路,便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议,决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB问:A,B两点应选在何处可使得小道AB最短?【分析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy设A(a,0),B(0,b)(0a1,0b1),求得直线AB的方程和圆的方程,运用直线和圆相切的条件:dr,求得a,b的关系,再由两点的距离公式和基本不等式,解不等式可得AB的最小值,及此时A,

23、B的位置【解答】解:如图,分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy设A(a,0),B(0,b)(0a1,0b1),则直线AB方程为+1,即bx+ayab0因为AB与圆C:(x1)2+(y1)21相切,所以1,化简得ab2(a+b)+20,即ab2(a+b)2,因此AB,因为0a1,0b1,所以0a+b2,于是AB2(a+b)又ab2(a+b)2()2,解得0a+b42,或a+b4+2,因为0a+b2,所以0a+b42,所以AB2(a+b)2(42)22,当且仅当ab2时取等号,所以AB最小值为22,此时ab2答:当A,B两点离道路的交点都为2(百米)时,小道AB最短【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的运用,同时考查直线和圆相切的条件,考查化简整理的运算能力,属于中档题