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2018-2019学年广西钦州市高二(下)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2018-2019学年广西钦州市高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共17小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个备选项中,有且只有一项是符合题目要求的.(温馨提示:请在答题卡上作答,在本试卷上作答无效)1(5分)已知集合Ax|x1|1,B0,1,2,则AB()A0B0,1C1D1,22(5分)已知(2i)z2i(i为虚单位),则复数在复平面上所对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3(5分)平面内平行于同一直线的两直线平行,由此类比可以得到()A空间中平行于同一直线的两直线平行B空间中平行于同一平面的两直线平行C空间中平行于同一直线的两平面平行D空间中平行于同

2、一平面的两平面平行4(5分)某技术学院安排5个班到3个工厂实习,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,则不同的安排方法共有()A60种B90种C150种D240种5从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛,4人中既有男生又有女生的不同选法共有()A80种B100种C120种D126种6(5分)设实数a、b、c满足a+b+c1,则a、b、c中至少有一个数不小于()A0BCD17(5分)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为()A0.75B0.6C0.52D0.488(5分)某校对甲、乙两

3、个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的22列联表根据列联表的数据判断有多少的把握认为“成绩与班级有关系”()优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110K2k0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828参考公式与临界值表:K2A90%B95%C99%D99.9%9(5分)已知x与y之间的一组数据,则y与x的线性回归方程x+必过点()x0123y1357A(2,2)B(1,2)C(1.5,4)D(1.5,0)10在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数

4、方程为(为参数),直线l的方程为x+y4,则曲线C上的点到直线l的距离的最小值是()ABC1D211(5分)若随机变量XN(3,2),且P(X5)0.2,则P(1X5)等于()A0.6B0.5C0.4D0.312已知离散型随机变量X的分布列为X0123p则X的数学期望E(X)为()AB1CD213(5分)在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为:2sin,曲线C2的极坐标方程为2cos,若曲线C1与C2交于A、B两点,则|AB|等于()A1BC2D214在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为:4sin,曲线C2的极坐标方程为4cos,若曲线C1与C2的关系为()A外离B相交C相切D内含15(5分)已

5、知a0,b0,直线ax+by1过点(1,3),则的最小值为()A4B3C2D116(5分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),若2f(x)f(x)0,且f(1)e,则不等式1的解集为()A(,1)B(,e)C(1,+)D(e,+)17已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),若f(x)+f(x)0,f(0)1,则不等式exf(x)1的解集为()A(,0)B(0,+)C(,1)D(1,+)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共20分.18(5分)若aR,(2i)(a+2i)R,则a 19(5分)将极坐标方程2cos4sin化为直角坐标方程得 20(5分)x(x+3)5的展开

6、式中含x3项的系数为 21(5分)关于x的不等式|x+1|x2|m恒成立,则m的取值范围为 22函数f(x)xlnx+x的单调递增区间是 三、解答题:本大题共6题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23(10分)(1)用分析法证明:;(2)用数学归纳法证明:14+27+n(3n+1)n(n+1)2,(nN*)24用分析法证明:25(12分)已知函数f(x)x(xc)2在x2处有极大值(1)求c的值;(2)求yf(x)在x4处的切线方程26已知函数f(x)x2+2lnx5x(1)求f(1);(2)求f(x)的极值点27(12分)某市交通管理有关部门对2018年参加驾照考试的21岁以

7、下的学员随机抽取10名学员,对他们的科目三(道路驾驶)和科目四(安全文明相关知识)进行两轮测试,并把两轮成绩的平均分作为该学员的抽测成绩,记录数据如下:学员编号12345678910科目三成绩92909291929089939291科目四成绩94888690908794898991(1)从2018年参加驾照考试的21岁以下学员中随机抽取一名学员,估计这名学员抽测成绩大于或等于90分的概率;(2)根据规定,科目三和科目四测试成绩均达到90分以上(含90分)才算合格,从抽测的1到5号学员中任意抽取两名学员,记X为抽取学员不合格的人数,求X的分布列和数学期望E(X)28(12分)在直角坐标系xOy中

8、,直线C1:x2,圆C2:(x1)2+(y2)21,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系()求C1,C2的极坐标方程;()若直线C3的极坐标方程为(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积29在直角坐标系xOy中,直线C1:x2,圆C2:(x1)2+(y2)21以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1的极坐标方程(2)若直线C3的极坐标方程为(R),设C2与C3的交点为M,N,求|MN|30(12分)设函数f(x)5|x+a|x2|(1)当a1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围31(12分)已知函数f(x)ax+lnx(1)

9、当a2时,求f(x)的单调区间;(2)若对于f(x)在定义域内的任意x,都有f(x)0,求a的取值范围2018-2019学年广西钦州市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共17小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个备选项中,有且只有一项是符合题目要求的.(温馨提示:请在答题卡上作答,在本试卷上作答无效)1(5分)已知集合Ax|x1|1,B0,1,2,则AB()A0B0,1C1D1,2【分析】可以求出集合A,然后进行交集的运算即可【解答】解:Ax|0x2,B0,1,2;AB1故选:C【点评】考查描述法、列举法表示集合的定义,绝对值不等式的解法,以及交集的运算2

10、(5分)已知(2i)z2i(i为虚单位),则复数在复平面上所对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出【解答】解:(2i)z2i(i为虚单位),(2+i)(2i)z2i(2+i),化为5z4i2,对应的点为,位于第二象限故选:B【点评】熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键3(5分)平面内平行于同一直线的两直线平行,由此类比可以得到()A空间中平行于同一直线的两直线平行B空间中平行于同一平面的两直线平行C空间中平行于同一直线的两平面平行D空间中平行于同一平面的两平面平行【分析】从平面到空间,从直线到平面进行类比【解答】解:从平面到空

11、间,从直线到平面进行类比,可得出以下结论:垂直于同一平面的两条直线平行;垂直于同一直线的两个平面平行;垂直于同一平面的两个平面平行或相交;垂直于同一直线的一个平面和一条直线平行或者线在面内;垂直于同一平面的一个平面和一条直线平行或线在面内;平行于同一平面的两平面平行故选:D【点评】本题考查类比推理,解答本题的关键是:(1)找出两类事物:从平面到空间,从直线到平面之间的相似性或一致性;(2)用平面内直线的性质去推测空间中平面的性质,得出一个明确的命题(猜想)4(5分)某技术学院安排5个班到3个工厂实习,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,则不同的安排方法共有()A60种B90种C150种D

12、240种【分析】根据题意,分2步分析:先将5个班分为3组,有2种分组方法,分为2、2、1的三组或3、1、1的三组,由组合数公式可得其分组方法数目,由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目,第二步,将分好的三组对应3个不同的工厂,由排列数公式可得其对应方法数目;由分步计数原理计算可得答案【解答】解:根据题意,分2步进行分析:、将5个班分为3组,若分为2、2、1的三组,有15种分组方法;若分为3、1、1的三组,有C5310种方法,则一共有15+1025种分组方法;、将分好的三组对应3个工厂,有A336种情况,则共有256150种不同的分配方案故选:C【点评】本题考查分类计数原理,考查平均分组,是一

13、个易错题,这种题目特别要注意做到不重不漏,首先要分组,再排列5从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛,4人中既有男生又有女生的不同选法共有()A80种B100种C120种D126种【分析】根据题意,先计算从9人中选出4人的选法数目,再排除其中“只有男生没有女生的选法”和“只有女生没有男生的选法”,即可得答案【解答】解:根据题意,从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛,有C94126种选法,其中只有男生没有女生的选法有C545种,只有女生没有男生的选法有C441种,则4人中既有男生又有女生的不同选法共有12651120种;故选:C【点评】本题考查排列、组合的实际应用,可以使用间

14、接法分析,避免分类讨论6(5分)设实数a、b、c满足a+b+c1,则a、b、c中至少有一个数不小于()A0BCD1【分析】根据题意,通过反证法,通过得出与已知a+b+c1矛盾,可得结论【解答】解:假设a、b、c都大于,则a+b+c1,这与已知a+b+c1矛盾假设a、b、c都小于,则a+b+c1,这与已知a+b+c1矛盾故a、b、c中至少有一个数不小于故选:B【点评】本题考查反证法的应用,涉及不等式的证明,属于中档题7(5分)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为()A0.75B0.6C0.52

15、D0.48【分析】由条件概率得:这种元件使用到1年时还未失效的前提下,这个元件使用寿命超过2年的概率为P0.75,得解【解答】解:由题意有:因为这种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,这种元件使用到1年时还未失效的前提下,这个元件使用寿命超过2年的概率为P0.75,故选:A【点评】本题考查了条件概率,属简单且易错题型8(5分)某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的22列联表根据列联表的数据判断有多少的把握认为“成绩与班级有关系”()优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计308

16、0110K2k0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828参考公式与临界值表:K2A90%B95%C99%D99.9%【分析】假设成绩与班级无关,根据列联表中的数据可得:K2,和临界值表比对后即可得到答案【解答】解:假设成绩与班级无关,则K27.5,则查表得相关的概率为99%,故由99%的把握认为“成绩与班级有关系”故选:C【点评】本题考查了列联表、独立性检验,独立性检验的应用的步骤为:根据已知条件将数据归结到一个表格内,列出列联表,再根据列联表中的数据,代入公式K2,计算出k值,然后代入离散系数表,比较即可得到答案9(5分)已知x与

17、y之间的一组数据,则y与x的线性回归方程x+必过点()x0123y1357A(2,2)B(1,2)C(1.5,4)D(1.5,0)【分析】先利用数据平均值的公式求出x,y的平均值,以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上【解答】解:回归方程必过点(,),4,回归方程过点(1.5,4)故选:C【点评】本题考查线性回归方程,考查线性回归直线一定过样本中心点,本题是一个基础题10在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的方程为x+y4,则曲线C上的点到直线l的距离的最小值是()ABC1D2【分析】运用点到直线的距离公式和辅助角公式,以及正弦函数的值域,可得所求最小值【解答】解:曲线

18、C的参数方程为(为参数),直线l的方程为x+y4,可得曲线C上的点(cos,sin)到直线l的距离d,当sin(+)1时,d取得最小值为,故选:B【点评】本题考查参数方程的运用,点到直线的距离公式的运用,考查辅助角公式和正弦函数的值域的运用,考查运算能力,属于基础题11(5分)若随机变量XN(3,2),且P(X5)0.2,则P(1X5)等于()A0.6B0.5C0.4D0.3【分析】由已知直接利用正态分布曲线的对称性求解【解答】解:随机变量XN(3,2),且P(X5)0.2,P(1X5)12P(X5)120.20.6故选:A【点评】本题考查了正态分布的对称性,用好正态分布的对称性时解决正态分布

19、概率问题的关键,是基础题12已知离散型随机变量X的分布列为X0123p则X的数学期望E(X)为()AB1CD2【分析】由离散型随机变量X的分布列能求出E(X)【解答】解:由离散型随机变量X的分布列得:E(X)1故选:B【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题13(5分)在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为:2sin,曲线C2的极坐标方程为2cos,若曲线C1与C2交于A、B两点,则|AB|等于()A1BC2D2【分析】联立两曲线的极坐标方程,求得,代入其中一极坐标方程求得值即可【解答】解:联立,解得tan,

20、则把代入2cos,得|AB|故选:B【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程,是基础的计算题14在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为:4sin,曲线C2的极坐标方程为4cos,若曲线C1与C2的关系为()A外离B相交C相切D内含【分析】化两圆的极坐标方程为直角坐标方程,求出圆心与半径,再由圆心距与半径的关系判断【解答】解:由4sin,得24sin,曲线C1的直角坐标方程为x2+y24y0,即x2+(y2)24,则曲线C1是以(0,2)为圆心,以2为半径的圆;由4cos,得,曲线C2的直角坐标方程为,即,则曲线C2是以(,0)为圆心,以2为半径的圆|C1C2|2+,曲线C1与C2的关系为相交故选:B

21、【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查两圆位置关系的判定,是中档题15(5分)已知a0,b0,直线ax+by1过点(1,3),则的最小值为()A4B3C2D1【分析】先得a+3b1,再与+相乘后用基本不等式可得【解答】解:依题意得a+3b1,a0,b0,+(a+3b)(+)1+1+2+24,当且仅当a2,b时取等故选:A【点评】本题考查了基本不等式及其应用,属基础题16(5分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),若2f(x)f(x)0,且f(1)e,则不等式1的解集为()A(,1)B(,e)C(1,+)D(e,+)【分析】设函数g(x),求导后结合已知可得函数g(x)为减函数,

22、再由1g(x)g(1)求解【解答】解:根据题意,设函数g(x),则g(x),又由f(x)2f(x),则有g(x)0,即函数g(x)为减函数,且g(1),1g(x)g(1),得x1不等式1的解集为(1,+)故选:C【点评】本题考查函数的导数与其单调性的关系,关键是依据题意构造函数g(x),是中档题17已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),若f(x)+f(x)0,f(0)1,则不等式exf(x)1的解集为()A(,0)B(0,+)C(,1)D(1,+)【分析】根据题意,令g(x)exf(x),对其求导可得g(x)exf(x)+f(x),结合函数的导数与单调性的关系分析可得函数g(x)在R

23、上为减函数,进而分析可得exf(x)1g(x)g(0),结合函数的单调性,分析可得答案【解答】解:根据题意,令g(x)exf(x),其导数g(x)exf(x)+exf(x)exf(x)+f(x),又由对于任意实数x有f(x)+f(x)0,则有g(x)exf(x)+f(x)0,即函数g(x)在R上为减函数,又由f(0)1,则g(0)e0f(0)1,则exf(x)1g(x)g(0),又由函数g(x)在R上为减函数,则有x0,即不等式exf(x)1的解集为(0,+);故选:B【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系,涉及函数单调性的应用,关键是构造函数g(x)exf(x),并利用导数分析其单调性二、

24、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共20分.18(5分)若aR,(2i)(a+2i)R,则a4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由虚部为0求得a值【解答】解:(2i)(a+2i)(2a+2)+(4a)iR,4a0,即a4故答案为:4【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题19(5分)将极坐标方程2cos4sin化为直角坐标方程得x2+y22x+4y0【分析】把2cos4sin两边同时乘以,结合2x2+y2,xcos,ysin可得曲线的直角坐标方程【解答】解:由2cos4sin,得22cos4sin,2x2+y2,xcos,ysin,x2+y22x+4y0故

25、答案为:x2+y22x+4y0【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程,是基础题20(5分)x(x+3)5的展开式中含x3项的系数为270【分析】把二项式展开,找出含x3项的系数,化简即可【解答】解:由题意知,x(x+3)5x(x5+),所以含x3项的系数为270故答案为:270【点评】本题考查二项式定理,属于一般基础题21(5分)关于x的不等式|x+1|x2|m恒成立,则m的取值范围为(,3【分析】令f(x)|x+1|x2|,依题意,只需求得f(x)min即可求得m的取值范围【解答】解:令f(x)|x+1|x2|1(2)|3,f(x)min3,对xR,不等式|x+1|2x|m,恒成立,mf(x)

26、min3,m的取值范围为(,3故答案为:(,3【点评】本题考查函数恒成立问题,求得f(x)min是关键,属于中档题22函数f(x)xlnx+x的单调递增区间是(e2,+)【分析】求得f(x)的导数,令导数大于0,由对数函数的单调性可得所求区间【解答】解:函数f(x)xlnx+x的导数为f(x)2+lnx,由f(x)0,即2+lnx0,可得xe2,可得f(x)的递增区间为(e2,+),故答案为:(e2,+)【点评】本题考查导数的运用:求单调区间,考查运算能力,属于基础题三、解答题:本大题共6题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23(10分)(1)用分析法证明:;(2)用数学归纳法

27、证明:14+27+n(3n+1)n(n+1)2,(nN*)【分析】(1)利用分析法,从结果开始寻找成立的条件,直到推出已知成立的结论为止;(2)利用数学归纳法来证明,当n1时,命题成立,再假设当nk时,14+27+310+k(3k+1)k(k+1)2成立,证明当nk+1时,命题也成立即可【解答】解:(1)证明:要证明成立,只需证明()2成立,即证明10+220成立,只需证明成立,即证明2125成立,因为2125显然成立,所以原不等式成立,即(2)证明:当n1时,3n+14,而等式左边起始为14的连续的正整数积的和,故n1时,等式左端144,右端4,成立;设当nk时,14+27+310+k(3k

28、+1)k(k+1)2成立,则当nk+1时,14+27+310+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)k(k+1)2+(k+1)(3k+4)(k+1)(k2+k+3k+4)(k+1)(k+1+1)2,即nk+1成立,综上所述,14+27+n(3n+1)n(n+1)2【点评】本题考查分析法和数学归纳法的运用,解题的关键是正确运用数学归纳法的正题步骤,属于中档题24用分析法证明:【分析】要证不等式成立,只要证10+220,即证5故只要证2125,而2125 显然成立,从而得到要证的不等式成立【解答】证明:要证,只要证10+220,即证5故只要证2125,而2125 显然成立,显然成立,故成立【点评】

29、本题主要考查用分析法证明不等式,把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件,直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止,利用了要证ab(b0),只要证a2b225(12分)已知函数f(x)x(xc)2在x2处有极大值(1)求c的值;(2)求yf(x)在x4处的切线方程【分析】(1)求得f(x)的导数,由题意可得f(2)0,解方程可得c,由极值的定义检验可得c的值;(2)求得f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得所求切线方程【解答】解:(1)函数f(x)x(xc)2的导数为f(x)3x24cx+c2,由题意可得f(2)0,可得128c+c20,解得c2或c6,当c2时,f(x)

30、3x28x+4(x2)(3x2),由x2或x,f(x)0,f(x)递增;由x2,f(x)0,f(x)递减,可得x2为极小值点;当c6时,f(x)3x224x+363(x2)(x6),由x6或x2,f(x)0,f(x)递增;由2x6,f(x)0,f(x)递减,可得x2为极大值点;综上可得c6;(2)函数f(x)x(x6)2的导数为f(x)3x224x+36,可得yf(x)在x4处的切线斜率为k4896+3612,切点为(4,16),可得切线方程为y1612(x4),即为12x+y640【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和单调性、极值,考查方程思想和运算能力,属于中档题26已知函数f(x)x2

31、+2lnx5x(1)求f(1);(2)求f(x)的极值点【分析】(1)利用函数的导函数f(x)可求得f(1);(2)利用函数导函数的单调性可得f(x)的极值点【解答】解:(1)函数f(x)x2+2lnx5x,函数的定义域为:(0,+)所以f(x)2x+5;所以f(1)1;(2)当x(0,),(2,+)时,f(x)0,函数f(x)在(0,),(2,+)上单调递增;当x(,2)时,f(x)0,函数f(x)在(,2)上单调递减;所以函数f(x)在x时有极大值,在x2有极小值,所以函数f(x)的极大值点为:x,极小值点为:x2,综上:f(x)的极大值点为:x,极小值点为:x2【点评】考查利用导数研究函

32、数的极值问题,属于基础题27(12分)某市交通管理有关部门对2018年参加驾照考试的21岁以下的学员随机抽取10名学员,对他们的科目三(道路驾驶)和科目四(安全文明相关知识)进行两轮测试,并把两轮成绩的平均分作为该学员的抽测成绩,记录数据如下:学员编号12345678910科目三成绩92909291929089939291科目四成绩94888690908794898991(1)从2018年参加驾照考试的21岁以下学员中随机抽取一名学员,估计这名学员抽测成绩大于或等于90分的概率;(2)根据规定,科目三和科目四测试成绩均达到90分以上(含90分)才算合格,从抽测的1到5号学员中任意抽取两名学员,

33、记X为抽取学员不合格的人数,求X的分布列和数学期望E(X)【分析】(1)学员抽测成绩大于或等于90分的有7个,由此能估计这名学员抽测成绩大于或等于90分的概率(2)1号至5号学员中有3个合格,2个不合格,从而X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和E(X)【解答】解:(1)学员抽测成绩大于或等于90分的有7个,从2018年参加驾照考试的21岁以下学员中随机抽取一名学员,估计这名学员抽测成绩大于或等于90分的概率p(2)1号至5号学员中有3个合格,2个不合格,X的可能取值为0,1,2,P(X0),P(X1),P(X2),X的分布列为: X 0 1 2 P E(X)【点

34、评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是中档题28(12分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x2,圆C2:(x1)2+(y2)21,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系()求C1,C2的极坐标方程;()若直线C3的极坐标方程为(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积【分析】()由条件根据xcos,ysin求得C1,C2的极坐标方程()把直线C3的极坐标方程代入23+40,求得1和2的值,结合圆的半径可得C2MC2N,从而求得C2MN的面积C2MC2N的值【解答】解:()由于xcos,ysi

35、n,C1:x2 的极坐标方程为 cos2,故C2:(x1)2+(y2)21的极坐标方程为:(cos1)2+(sin2)21,化简可得2(2cos+4sin)+40()把直线C3的极坐标方程(R)代入圆C2:(x1)2+(y2)21,可得2(2cos+4sin)+40,求得12,2,|MN|12|,由于圆C2的半径为1,C2MC2N,C2MN的面积为C2MC2N11【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程,点的极坐标的定义,属于基础题29在直角坐标系xOy中,直线C1:x2,圆C2:(x1)2+(y2)21以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1的极坐标方程(2)若直线C3的极

36、坐标方程为(R),设C2与C3的交点为M,N,求|MN|【分析】(1)直接由xcos可得曲线C1的极坐标方程;(2)写出直线C3的直角坐标方程,求出圆C2的圆心到直线的距离,再由垂径定理求|MN|【解答】解:(1)由直线C1:x2,可得C1的极坐标方程为cos2;(2)由直线C3的极坐标方程为(R),得直线C3的直角坐标方程为yx,圆C2:(x1)2+(y2)21的圆心坐标为(1,2),半径为1,则圆心到直线的距离d,|MN|【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查直线与圆位置关系的应用,是中档题30(12分)设函数f(x)5|x+a|x2|(1)当a1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若

37、f(x)1,求a的取值范围【分析】(1)去绝对值,化为分段函数,求出不等式的解集即可,(2)由题意可得|x+a|+|x2|4,根据据绝对值的几何意义即可求出【解答】解:(1)当a1时,f(x)5|x+1|x2|当x1时,f(x)2x+40,解得2x1,当1x2时,f(x)20恒成立,即1x2,当x2时,f(x)2x+60,解得2x3,综上所述不等式f(x)0的解集为2,3,(2)f(x)1,5|x+a|x2|1,|x+a|+|x2|4,|x+a|+|x2|x+a|+|2x|x+a+2x|a+2|,|a+2|4,解得a6或a2,故a的取值范围(,62,+)【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值

38、的几何意义,属于中档题31(12分)已知函数f(x)ax+lnx(1)当a2时,求f(x)的单调区间;(2)若对于f(x)在定义域内的任意x,都有f(x)0,求a的取值范围【分析】(1)把a2代入函数解析式,求导后利用导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性;(2)利用导数求出原函数的最大值,由最大值小于0求解a的取值范围【解答】解:(1)当a2时,f(x)2x+lnx,f(x)2+(x0),当x(0,)时,f(x)0,当x(,+)时,f(x)0f(x)在(0,)上单调递减,在(,+)上单调递增;(2)由f(x)ax+lnx,得f(x)a+(x0)若a0,则1ax0,即f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增;若a0,由f(x)0,得0x,由f(x)0,得xf(x)在(0,)上单调递增,在(,+)上单调递减,由1lna0,得lna1,即aa的取值范围是(,+)【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查数学转化思想方法,是中档题