1、第9讲 曲线与方程基础达标1方程(xy)2(xy1)20表示的曲线是()A一条直线和一条双曲线B两条双曲线C两个点D以上答案都不对解析：选C.(xy)2(xy1)20故或2到点F(0，4)的距离比到直线y5的距离小1的动点M的轨迹方程为()Ay16x2By16x2Cx216yDx216y解析：选C.由条件知：动点M到F(0，4)的距离与到直线y4的距离相等，所以点M的轨迹是以F(0，4)为焦点，直线y4为准线的抛物线，其标准方程为x216y.3(2019嘉兴模拟)已知点A(1，0)，直线l：y2x4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程为()Ay2xBy2xCy2x8Dy2x4解析：选B
2、.设P(x，y)，R(x1，y1)，由知，点A是线段RP的中点，所以即因为点R(x1，y1)在直线y2x4上，所以y12x14，所以y2(2x)4，即y2x.4(2019绍兴一中高三期中)到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为()A相交直线B双曲线C抛物线D椭圆弧解析：选C.如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OBa，P(x，y，z)到直线OA，BC的距离相等，所以x2z2(xa)2y2，所以2axy2z2a20，若被平面xOy所截，则z0，y22axa2；若被平面xOz所截，则y0，z22axa2，故选C.5
3、设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()Ay22xB(x1)2y24Cy22xD(x1)2y22解析：选D.如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)连接MA，PM，则MAPA，且|MA|1，又因为|PA|1，所以|PM|，即|PM|22，所以(x1)2y22.6若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(5，0)，B(5，0)，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”以下曲线不是“好曲线”的是()Axy5Bx2y29C1Dx216y解析：选B.因为M到平面内两点A(5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(5，0)，B(5，
4、0)为焦点的双曲线，方程为1.A项，直线xy5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2y29的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入1，可得y1，即y29y90，所以0，满足题意，为“好曲线”7在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足t()，其中tR，则点C的轨迹方程是_解析：设C(x，y)，则(x，y)，t()(1t，2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y2x2.答案：y2x28已知M(2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程
5、是_解析：设P(x，y)，因为MPN为直角三角形，所以|MP|2|NP|2|MN|2，所以(x2)2y2(x2)2y216，整理得，x2y24.因为M，N，P不共线，所以x2，所以轨迹方程为x2y24(x2)答案：x2y24(x2)9已知点P是圆C：(x2)2y24上的动点，定点F(2，0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q(x，y)的轨迹方程是_解析：依题意有|QP|QF|，则|QC|QF|CP|2，又|CF|42，故点Q的轨迹是以C、F为焦点的双曲线，a1，c2，得b23，所求轨迹方程为x21.答案：x2110(2019杭州高级中学模拟)已知P是椭圆1(ab0)上的任意一点
6、，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_解析：，如图，22，设Q(x，y)，则(x，y)，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有1，即1.答案：111设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程解：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，因为，(x0，y0)，(1，y0)，所以(x0，y0)(1，y0)0，所以x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，所以即所以x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.12已知P为圆A：(x1)2y28上的动点，点B(1，0)线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的
7、轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)当点P在第一象限，且cosBAP时，求点M的坐标解：(1)圆A的圆心为A(1，0)，半径等于2.由已知|MB|MP|，于是|MA|MB|MA|MP|22|AB|，故曲线是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，即a，c1，b1，所以曲线的方程为y21.(2)由cosBAP，|AP|2，得P.于是直线AP的方程为y(x1)由整理得5x22x70，解得x11，x2.由于点M在线段AP上，所以点M坐标为.能力提升1已知log2x，log2y，2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()解析：选A.由2log2y2log2x得log2y2log2(4x)
8、，故点M(x，y)的轨迹方程为y24x(x0，y0)，即y2(x0)，故选A.2在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程为()Ax23y24Bx23y24Cx23y24(x1)Dx23y24(x1)解析：选D.由点B与点A(1，1)关于原点对称，得点B的坐标为(1，1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得kAPkBP(x1)，化简得x23y24，且x1.故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)3已知点A，B分别是射线l1：yx(x0)，l2：yx(x0)上的动点，O为坐标原点，且OAB的面积为定值2，则线段AB中点
9、M的轨迹方程为_解析：由题意可设A(x1，x1)，B(x2，x2)，M(x，y)，其中x10，x20，则因为OAB的面积为定值2，所以SOABOAOB(x1)(x2)x1x22.22得x2y2x1x2，而x1x22，所以x2y22.由于x10，x20，所以x0，即所求点M的轨迹方程为x2y22(x0)答案：x2y22(x0)4曲线C是平面内与两个定点F1(1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_解析：因为原点O到两个定点F1(1，0)，
10、F2(1，0)的距离的积是1，而a21，所以曲线C不过原点，即错误；因为F1(1，0)，F2(1，0)关于原点对称，设M是曲线C上任意一点，所以|MF1|MF2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|a2，即F1PF2的面积不大于a2，所以正确答案：5已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C，过点N(2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程解：(1)由题意，得5，即5，化简，得x2y22x2y
11、230，所以点M的轨迹方程是(x1)2(y1)225.轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆(2)当直线l的斜率不存在时，l：x2，此时所截得的线段长度为28，所以l：x2符合题意当直线l的斜率存在时，设l的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，圆心(1，1)到直线l的距离d，由题意，得4252，解得k.所以直线l的方程为xy0，即5x12y460.综上，直线l的方程为x2或5x12y460.6(2019温州市普通高中模考)如图，P为圆M：(x)2y224上的动点，定点Q(，0)，线段PQ的垂直平分线交线段MP于点N.(1)求动点N的轨迹方程；(2)记动点N的轨迹为曲线C，设圆O：x2y2
12、2的切线l交曲线C于A，B两点，求|OA|OB|的最大值解：(1)连接QN，因为|NM|NQ|NM|NP|MP|22|MQ|，所以动点N的轨迹为椭圆，所以a，c，所以b23.所以动点N的轨迹方程为1.(2)当切线l垂直坐标轴时，|OA|OB|4.当切线l不垂直坐标轴时，设切线l的方程为ykxm(k0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线和圆相切，得m222k2.由得(2k21)x24kmx2m260，所以x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(k21)x1x2km(x1x2)m2(k21)kmm20，所以AOB90，所以|OA|OB|AB|，又因为|AB|x1x2|，令tk2，则|AB|223，当且仅当k时，等号成立，所以|OA|OB|3，综上，|OA|OB|的最大值为3.9