1、62.3垂直关系第1课时直线与平面的垂直学习目标 1了解直线与平面垂直的定义，两异面直线垂直的定义2.理解并掌握直线与平面垂直的判定定理，并会应用之判断直线与平面垂直. 3.掌握并会应用直线与平面垂直的性质，理解平行与垂直之间的关系 知识链接生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？预习导引1直线与平面垂直的概念如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l直线l叫作平面的垂线；平面叫作直线l的垂面2异面直线垂直的定义设a，b是异面直线，过a上任意一点A作cb，如果ac，就称a
2、b.3直线与平面垂直的判定定理(1)定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线就与这个平面垂直(2)图形表述：如图所示(3)符号语言：la，lb，a，b且abOl.4直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言作用线面垂直线线平行作平行线题型一直线和平面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是_若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直；若平面内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面不垂直答案解析当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，
3、所以不正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确根据线面垂直的定义，若l则l与的所有直线都垂直，所以正确规律方法1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直2由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab.跟踪演练1设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm答案B解析对于A，直线
4、lm，m并不代表平面内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l，则l垂直内任意一条直线，又lm，由异面直线所成角的定义知，m与平面内任意一条直线所成的角都是90，即m，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面题型二线面垂直的判定例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC1，AA12，B1A1C190，D为BB1的中点求证：AD平面A1DC1.证明AA1底面ABC，平面A1B1C1平面ABC，AA1平面A1B1C1，显然A1C1平面A1B1C1，A1C1AA1.又B1A1C190，A1C1A1B1，而A1B1AA1A1，A1C
5、1平面AA1B1B.AD平面AA1B1B，A1C1AD.由已知计算得AD，A1D，AA12.AD2A1D2AA，A1DAD.A1C1A1DA1，AD平面A1DC1.规律方法证线面垂直的方法有三类(1)线线垂直证明线面垂直：定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直(2)平行转化法(利用推论)：ab，ab；，aa.跟踪演练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面AB
6、CD的中心，求证：EF平面BB1O.证明四边形ABCD为正方形，ACBO.又BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，又BOBB1B，AC平面BB1O，又EF是ABC的中位线，EFAC，EF平面BB1O.题型三直线与平面垂直的性质及应用例3如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交求证：EFBD1.证明如图所示，连结AB1，B1D1，B1C，BD，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理可证BD1B1C，又ACB1CC，BD1平面AB1C.EFA1D，A
7、1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.规律方法证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行跟踪演练3如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.证明因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB，又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBA
8、BB，所以a平面EAB.因此，al.课堂达标1一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A平行 B垂直C相交不垂直 D不确定答案B解析由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直2.如图所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A平行B垂直相交C垂直但不相交D相交但不垂直答案C解析连结AC，因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，则BDMC.因为ACMCC，所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交3下列表
9、述正确的个数为()若直线a平面，直线ab，则b；若直线a平面，b，且ab，则a；若直线a平行于平面内的两条直线，则a；若直线a垂直于平面内的两条直线，则a.A0 B1 C2 D3答案A解析中b与还可能平行、斜交或b在平面内；中a与还可能平行或斜交；中a还可能在平面内；由直线与平面垂直的判定定理知错4如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边A BC D答案A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面，对于图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直5若a，b表示直线，表示平面，下列命题中正确的有_个a，bab；a，abb；a，abb；a，bab.答案2解析由线面垂直的性质定理知正确课堂小结1直线与平面垂直的判定方法：(1)利用定义；(2)利用判定定理，其关键是在面内找两条相交直线2对于线面垂直的性质定理的理解：(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.