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§8 最小二乘估计 同步练习(含答案)

1、8最小二乘估计基础过关1.某商品的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)负相关,则其回归方程可能是()A.y10x200 B.y10x200C.y10x200 D.y10x200解析结合图象(图略),知选项B,D为正相关,选项C不符合实际意义,只有选项A正确.答案A2.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i1,2,n),用最小二乘法建立的回归方程为y0.85x85.71,则下列结论中不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85

2、 kgD.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg解析当x170时,y0.8517085.7158.79,体重的估计值为58.79 kg.答案D3.已知一组观测值(xi,yi)作出散点图后确定具有线性相关关系,若对于ybxa,求得b0.51,61.75,38.14,则回归方程为()A.y0.51x6.65 B.y6.65x0.51C.y0.51x42.30 D.y42.30x0.51解析因为b0.51,ab6.65,所以y0.51x6.65.答案A4.在一定的限度范围内,若施化肥量x(单位:kg/公顷)与水稻产量y(单位:kg/公顷)的回归方程为y5x250,当施化

3、肥量为80 kg/公顷时,预计水稻产量为_kg/公顷.解析把x80代入回归方程y5x250,得y650.答案6505.某数学老师身高176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.解析因为儿子的身高与父亲的身高有关,所以设儿子的身高为Y(单位:cm),父亲身高为X(单位:cm),根据数据列表:X173170176Y170176182由数据列表,得回归系数b1,a3.于是儿子身高与父亲身高的关系式为YX3.当X182时,Y185.故预测该老师的孙子的身高为185 cm.答案18

4、56.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得i80,i20,iyi184,720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程ybxa;(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程ybxa中,b,ab ,其中,为样本平均值.解(1)由题意知n10,i8,i2,又lxxn2720108280,lxyiyin 184108224,由此得b 0.3,a b 20.380.4,故所求线性回归方程为y 0.3x0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加

5、(b 0.30),故x与y之间是正相关.(3)将x7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y0.370.41.7(千元).7.一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会有缺损,按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示.转速x(转/秒)1614128每小时生产缺损零件数y(个)11985(1)作出散点图;(2)如果y与x线性相关,求出回归方程;(3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个,那么,机器的运转速度应控制在什么范围内?解(1)作出散点图如图所示.(2)由(1)知y与x线性相关.设回归方程为:ybxa.由题意,得12.5,8.25,660,iyi438.b0.

6、73,a8.250.7312.50.88,y0.73x0.88.(3)令0.73x0.8810,解得x15.故机器的运转速度应控制在15转/秒内.能力提升8.工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归方程为y5080x,下列判断正确的是()A.劳动生产率为1 000元时,工人工资为130元B.劳动生产率提高1 000元时,工人工资平均提高80元C.劳动生产率提高1 000元时,工人工资平均提高130元D.当月工资为250元时,劳动生产率为2 000元解析因为回归方程斜率为80,所以x每增加1,y平均增加80,即劳动生产率提高1 000元时,工人工资平均提高80元.答案B9.已知x与

7、y之间的几组数据如下表:x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归方程为ybxa.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为ybxa,则以下结论正确的是()A.bb,aa B.bb,aaC.bb,aa D.bb,aa解析由(1,0),(2,2)求b,a.b2,a0212.求a,b时,iyi04312152458,14916253691,b,a,bb,aa.答案C10.期中考试后,某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析,得到数学成绩y对总成绩x的回归方程为y60.4x.由此可以估计:若两个同学的总成绩相差50分,则他们的数学成绩大约相差_分.解析令

8、两人的总成绩分别为x1,x2.则对应的数学成绩估计为y160.4x1,y260.4x2,所以|y1y2|0.4(x1x2)|0.45020.答案2011.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:h)与当天投篮命中率y之间的关系:时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为_;用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6h篮球的投篮命中率为_.解析0.5,3.由公式,得b0.01,从而ab0.50.0130.47.所以回归方程为y0.470.01x.所以当x6时,y0.470.0160.53.

9、答案0.50.5312.某单位为了了解用电量y度与气温x 之间的关系随机统计了某4天的用电量与当天气温如下表:气温()141286用电量22263438(1)求用电量y与气温x的线性回归方程;(2)由(1)的方程预测气温为5 时,用电量的度数.解(1)由题意知样本值n4,10,30,将四组样本值代入参考公式得b2,ab30(2)1050,所以线性回归方程为y2x50.(2)预测气温为5 时,令(1)中的回归方程中x5,代入方程得y40,所以当气温是5 时,用电量是40.创新突破13.下面是某市一周内申请领结婚证的新郎和新娘的年龄,记为(y,x),其中新郎年龄为y,新娘年龄为x.(37,30),

10、(30,27),(65,56),(45,40),(32,30),(28,26),(45,31),(29,24),(26,23),(28,25),(42,29),(36,33),(33,29),(24,22),(32,33),(21,29),(37,46),(28,25),(33,34),(21,23),(24,23),(49,44),(28,29),(30,30),(24,25),(22,23),(68,60),(25,25),(32,27),(42,37),(24,24),(24,22),(28,27),(36,31),(23,24),(30,26).其中(30.333 3,32.777 8

11、,(xi)22 804,(xi)(yi)3 134.67)以下考虑y关于x的回归问题:(1)如果每个新郎和新娘都同岁,穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么?(2)如果每个新郎都比新娘大5岁,穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么?(3)如果每个新郎都比新娘大10%,穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么?(4)对上面的实际年龄求回归方程,你从新郎和新娘的年龄模型中可得出什么结论?解(1)当yx时,易得b1,a0,故回归直线的斜率为1,截距为0.(2)当yx5时,易得b1,a5,故回归直线的斜率为1,截距为5.(3)当yx(110%)时,易得b1.1,a0,故回归直线的斜率为1.1,截距为0.(4)b1.118,ab1.133.回归直线方程为y1.118x1.133.从回归方程可以看出,新郎的年龄一般比新娘的年龄大,尤其是在大龄夫妇中.