1、1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直基础过关1.已知m，n表示两条不同直线，表示平面.下列说法正确的是()A.若m，n，则mnB.若m，n，则mnC.若m，mn，则nD.若m，mn，则n答案B解析方法一若m，n，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m，n，则mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m，mn，则n或n，C错；若m，mn，则n与可能相交，可能平行，也可能n，D错.方法二如图，在正方体ABCDABCD中，用平面ABCD表示.A项中，若m为AB，n为BC，满足m，n，但m与n是相交直线，故A错.B项中，m，n，满足mn，这是线面垂直的性质，故B正确.
2、C项中，若m为AA，n为AB，满足m，mn，但n，故C错.D项中，若m为AB，n为BC，满足m，mn，但n，故D错.2.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A.有且只有一个B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在答案B解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.3.如图所示，PO平面ABC，BOAC，在图中与AC垂直的线段有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案D解析PO平面ABC，AC平面ABC，POAC，又ACBO，POBOO，AC平面PBD，平面PBD中的4条线段PB，PD，PO，BD与AC垂直.4.如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是
3、边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图所示的几何体，使G1、G2、G3三点重合于点G，则下面结论成立的是()A.SG平面EFGB.SD平面EFGC.GF平面SEFD.GD平面SEF答案A解析在图中，SG1G1E，SG3G3F，因此在图中，SGGE，SGGF，又GEGFG，SG平面EFG.5.已知ABC所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是ABC的_.答案外心解析P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到ABC三顶点的距离都相等，所以是外心.6.如图所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，则图中直
4、角三角形的个数有_.答案4解析BC平面PACBCPC，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D.证明如图，连接AC，所以ACBD.又BDA1A，ACAA1A，AC，A1A平面A1AC，BD平面A1AC.A1C平面A1AC，BDA1C.同理可证BC1A1C.又BDBC1B，BD，BC1平面BC1D，A1C平面BC1D.能力提升8.已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面与直线m垂直，则直线n与平面的关系是()A.nB.n或nC.n或n与不平行D.n答案A解析l，且l与n异面，n，又m，nm，n.9.如图，三棱锥VAB
5、C中，VO平面ABC，OCD，VAVB，ADBD，则下列结论中不一定成立的是()A.ACBCB.VCVDC.ABVCD.SVCDABSABCVO答案B解析因为VAVB，ADBD，所以VDAB.因为VO平面ABC，AB平面ABC，所以VOAB.又VOVDV，VO平面VCD，VD平面VCD，所以AB平面VCD，又CD平面VCD，VC平面VCD，所以ABVC，ABCD.又ADBD，所以ACBC(线段垂直平分线的性质).因为VO平面ABC，所以VVABCSABCVO.因为AB平面VCD，所以VVABCVBVCDVAVCDSVCDBDSVCDADSVCD(BDAD)SVCDAB，所以SABCVOSVCD
6、AB，即SVCDABSABCVO.综上知，A，C，D正确.10.如图所示，在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，且PA1，若BC边上存在点Q，使得PQQD，则a的取值范围是_.答案2，)解析因为PA平面AC，QD平面AC，所以PAQD.又因为PQQD，PAPQP，所以QD平面PAQ，所以AQQD.当0a2时，由四边形ABCD是矩形且AB1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有AQD2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时AQ1DAQ2D90，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQQD.11.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1
7、D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F.解连接A1B，CD1，则A1BAB1，A1D1AB1，又A1D1A1BA1，AB1面A1BCD1，又D1E面A1BCD1，AB1D1E.于是D1E平面AB1FD1EAF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影.D1EAFDEAF.ABCD是正方形，E是BC的中点，当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.创新突破12.如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足.(1)求证：AN平面PBM.(2)若AQPB，垂足为Q，
8、求证NQPB.证明(1)AB为O的直径，AMBM.又PA平面ABM，PABM.又PAAMA，BM平面PAM.又AN平面PAM，BMAN.又ANPM，且BMPMM，AN平面PBM.(2)由(1)知AN平面PBM，PB平面PBM，ANPB.又AQPB，ANAQA，PB平面ANQ.又NQ平面ANQ，PBNQ.13.如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD. (1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.(1)证明取AC中点O，连接OD，OB，因为ADCD，所以ACOD，又由于ABC是正三角形，所以ACOB，且OBODO，从而AC平面OBD，BD平面OBD，故ACBD.(2)解连接EO，由(1)及题设知ADC90，所以DOAO，在RtAOB中，BO2AO2AB2，又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90，由题设知，AEC为直角三角形，所以EOAC，又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD，故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.