1、2019-2020学年江西省赣州市宁都县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是ABCD2用配方法解方程时，应将其变形为ABCD3如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是ABCD4已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的方程的两实数根分别是A1和B1和C1和2D1和35如图，以原点为圆心的圆交轴于点、两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内上的一点，若，则的度数是ABCD6如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移），与轴交于、两点在的左侧），点
2、的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为AB1C5D8二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7已知是二次函数，则 8已知是关于的方程的一个根，则 9菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为 10宁都县某脐橙园2016年产量为1000吨，2018年产量为1440吨，求该脐橙园脐橙产量的年平均增长率，设该脐橙园脐橙产量的年平均增长量为，则根据题意可列方程为11已知抛物线经过点，则（填“”，“ ”，或“” 12等腰三角形三边长分别为、2，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13（1）计算（2）解方程：14已知关于的方程，求证：不论
3、取任何实数，该方程都有实数根15如图，含有的直角三角板，将绕着点逆时针旋转，得到，使得点落在边上的点处，过点的直线，求的度数16校运会期间，小捷同学积极参与各项活动在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图示是其主视图），经测量，其中坑宽为，小坑的最大深度为，请帮助小捷同学计算铅球的半径的长为多少？17为的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图1，；（2）如图2，直线与相切于点，且四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18如图，是的直径，是弦，于点，点在直径的延长线上，（1）求证：是
4、的切线；（2）若，求的长19如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米？20如图是内接三角形，点是优弧上一点（点与、不重合）设，（1）当时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21（9分）如图，与轴交于、两点，与轴切于点，且，的长是方程的解（1）求点的坐标（2）若是上一个动点（不包括、两点），求的度数22（9分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销
5、考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量（本与每本纪念册的售价（元之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本（1）请直接写出与的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？六、（本大题共12分）23已知，抛物线与直线有一个公共点，且（1）求与的关系式和抛物线的顶点坐标（用的代数式表示）；（2）直线与抛物线
6、的另外一个交点记为，求的面积与的关系式；（3）时，直线与抛物线在第二象限交于点，点、关于原点对称，现将线段沿轴向上平移个单位，若线段与抛物线有两个不同的公共点，试求的取值范围2019-2020学年江西省赣州市宁都县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是ABCD【解答】解：、不是中心对称图形；、是中心对称图形；、不是中心对称图形；、不是中心对称图形故选：2用配方法解方程时，应将其变形为ABCD【解答】解：，故选：3如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是AB
7、CD【解答】解：抛物线向下平移1个单位，抛物线的解析式为，即故选：4已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的方程的两实数根分别是A1和B1和C1和2D1和3【解答】解：，即二次函数图象的对称轴是直线，设二次函数的图象与轴的另一个交点的横坐标是，二次函数的图象与轴的一个交点为，解得：，关于的方程的两实数根分别是1和，故选：5如图，以原点为圆心的圆交轴于点、两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内上的一点，若，则的度数是ABCD【解答】解：连接，故选：6如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移），与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为AB
8、1C5D8【解答】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则；当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，；由于此时点横坐标最大，故点的横坐标最大值为8；故选：二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7已知是二次函数，则【解答】解：依题意得：且，解得故答案是：8已知是关于的方程的一个根，则6【解答】解：是关于的方程的一个根，故答案为：69菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为24【解答】解：或所以菱形的面积为：菱形的面积为：24故答案为：2410宁都县某脐橙园2016年产量为1000吨，2018年产量为1440吨，求该脐橙园脐橙产量的年平均增长率，设
9、该脐橙园脐橙产量的年平均增长量为，则根据题意可列方程为【解答】解：该脐橙园脐橙产量的年平均增长量为，根据题意得：故答案为：11已知抛物线经过点，则（填“”，“ ”，或“” 【解答】解：抛物线，为常数）的对称轴为直线，所以点，到直线的距离分别为5和2，所以故答案为：12等腰三角形三边长分别为、2，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为10【解答】解：当或时，把代入得，解得，此时方程的根为2和4，而，故舍去；当时，解得，所以为10故答案为10三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13（1）计算（2）解方程：【解答】解：（1）原式；（2），则或，解得或14已知关于的方程，求证：不论取任何实数
10、，该方程都有实数根【解答】证明：当时，方程为 解得 方程有实数根；当 时，方程有两个实数根，综上所述，方程总有实数根15如图，含有的直角三角板，将绕着点逆时针旋转，得到，使得点落在边上的点处，过点的直线，求的度数【解答】解：中，绕着点逆时针旋转，得到，是等边三角形，16校运会期间，小捷同学积极参与各项活动在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图示是其主视图），经测量，其中坑宽为，小坑的最大深度为，请帮助小捷同学计算铅球的半径的长为多少？【解答】解：作于，如图所示：，小坑的最大深度为，设，则在中，即，解得；即铅球的半径的长为17为的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图
11、2中画出一条弦，使这条弦将分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图1，；（2）如图2，直线与相切于点，且【解答】解：（1）如图1，直径为所求；（2）如图2，弦为所求四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18如图，是的直径，是弦，于点，点在直径的延长线上，（1）求证：是的切线；（2）若，求的长【解答】（1）证明：连接，又是的半径是的切线（2）解：是的直径，在中，设，则解得（舍负值）在中，19如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到
12、绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米？【解答】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系设抛物线的函数关系式为：将、代入得：，解得：抛物线的表达式为：；抛物线的顶点坐标为，绳子的最低点距地面的距离为20如图是内接三角形，点是优弧上一点（点与、不重合）设，（1）当时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明【解答】解：（1）连接，；（2），五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21（9分）如图，与轴交于、两点，与轴切于点，且，的长是方程的解（1）求点的坐标（2）若是上一个动点（不包括、两点），求的度数【解答】解：（1）过点作轴于点，连接，的长是方程的解，解得
13、或，由垂径定理可知：，与轴切于点，是的半径，由勾股定理可知：，的坐标为；（2）连接、当点在轴上方时，由（1）可知：，由垂径定理可知：，由圆周角定理可知：，当点在轴下方时，由圆内接四边形的性质可知：此时22（9分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量（本与每本纪念册的售价（元之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本（1）请直接写出与的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该
14、文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设，把与代入得：，解得：，则；（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是元，根据题意得：，则，整理得：，解得：，（不合题意舍去），答：每本纪念册的销售单价是25元；（3）由题意可得：，此时当时，最大，又售价不低于20元且不高于28元，时，随的增大而增大，即当时，（元，答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元六、（本大题共12分）23已知，抛物线与直线有一个公共点，且
15、（1）求与的关系式和抛物线的顶点坐标（用的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为，求的面积与的关系式；（3）时，直线与抛物线在第二象限交于点，点、关于原点对称，现将线段沿轴向上平移个单位，若线段与抛物线有两个不同的公共点，试求的取值范围【解答】解：（1）抛物线有一个公共点，即，抛物线顶点的坐标为，；（2）直线经过点，解得，则，得，解得或，点坐标为，即，如图1，设抛物线对称轴交直线于点，抛物线对称轴为，设的面积为，（3）当时，抛物线的解析式为：，有，解得：，点、关于原点对称，设直线平移后的解析式为：，当点平移后落在抛物线上时，坐标为，把代入，当线段与抛物线有两个不同的公共点，的取值范围是