鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.2空间点直线平面之间的位置关系课件

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1、8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系,第八章 立体几何与空间向量,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.四个公理,知识梳理,ZHISHISHULI,公理1:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理2:过 的三点,有且只有一个平面

2、. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 过该点 的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 .,两点,不在一条直线上,有且只有一条,平行,2.直线与直线的位置关系,共面直线,异面直线:不同在 一个平面内,没有公共点,平行,相交,任何,直线,直线,(1)位置关系的分类,(2)异面直线所成的角 定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).,锐角(或直角),3.直线与平面的位置关系有 、 、_ 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 、 两种情况.,直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面,平行,平行

3、,相交,5.等角定理,空间中如果两个角的 ,那么这两个角相等或互补.,两边分别对应平行,范围: .,1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗?,提示 不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交.,【概念方法微思考】,2.空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角一定相等吗?,提示 不一定.如果这两个角开口方向一致,则它们相等,若反向则互补.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作a.( ) (2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于过A点

4、的任意一条直线. ( ) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( ) (4)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,(5)没有公共点的两条直线是异面直线.( ) (6)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线. ( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,2.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成角的大小为 A.30 B.45 C.60 D.90,1,2,3,4,5,解析 连接B1D1,D1C,则B1D1EF, 故D1B1C即为所求的

5、角.又B1D1B1CD1C, B1D1C为等边三角形,D1B1C60.,6,1,2,3,4,5,3.如图,在三棱锥ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 (1)当AC,BD满足条件_时,四边形EFGH为菱形;,ACBD,解析 四边形EFGH为菱形, EFEH,ACBD.,解析 四边形EFGH为正方形,EFEH且EFEH,,ACBD且ACBD.,(2)当AC,BD满足条件_时,四边形EFGH为正方形.,ACBD且ACBD,6,4.是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m,n,且Am,A,则m,n的位置关系不可能是 A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行,1,2,

6、3,4,5,题组三 易错自纠,解析 依题意,mA,n, m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例),一定不平行.,6,1,2,3,4,5,5.如图,l,A,B,C,且Cl,直线ABlM,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过 A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M,解析 AB,MAB,M. 又l,Ml,M. 根据公理3可知,M在与的交线上. 同理可知,点C也在与的交线上.,6,1,2,3,4,5,6.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面的对数为_.,解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化, 则AB,CD,EF和G

7、H在原正方体中, 显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线, 而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行. 故互为异面的直线有且只有3对.,3,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 平面基本性质的应用,例1 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证: (1)E,C,D1,F四点共面;,师生共研,证明 如图,连接EF,CD1,A1B. E,F分别是AB,AA1的中点, EFBA1. 又A1BD1C,EFCD1, E,C,D1,F四点共面.,(2)CE,D1F,DA三线共点.,证明 EFCD1,EFCD1, CE与D1F必相

8、交, 设交点为P,如图所示. 则由PCE,CE平面ABCD,得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA, P直线DA,CE,D1F,DA三线共点.,共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法:先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;证两平面重合. (2)证明共线的方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.,跟踪训练1 如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且

9、BGGCDHHC12.,(1)求证:E,F,G,H四点共面;,证明 E,F分别为AB,AD的中点, EFBD.,GHBD,EFGH. E,F,G,H四点共面.,(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.,证明 EGFHP,PEG,EG平面ABC, P平面ABC.同理P平面ADC. P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC平面ADCAC, PAC,P,A,C三点共线.,题型二 判断空间两直线的位置关系,例2 (1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是 A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多

10、与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交,师生共研,解析 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.故选D.,(2)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E2ED,CF2FA,则EF与BD1的位置关系是 A.相交但不垂直 B.相交且垂直 C.异面 D.平行,解析 连接D1E并延长,与AD交于点M, 由A1E2ED,可得M为AD的中点, 连接BF并延长,交AD于点N, 因为CF2FA,可得N为AD的中点, 所以M,N重合,所以EF和BD1共面,,所以EFBD1.,空间中两直线位置关系的判定,主要是

11、异面、平行和垂直的判定.异面直线可采用直接法或反证法;平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4线面平行与面面平行的性质定理;垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.,跟踪训练2 (1)已知直线a,b分别在两个不同的平面,内,则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 若直线a和直线b相交,则平面和平面相交; 若平面和平面相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交,故选A.,(2)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论: 直线AM与

12、CC1是相交直线; 直线AM与BN是平行直线; 直线BN与MB1是异面直线; 直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为_.(注:把你认为正确的结论序号都填上),解析 因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故错; 取DD1中点E,连接AE,则BNAE,但AE与AM相交,故错; 因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故正确; 同理正确,故填.,题型三 求两条异面直线所成的角,师生共研,例3 (2018青岛模拟)如图,在底面为正方形,

13、侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为,解析 连接BC1,易证BC1AD1, 则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角. 连接A1C1,由AB1,AA12,,AB1,AA1t.,用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角; (2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角; (3)三求:解三角形,求出所作的角.,解析 如图,因为ABCD, 所以AE与CD所成角为EAB.,直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题.,核心素养之

14、直观想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,立体几何中的线面位置关系,(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;,证明 由已知FGGA,FHHD,,GHBC且GHBC, 四边形BCHG为平行四边形.,(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?,BEFG且BEFG, 四边形BEFG为平行四边形,EFBG. 由(1)知BGCH. EFCH,EF与CH共面. 又DFH,C,D,F,E四点共面.,素养提升 平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同,借助确定的几何模型,利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异.,3,课时作业,PART THREE,1.四条线段

15、顺次首尾相连,它们最多可确定的平面个数为 A.4 B.3 C.2 D.1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,基础保分练,解析 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面.,2.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是 A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面 B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交 C.若ab,则a,b与c所成的角相等 D.若ab,bc,则ac,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面

16、; 若a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面; 若ab,bc,则a,c相交、平行或异面; 由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.,3.如图所示,平面平面l,A,B,ABlD,C,Cl,则平面ABC与平面的交线是 A.直线AC B.直线AB C.直线CD D.直线BC,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意知,Dl,l,所以D, 又因为DAB,所以D平面ABC, 所以点D在平面ABC与平面的交线上. 又因为C平面ABC,C, 所以点C在平面与平面ABC的交线上, 所以平面ABC平面CD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

17、11,12,13,14,15,16,4.如图所示,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确是 A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1不共面 C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 连接A1C1,AC,则A1C1AC, A1,C1,A,C四点共面, A1C平面ACC1A1, MA1C,M平面ACC1A1, 又M平面AB1D1, M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上, 同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上. A,

18、M,O三点共线.,5.(2017全国)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC120,AB2,BCCC11,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一 将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1,如图所示,连接AD1,B1D1,BD. 由题意知ABC120,AB2,BCCC11,,在ABD中,由余弦定理知BD2AB2AD22ABADcosDAB2212221cos 603,,又AB1与AD1所成的角即为A

19、B1与BC1所成的角,,图,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 以B1为坐标原点,B1C1所在的直线为x轴,垂直于B1C1的直线为y轴,BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示.,图,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.正方体AC1中,与面ABCD的对角线AC异面的棱有_条.,解析 如图,在正方体AC1中,与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1,DD1,A1B1,A1D1,D1C1,B1C1,共6条.,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.

20、(2018东北三省三校模拟)若直线l平面,平面平面,则直线l与平面的位置关系为_.,l或l,解析 直线l平面,平面平面, 直线l平面,或者直线l平面.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.在三棱锥SABC中,G1,G2分别是SAB和SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是_.,平行,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示,连接SG1并延长交AB于M,连接SG2并延长交AC于N,连接MN.,G1G2MN, 易知MN是ABC的中位线,MNBC, G1G2BC.,1,2,3,4,5,6,7,8,

21、9,10,11,12,13,14,15,16,9.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点, 所以ADBC,所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点, 所以C1D垂直于圆柱下底面,所以C1DAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1

22、5,16,10.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,GH与EF平行;BD与MN为异面直线;GH与MN成60角;DE与MN垂直.,以上四个命题中,正确命题的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 还原成正四面体ADEF,其中H与N重合,A,B,C三点重合. 易知GH与EF异面,BD与MN异面. 连接GM,GMH为等边三角形, GH与MN成60角, 易证DEAF,又MNAF,MNDE. 因此正确命题的序号是.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1

23、6,11.如图所示,A是BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.,(1)求证:直线EF与BD是异面直线;,证明 假设EF与BD不是异面直线, 则EF与BD共面,从而DF与BE共面, 即AD与BC共面, 所以A,B,C,D在同一平面内, 这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾. 故直线EF与BD是异面直线.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若ACBD,ACBD,求EF与BD所成的角.,解 取CD的中点G,连接EG,FG,则ACFG,EGBD, 所以相交直线EF与EG所成的角, 即为异面直线EF与BD所成的角. 又因为ACBD,则FG

24、EG. 在RtEGF中,由EGFG AC,求得FEG45, 即异面直线EF与BD所成的角为45.,(1)三棱锥PABC的体积;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则EDBC, 所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角,13.平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCDm,平面

25、ABB1A1n,则m,n所成角的正弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示,设平面CB1D1平面ABCDm1,,平面CB1D1,则m1m, 又平面ABCD平面A1B1C1D1, 平面CB1D1平面A1B1C1D1 B1D1,B1D1m1, B1D1m,同理可得CD1n. 故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等,即CD1B1的大小. 又B1CB1D1CD1(均为面对角线),,14.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下

26、结论:,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,ABEF;AB与CM所成的角为60;EF与MN是异面直线;MNCD. 以上四个命题中,正确命题的序号是_.,解析 如图,ABEF,正确; 显然ABCM,所以不正确; EF与MN是异面直线,所以正确; MN与CD异面,并且垂直,所以不正确,则正确的是.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且ACBC4,ACB90,F,G分别是

27、线段AE,BC的中点,则AD与 GF所成的角的余弦值为_.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 取DE的中点H,连接HF,GH.,GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.如图所示,三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A底面ABC,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC2FB2.,(1)当点M在何位置时,BM平面AEF?,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,

28、16,解 方法一 如图所示,取AE的中点O,连接OF,过点O作OMAC于点M.,因为ECAC,OM,EC平面ACC1A1, 所以OMEC. 又因为EC2FB2,ECFB,,所以四边形OMBF为矩形,BMOF. 因为OF平面AEF,BM平面AEF, 故BM平面AEF,此时点M为AC的中点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 如图所示,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ.,因为EC2FB2, 所以PEBF且PEBF, 所以PBEF,PQAE, 又AE,EF平面AEF,PQ,PB平面AEF, 所以PQ平面AFE,PB平面AEF, 因为PBPQP,PB,PQ 平面PBQ, 所以平面PBQ平面AEF. 又因为BQ平面PBQ, 所以BQ平面AEF. 故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若BM平面AEF,判断BM与EF的位置关系,说明理由;并求BM与EF所成的角的余弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 由(1)知,BM与EF异面,OFE(或MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角.,

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