1、,第一章 三角形的证明,1 等腰三角形,第一章 三角形的证明,1 等腰三角形,考场对接,题型一 运用全等三角形的性质与判定进行证明,例题1 吉安中考已知：如图1-1-12, 在四 边形ABCD中, ADBC, BC=DC, CF平分 BCD, DFAB, BF的延长线交DC于点E 求证：(1)BFCDFC； (2)AD=DE.,考场对接,证明 (1)CF平分BCD, BCF=DCF 在BFC和DFC中, BC=DC, BCF=DCF, FC=FC, BFCDFC,(2)如图1-1-12, 连接BD BFCDFC, BF=DF, FBD=FDB DFAB, ABD=FDB, ABD=FBD AD
2、BC, BDA=DBC BC=DC, DBC=BDC, BDA=BDC 又BD=BD, BADBED AD=DE.,锦囊妙计 证明两边相等的方法 一是证明两边所在的两个三角形全等； 二是证明一个三角形中的两角相等.,题型二 运用等腰三角形的性质证明线段相等,例题2 如图1-1-13, 在等腰直角三角形ABC中, ACB=90, 将一块等腰直角三角尺的直角顶 点放在斜边AB的中点P处, 三角尺的两直角边分 别交AC, BC于D, E两点. 线段PD与PE之间有什么 数量关系？并说明理由.,解 PD=PE 理由如下：连接CP. ABC是等腰直角三角形, P是AB的中点, CP=BP, CPAB,
3、ACP= ACB=45 又A=B=45, ACP=B. PDPE, CPAB, DPC+CPE=EPB+CPE=90, DPC=EPB, PCDPBE, PD=PE,锦囊妙计 证明线段相等的方法 (1)证明其所在的两个三角形全等； (2)若要证明的两条线段在同一个三角形中, 则可证明所在三角形中所对的两个角相等； (3)借助等腰三角形三线合一的性质. 有关等腰三角形问题常用的添加辅助线的方法：作底边上的高或底边上的中线或顶角的平分线.,题型三 运用等腰三角形的性质进行角度计算,例题3 在如 图 1 - 1 - 14 , ABCD, EFG的 顶点F, G分别落在直线AB, CD上, GE交AB
4、于 点H, HE=HF. 若E=25, FGC=62, 求FGH的度数.,解 HE=HF, E=25, EFH=E=25, FHG=E+EFH=50. ABCD, HFG=FGC=62, FGH=180-FHG-HFG =180-50-62 =68.,锦囊妙计 运用等腰三角形的性质求角度的关键 运用等腰三角形的性质进行角度计算时, 常应用三角形的内角和定理和外角、内角的关系, 通过等腰三角形的两底角相等联系在一起, 再列方程求解.,题型四 与等边三角形有关的计算、证明,例题4 如图1-1-15, ABC是等边三角形, D, E, F分别是线段AB, BC, AC上的点. (1)若AD=BE=C
5、F, 则DEF是等边三角形吗？ 试证明你的结论； (2)若DEF是等边三角形, 则AD=BE=CF成立 吗？试证明你的结论,解 (1)DEF是等边三角形. 证明如下： ABC是等边三角形, A=B=C, AB=BC=AC. 又AD=BE=CF, DB=EC=FA, ADFBEDCFE, DF=ED=FE, DEF是等边三角形.,(2)AD=BE=CF成立. 证明如下： 如图1-1-15, DEF是等边三角形, DF=ED=FE, FDE=DEF=EFD=60, 1+2=120. ABC是等边三角形, A=B=C=60, 2+3=120, 1=3, 同理3=4, ADFBEDCFE, AD=BE
6、=CF,锦囊妙计 等边三角形的判定方法 (1)定义法； (2)先证三角形是等腰三角形, 再证有一个角为60； (3)证三个角相等.,题型五 含30角的直角三角形性质的应用,例题5 综合实践课上, 小华所在小组要测量 护城河的宽度. 图1-1-16是护城河的一段, 两 岸ABCD, EFCD于点F. 他们先用测角仪 在河岸CD的M处测得=30, 然后沿河岸 走30 m到达点N, 测得=60. 你能根据这些 数据帮小华他们算出河宽EF吗？(结果保留根号),解 MEN=6030=30, =MEN, EN=MN=30 m. 在RtENF中, EFN=90, =60, NEF=30, NF= EN= 3
7、0=15(m),锦囊妙计 利用含30角的直角三角形的性质解题 利用“在直角三角形中, 如果一个锐角等于30, 那么它所对的直角边等于斜边的一半”解题的关键是设法寻找含有30角的直角三角形. 方法一般有两种：一是通过作垂线段构造；二是证明角的度数是90.,题型六 反证法的运用,例题6 求证：在一个三角形中, 至少有两个内角是锐角.,证明 (1)假设ABC中只有一个内角是锐角, 不妨设A90, B90, C90, 于是, A+B+C180, 这与三角形内角 和定理相矛盾； (2)假设ABC中没有内角是锐角, 即A90, B90,C90, 于是, A+B+C180, 这与三角形内角和 定理相矛盾 所
8、以假设不成立, 则原结论是正确的,锦囊妙计 用反证法证明命题的策略 (1)用反证法证明命题时, 原结论的反面一定要找准确、全面； (2)用反证法证明命题时, 一定要注意步骤：先进行合理的假设, 再推出矛盾, 最后得出结论； (3)用反证法证明与平面几何有关的命题时, 一般先根据命题写出已知、求证, 并画出相应的图形, 再证明.,题型七 与等腰三角形有关的分类讨论题,例题7 如果一个等腰三角形的一边长为4 cm, 另一边长为5 cm, 那么它的周长为( ). A14 cm B13 cm C14 cm或13 cm D无法计算,分析 分为两种情况：底边长为4 cm, 腰长为5 cm；底边长为 5 c
9、m, 腰长为4 cm. 具体的解答过程如下： 等腰三角形的两边长分别是4 cm和5 cm, 应分为两种情况： 当底边长为4 cm, 腰长为5 cm时，三角形的周长4+5+5=14(cm)； 当底边长为5 cm，腰长为4 cm时, 三角形的周长5+4+4=13(cm), 它的周长是14 cm或13 cm. 故选C,答案 C,例题8 已知等腰三角形的一个内角为40, 则这个等腰三角形顶角的度数为( ). A40 B100 C40或100 D50或70,答案 C,分析 如图1-1-17, 在ABC中, AB=AC.有两种情况： 顶角A=40(如图)； 底角是 4 0 ( 如图), AB=AC, B=
10、C=40. A+B+C=180, A=180-40-40=100. 综上可知, 这个等腰三角形顶角的度数为40或100. 故选C.,锦囊妙计 等腰三角形中常见的分类讨论问题 (1)当腰和底边不能确定时, 必须进行分类讨论. (2)当顶角和底角不能确定时, 必须进行分类讨论. (3)当高的位置不能确定时, 必须进行分类讨论. (4)由腰上的中线引起的分类讨论.,题型八 等腰三角形中的动点问题,例题9 如 图 1 -1 - 1 8 , 在 ABC 中 , AB= AC=2, B=40, 点D在线段BC上运动(点 D不与点B, C重合), 连接AD, 作ADE=40, DE交线段AC于点E (1)当
11、BDA=115时, BAD= _, 点D从 点B向点C运动时, BDA逐渐变 _(填“大”或“小”)；,(2)当DC等于多少时, ABDDCE？请说明ABDDCE的理由； (3)在点D的运动过程中, ADE的形状也在改变. 当BDA等于多少度时, ADE是等腰三角形？,解 (1)25 小 (2)当ABDDCE时, DC=AB. AB=2, DC=2, 当DC等于2时, ABDDCE. 理由如下： ABD=40, ADE=40, BAD+BDA=140, CDE+BDA=140,BAD=CDE. AB=AC, B=C. 在ABD和DCE中, B=C, AB=DC, BAD=CDE, ABDDCE
12、.,(3)AB=AC, C=B=40. 当AD=AE时, AED=ADE=40. AED是DCE的一个外角, AEDC=40, 此时不符合题意； 当DA=DE时, DAE=DEA= (180-40)=70, BDA=DAE+C=70+40=110； 当EA=ED时, DAE=ADE=40, BDA=DAE+C=40+40=80. 综上所述, 当BDA为110或80时, ADE是等腰三角形,锦囊妙计 解决等腰三角形动点问题的策略 第一步：化动为静, 以静制动, 确定特殊位置, 并画出满足条件的图形. 第二步：依据题中数量关系、等腰三角形的性质或判定定理, 构建相关点、线之间的特殊图形. 第三步：求解问题.,谢 谢 观 看！,