1、2019-2020学年广东省江门一中高二（上）开学数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（6分）已如集合Ax|2x+13，Bx|x2x20，则AB（）Ax|x1Bx|1x1Cx|2x1或x1Dx|1x22（6分）已知向量（3，1），（x，2），（0，2），若（），则实数x的值为（）ABCD3（6分）已知x（，0），cosx，则tan2x（）ABCD4（6分）已知等比数列an满足，且a2a44（a31），则a5（）A8B16C32D645（6分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A若ab，则ac2bc2B若a
2、b0，则a2abb2C若ab0，则D若ab0，则6（6分）过两直线l1：x3y+10，l2：x+2y+60的交点且与3x+y10平行的直线方程为（）Ax3y+10B3x+y+70Cx3y1l0D3x+y+1307（6分）已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10（）ABC10D128（6分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）Am，n，且，则mnBm，n，且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则9（6分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为ab，c，且，A（）ABCD10（6分）直线（m1）x+（m3）y20与圆（x1）2
3、+y21的位置关系是（）A相交B相切C相离D相交或相切11（6分）已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为（）A27：32B3：8C3：16D9：3212（6分）在R上定义运算：xyx（1y）若不等式（xa）（x+a）1对任意实数x成立，则（）A1a1B0a2CD二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）13（6分）函数y+log2（4x）的定义域为 14（6分）若a0，b0，2a+b6，则+的最小值为 15（6分）设，将f（x）的图象向右平移（0）个单位长度，得到g（x）的图象，若g（x）是偶函数，则的最小值为 16（6分）如图，正方
4、形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若+，则+ 三、解答题：本大题共4小题，共54分解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.17（14分）等差数列an中，a74，a192a9，（）求an的通项公式； （）设bn，求数列bn的前n项和Sn18（14分）已知圆C：（x2）2+y24，直线l1：ykx1，l2：yx（1）若l1，l2，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k的值（2）已知线段AB的端点B的坐标是（2，3），端点A在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程19（14分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1切掉三棱锥CB1C1D1后形成多面体ABCDD1B1A1，过A
5、1D的截面分别交CD1，B1D1于点E，F（1）证明：B1C平面A1DEF；（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值20（12分）如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？2019-2020学年广东省江门一中高二（上）开学数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分在每小题给出
6、的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（6分）已如集合Ax|2x+13，Bx|x2x20，则AB（）Ax|x1Bx|1x1Cx|2x1或x1Dx|1x2【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax|x1，Bx|1x2，ABx|1x2故选：D【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题2（6分）已知向量（3，1），（x，2），（0，2），若（），则实数x的值为（）ABCD【分析】根据向量垂直和向量数量积的关系，建立方程关系即可得到结论【解答】解：（），（）0，即，向量（3，1），（x，2），（0，2），3x220，即3x4，
7、解得x，故选：A【点评】本题主要考查平面向量垂直于向量数量积之间的关系，利用向量坐标的基本运算是解决本题的关键，考查学生的计算能力3（6分）已知x（，0），cosx，则tan2x（）ABCD【分析】由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值【解答】解：由cosx，x（，0），得到sinx，所以tanx，则tan2x故选：D【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式学生求sinx和tanx时注意利用x的范围判定其符合4（6分）已知等比数列an满
8、足，且a2a44（a31），则a5（）A8B16C32D64【分析】先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式公式即可求出a5的值【解答】解：等比数列an满足，且a2a44（a31），则qq34（q21），解得q24，a5a1q4428，故选：A【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题5（6分）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A若ab，则ac2bc2B若ab0，则a2abb2C若ab0，则D若ab0，则【分析】选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果【解答】解：A，当c0时，有ac2bc2 故错B 若ab0，则a2aba（ab）0，a
9、2ab； abb2b（ab）0，abb2，a2abb2 故对C 若ab0，取a2，b1，可知，故错D 若ab0，取a2，b1，可知，故错故选：B【点评】本题考查命题真假，用到了不等式性质，特值的思想方法6（6分）过两直线l1：x3y+10，l2：x+2y+60的交点且与3x+y10平行的直线方程为（）Ax3y+10B3x+y+70Cx3y1l0D3x+y+130【分析】求出两直线l1、l2的交点坐标，再设与3x+y10平行的直线方程为3x+y+m0，代入交点坐标求出m的值，即可写出方程【解答】解：两直线l1：x3y+10，l2：x+2y+60的交点为，解得，即（4，1）；设与3x+y10平行的
10、直线方程为3x+y+m0，则3（4）+（1）+m0，解得m13，所求的直线方程为3x+y+130故选：D【点评】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题7（6分）已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10（）ABC10D12【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：an是公差为1的等差数列，S84S4，8a1+14（4a1+），解得a1则a10+91故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（6分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）Am，n，且，则mnB
11、m，n，且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则【分析】利用线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择【解答】解：对于A，m，n，且，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线n与垂直，又n，得到nn，又m，得到mn，所以mn；故A正确；对于B，m，n，且，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；故B错误；对于C，m，n，mn，则与可能平行；故C错误；对于D，m，n，m，n，则与可能相交；故D错误；故选：A【点评】本题考查了线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是由已知条件，正确运用定理的条件进行判断9（6分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为
12、ab，c，且，A（）ABCD【分析】对已知等式利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求出角A【解答】解：，由正弦定理角化边得：，化简得：b2+c2a2bc，cosA，又0A，A，故选：B【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题10（6分）直线（m1）x+（m3）y20与圆（x1）2+y21的位置关系是（）A相交B相切C相离D相交或相切【分析】求出直线上的定点（1，1），判断点与圆的关系，求出即可【解答】解：（x1）2+y21表示圆心为（1，0），半径r1，（m1）x+（m3）y20，m（x+y）x+3y+2，由x+y0，x+3y+20，得x1，y1，代入（x1
13、）2+y21成立，所以点（1，1）为圆上的定点，所以直线与圆相切或者相交，故选：D【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，基础题11（6分）已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为（）A27：32B3：8C3：16D9：32【分析】设球的半径为2R，用R表示圆锥的底面圆半径以及高，再利用锥体体积公式得出圆锥的体积的表达式，然后再结合球体的体积公式可得出答案【解答】解：取圆锥的轴截面如下图所示，设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，结合图形可得，所以，圆锥的高为，所以，圆锥的体积为，因此，圆锥的体积与球的体积
14、之比为故选：D【点评】本题考查球体体积的计算，考查圆锥体积的计算，解决本题的关键在于利用球体的半径来表示圆锥中的几何量，考查计算能力，属于中等题12（6分）在R上定义运算：xyx（1y）若不等式（xa）（x+a）1对任意实数x成立，则（）A1a1B0a2CD【分析】此题新定义运算：xyx（1y），由题意（xa）（x+a）（xa）（1xa），再根据（xa）（x+a）1，列出不等式，然后把不等式解出来【解答】解：（xa）（x+a）1（xa）（1xa）1，即x2xa2+a+10任意实数x成立，故14（a2+a+1）0，故选：C【点评】此题是一道新定义的题，要遵守命题人定的规则，另外此题主要还是考查一
15、元二次不等式的解法二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）13（6分）函数y+log2（4x）的定义域为1，4）【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可【解答】解：要使原函数有意义，则：；1x4；原函数的定义域为：1，4）故答案为：1，4）【点评】考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域14（6分）若a0，b0，2a+b6，则+的最小值为【分析】利用柯西不等式求出即可【解答】解：若a0，b0，2a+b6，则（+）（2a+b）（2）28，当且仅当2ab时，取等号，则+的最小值为故答案为：【点评】本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题15（6分）设，将f（x）的
16、图象向右平移（0）个单位长度，得到g（x）的图象，若g（x）是偶函数，则的最小值为【分析】由三角函数图象的平移及三角函数的性质得：g（x）2sin（2x+2），又g（x）是偶函数，所以2k，即，kZ又0，所以的最小值为，得解【解答】解：因为，所以f（x）2sin（2x+），将f（x）的图象向右平移（0）个单位长度，得到g（x）的图象，则g（x）2sin2（x）+2sin（2x+2），又g（x）是偶函数，所以2k，即，kZ又0，所以的最小值为，故答案为：【点评】本题考查了三角函数图象的平移及三角函数的性质，属中档题16（6分）如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若+，则+ 【分
17、析】设，则+，+由于+（+）+（+）+，利用平面向量基本定理，建立方程，求出，即可得出结论【解答】解：设，则+，+由于+（+）+（+）+，+1，且+1，解得 ，+，故答案为：【点评】本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，三、解答题：本大题共4小题，共54分解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.17（14分）等差数列an中，a74，a192a9，（）求an的通项公式； （）设bn，求数列bn的前n项和Sn【分析】（I）由a74，a192a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an（II）由，利用裂项求和即可求解【解答】解：
18、（I）设等差数列an的公差为da74，a192a9，解得，a11，d（II）sn【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18（14分）已知圆C：（x2）2+y24，直线l1：ykx1，l2：yx（1）若l1，l2，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k的值（2）已知线段AB的端点B的坐标是（2，3），端点A在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程【分析】（1）根据题意，由直线与圆的位置关系分析求出圆心C到直线l2的距离和被圆C所截得的弦长，再求出直线l1被圆C所截得的弦长与圆心C到直线l1的距离，列方程求出k的值，（2）根据题意，设M（x，y），由中点
19、坐标公式可得A的坐标，将A的坐标代入圆C的方程，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，圆C：（x2）2+y24，其圆心为（2，0），半径r2，点C到直线l2的距离d，则直线l2被圆C截得的弦长l22，若直线l1、l2，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，则直线l2被圆C截得的弦长l1，则点C到直线l1的距离d，直线l1：ykx1，即kxy10，则d；解可得：k85；（2）根据题意，设M（x，y），线段AB的中点为M，且B（2，3），则A（2x+2，2y3），又由端点A在圆C上运动，则有（2x+22）2+（2y3）24，变形可得：x2+（y）21；故线段AB的中点M的轨迹方程为x2+（y）21【
20、点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法，属于基础题19（14分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1切掉三棱锥CB1C1D1后形成多面体ABCDD1B1A1，过A1D的截面分别交CD1，B1D1于点E，F（1）证明：B1C平面A1DEF；（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值【分析】（1）推导出CDA1B1，CDA1B1，从而四边形A1B1CD是平行四边形，进而B1CA1D，由此能证明B1C平面A1DEF（2）推导出B1CEF，从而A1CB1是异面直线A1C与EF所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与EF所成角的余弦值【解答】证明：（1）ABCD，ABCD，A
21、BA1B1，ABA1B1，CDA1B1，CDA1B1，四边形A1B1CD是平行四边形，B1CA1D，又B1C平面A1FED，A1D平面A1FED，B1C平面A1DEF解：（2）由（1）得B1C平面A1DEF，又B1C平面B1CD1，平面B1CD1平面A1DEFEF，B1CEF，A1CB1是异面直线A1C与EF所成的角（或所成角的补角），设正方体的棱长为a，则A1B1a，B1C，A1C，在RtA1B1C中，cosA1CB1，异面直线A1C与EF所成角的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查
22、数形结合思想，是中档题20（12分）如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？【分析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy设A（a，0），B（0，b）（0a1，0b1），求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：dr，求得a，b的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，
23、B的位置【解答】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy设A（a，0），B（0，b）（0a1，0b1），则直线AB方程为+1，即bx+ayab0因为AB与圆C：（x1）2+（y1）21相切，所以1，化简得ab2（a+b）+20，即ab2（a+b）2，因此AB，因为0a1，0b1，所以0a+b2，于是AB2（a+b）又ab2（a+b）2（）2，解得0a+b42，或a+b4+2，因为0a+b2，所以0a+b42，所以AB2（a+b）2（42）22，当且仅当ab2时取等号，所以AB最小值为22，此时ab2答：当A，B两点离道路的交点都为2（百米）时，小道AB最短【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的运用，同时考查直线和圆相切的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题
