1、8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系,第八章 立体几何与空间向量,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.四个公理,知识梳理,ZHISHISHULI,公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过 的三点，有且只有一个平面
2、. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点 的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .,两点,不在一条直线上,有且只有一条,平行,2.直线与直线的位置关系,共面直线,异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点,平行,相交,任何,直线,直线,(1)位置关系的分类,(2)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).,锐角(或直角),3.直线与平面的位置关系有 、 、_ 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 、 两种情况.,直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面,平行,平行
3、,相交,5.等角定理,空间中如果两个角的 ，那么这两个角相等或互补.,两边分别对应平行,范围： .,1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？,提示 不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交.,【概念方法微思考】,2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？,提示 不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.( ) (2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点
4、的任意一条直线. ( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( ) (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,(5)没有公共点的两条直线是异面直线.( ) (6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线. ( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为 A.30 B.45 C.60 D.90,1,2,3,4,5,解析 连接B1D1，D1C，则B1D1EF， 故D1B1C即为所求的
5、角.又B1D1B1CD1C， B1D1C为等边三角形，D1B1C60.,6,1,2,3,4,5,3.如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；,ACBD,解析 四边形EFGH为菱形， EFEH，ACBD.,解析 四边形EFGH为正方形，EFEH且EFEH，,ACBD且ACBD.,(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形.,ACBD且ACBD,6,4.是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是 A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行,1,2,
6、3,4,5,题组三 易错自纠,解析 依题意，mA，n， m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.,6,1,2,3,4,5,5.如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过 A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M,解析 AB，MAB，M. 又l，Ml，M. 根据公理3可知，M在与的交线上. 同理可知，点C也在与的交线上.,6,1,2,3,4,5,6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为_.,解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化， 则AB，CD，EF和G
7、H在原正方体中， 显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线， 而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行. 故互为异面的直线有且只有3对.,3,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 平面基本性质的应用,例1 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证： (1)E，C，D1，F四点共面；,师生共研,证明 如图，连接EF，CD1，A1B. E，F分别是AB，AA1的中点， EFBA1. 又A1BD1C，EFCD1， E，C，D1，F四点共面.,(2)CE，D1F，DA三线共点.,证明 EFCD1，EFCD1， CE与D1F必相
8、交， 设交点为P，如图所示. 则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直线DA，CE，D1F，DA三线共点.,共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；证两平面重合. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.,跟踪训练1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且
9、BGGCDHHC12.,(1)求证：E，F，G，H四点共面；,证明 E，F分别为AB，AD的中点， EFBD.,GHBD，EFGH. E，F，G，H四点共面.,(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.,证明 EGFHP，PEG，EG平面ABC， P平面ABC.同理P平面ADC. P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC平面ADCAC， PAC，P，A，C三点共线.,题型二 判断空间两直线的位置关系,例2 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是 A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多
10、与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交,师生共研,解析 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交.故选D.,(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是 A.相交但不垂直 B.相交且垂直 C.异面 D.平行,解析 连接D1E并延长，与AD交于点M， 由A1E2ED，可得M为AD的中点， 连接BF并延长，交AD于点N， 因为CF2FA，可得N为AD的中点， 所以M，N重合，所以EF和BD1共面，,所以EFBD1.,空间中两直线位置关系的判定，主要是
11、异面、平行和垂直的判定.异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.,跟踪训练2 (1)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 若直线a和直线b相交，则平面和平面相交； 若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.,(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论： 直线AM与
12、CC1是相交直线； 直线AM与BN是平行直线； 直线BN与MB1是异面直线； 直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为_.(注：把你认为正确的结论序号都填上),解析 因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故错； 取DD1中点E，连接AE，则BNAE，但AE与AM相交，故错； 因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故正确； 同理正确，故填.,题型三 求两条异面直线所成的角,师生共研,例3 (2018青岛模拟)如图，在底面为正方形，
13、侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为,解析 连接BC1，易证BC1AD1， 则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角. 连接A1C1，由AB1，AA12，,AB1，AA1t.,用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角.,解析 如图，因为ABCD， 所以AE与CD所成角为EAB.,直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题.,核心素养之
14、直观想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,立体几何中的线面位置关系,(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；,证明 由已知FGGA，FHHD，,GHBC且GHBC， 四边形BCHG为平行四边形.,(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？,BEFG且BEFG， 四边形BEFG为平行四边形，EFBG. 由(1)知BGCH. EFCH，EF与CH共面. 又DFH，C，D，F，E四点共面.,素养提升 平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异.,3,课时作业,PART THREE,1.四条线段
15、顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为 A.4 B.3 C.2 D.1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,基础保分练,解析 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面.,2.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是 A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C.若ab，则a，b与c所成的角相等 D.若ab，bc，则ac,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面
16、； 若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面； 若ab，bc，则a，c相交、平行或异面； 由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.,3.如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是 A.直线AC B.直线AB C.直线CD D.直线BC,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意知，Dl，l，所以D， 又因为DAB，所以D平面ABC， 所以点D在平面ABC与平面的交线上. 又因为C平面ABC，C， 所以点C在平面与平面ABC的交线上， 所以平面ABC平面CD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
17、11,12,13,14,15,16,4.如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是 A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1不共面 C.A，M，C，O不共面 D.B，B1，O，M共面,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 连接A1C1，AC，则A1C1AC， A1，C1，A，C四点共面， A1C平面ACC1A1， MA1C，M平面ACC1A1， 又M平面AB1D1， M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上. A，
18、M，O三点共线.,5.(2017全国)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一 将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD. 由题意知ABC120，AB2，BCCC11，,在ABD中，由余弦定理知BD2AB2AD22ABADcosDAB2212221cos 603，,又AB1与AD1所成的角即为A
19、B1与BC1所成的角，,图,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示.,图,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有_条.,解析 如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条.,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.
20、(2018东北三省三校模拟)若直线l平面，平面平面，则直线l与平面的位置关系为_.,l或l,解析 直线l平面，平面平面， 直线l平面，或者直线l平面.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.在三棱锥SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是_.,平行,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN.,G1G2MN， 易知MN是ABC的中位线，MNBC， G1G2BC.,1,2,3,4,5,6,7,8,
21、9,10,11,12,13,14,15,16,9.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点， 所以ADBC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点， 所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1DAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1
22、5,16,10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直.,以上四个命题中，正确命题的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合. 易知GH与EF异面，BD与MN异面. 连接GM，GMH为等边三角形， GH与MN成60角， 易证DEAF，又MNAF，MNDE. 因此正确命题的序号是.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1
23、6,11.如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.,(1)求证：直线EF与BD是异面直线；,证明 假设EF与BD不是异面直线， 则EF与BD共面，从而DF与BE共面， 即AD与BC共面， 所以A，B，C，D在同一平面内， 这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾. 故直线EF与BD是异面直线.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角.,解 取CD的中点G，连接EG，FG，则ACFG，EGBD， 所以相交直线EF与EG所成的角， 即为异面直线EF与BD所成的角. 又因为ACBD，则FG
24、EG. 在RtEGF中，由EGFG AC，求得FEG45， 即异面直线EF与BD所成的角为45.,(1)三棱锥PABC的体积；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC， 所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角,13.平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面
25、ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1，,平面CB1D1，则m1m， 又平面ABCD平面A1B1C1D1， 平面CB1D1平面A1B1C1D1 B1D1，B1D1m1， B1D1m，同理可得CD1n. 故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小. 又B1CB1D1CD1(均为面对角线)，,14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下
26、结论：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD. 以上四个命题中，正确命题的序号是_.,解析 如图，ABEF，正确； 显然ABCM，所以不正确； EF与MN是异面直线，所以正确； MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC4，ACB90，F，G分别是
27、线段AE，BC的中点，则AD与 GF所成的角的余弦值为_.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 取DE的中点H，连接HF，GH.,GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2.,(1)当点M在何位置时，BM平面AEF?,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,
28、16,解 方法一 如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OMAC于点M.,因为ECAC，OM，EC平面ACC1A1， 所以OMEC. 又因为EC2FB2，ECFB，,所以四边形OMBF为矩形，BMOF. 因为OF平面AEF，BM平面AEF， 故BM平面AEF，此时点M为AC的中点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.,因为EC2FB2， 所以PEBF且PEBF， 所以PBEF，PQAE， 又AE，EF平面AEF，PQ，PB平面AEF， 所以PQ平面AFE，PB平面AEF， 因为PBPQP，PB，PQ 平面PBQ， 所以平面PBQ平面AEF. 又因为BQ平面PBQ， 所以BQ平面AEF. 故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若BM平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 由(1)知，BM与EF异面，OFE(或MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角.,