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苏教版高中数学选修1-1《第3章 导数及其应用》章末检测试卷(含答案)

1、章末检测试卷(三)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1若小球自由落体的运动方程为S(t)gt2(g为常数),该小球在t1到t3的平均速度为,在t2时的瞬时速度为v2,则和v2关系为()A.v2 B.0),所以f(x)0等价于解得0x.5已知曲线f(x)ln x在点(2,f(2)处的切线与直线axy10平行,则实数a的值为()A. B2 C2 D答案D解析f(x)ln x的导数为f(x),可得曲线f(x)ln x在点(2,f(2)处的切线斜率为,由切线与直线axy10平行,可得a,解得a.故选D.6若函数f(x)2xf(1)x2,则等于()A

2、B. C D答案C解析f(x)2f(1)2x,则f(1)2f(1)2,f(1)2,f(x)42x,f(1)6,又f(1)2f(1)15,.7给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f(x)存在,且导函数f(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f(x)(f(x).若f(x)0在D上恒成立,则在D上为凸函数以下四个函数在上是凸函数的个数为()f(x)x32x1;f(x)ln x2x;f(x)sin xcos x; f(x)xex.A0 B1 C2 D3答案D解析对于f(x)x32x1,f(x)3x22,f(x)6x,当x时,f(x)0恒成立,故为凸函数;对于f(x)ln x2x,f

3、(x)2,f(x),当x时,f(x)0恒成立,故为凸函数;对于f(x)sin xcos x,f(x)cos xsin x,f(x)sin xcos x,当x时,f(x)0,故不是凸函数,故选D.8曲线f(x)ln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是()A1 B2 C. D3答案C解析直线2xy30的斜率为2,f(x),令2,解得x1,由于f(1)ln(21)0,故曲线f(x)在点(1,0)处的切线斜率为2,则点(1,0)到直线2xy30的距离d,即曲线f(x)ln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是,故选C.9设函数f(x)ln x,则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)

4、的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点答案D解析由f(x)0可得x2.当0x2时,f(x)2时,f(x)0,f(x)单调递增故x2为f(x)的极小值点10若函数f(x)x33ax22x5在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是()Aa BaCa D0a答案A解析f(x)3x26ax2,又f(x)在(0,1)内单调递减,不等式3x26ax2x在(0,1)内恒成立而函数g(x)x在(0,1)内是增函数,且g(x)g(1),a.11函数f(x)在定义域R上的导函数是f(x),若f(x)f(2x),且当x(,1)时,(x1)f(x)0.设af(0),bf(),cf(log2

5、8),则()Acab BcbaCabc Dacb答案A解析当x(,1)时,(x1)f(x)0,f(x)在区间(,1)上为增函数又f(x)f(2x),f(x)的图象关于直线x1对称,f(x)在区间(1,)上为减函数af(0)f(2),bf(),cf(log28)f(3),ca0,则a的取值范围是()A(2,) B(,2)C(1,) D(,1)答案B解析当a0时,由f(x)3x210,解得x,函数f(x)有两个零点,不符合题意当a0时,令f(x)3ax26x3ax0,解得x0或x0,此时f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(,0)0f(x)00f(x)极大值极小值当x时,f(x),且f(0)

6、10,存在x00,使得f(x0)0,不符合题意当a0时,令f(x)3ax26x3ax0,解得x0或x0,且当x时,f(x),存在x00,使得f(x0)0.又f(x)存在唯一的零点x0,极小值fa33210,a2或a2.a0,a2.综上可知,a的取值范围是(,2)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13曲线y在点M处的切线方程为_答案2xy0解析y(x0),当x时,y,切线的斜率k.所求切线的方程为y0,即2xy0.14函数yx(x0)的最大值为_答案解析y1,令y0得x.0x时,y0;x时,y0.x时,y取得唯一极大值,也是最大值,ymax.15已知函数f(x)x33x22,x1

7、,x2是区间1,1上任意两个值,M|f(x1)f(x2)|恒成立,则M的最小值是_答案4解析f(x)3x26x3x(x2),当1x0,f(x)单调递增,当0x1时,f(x)0时,有0,则不等式x2f(x)0的解集是_答案(1,0)(1,)解析令g(x)(x0),则g(x).当x0时,0,即g(x)0,g(x)在(0,)上为增函数又f(1)0,g(1)f(1)0,在(0,)上,g(x)0的解集为(1,)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,在(,0)上,g(x)0,得f(x)0(x0)又f(x)0的解集为(1,0)(1,),不等式x2f(x)0的解集为(1,0)(1,)三、解答题(本大题共6小题,

8、共70分)17(10分)设函数f(x)2x33(a1)x26ax8,其中aR.已知f(x)在x3处取得极值(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程解(1)f(x)6x26(a1)x6a.f(x)在x3处取得极值,f(3)696(a1)36a0,解得a3.f(x)2x312x218x8.(2)点A在f(x)上,由(1)可知,f(x)6x224x18,f(1)624180,切线方程为y16.18(12分)已知函数f(x)ex(axb)x24x,曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y2x3.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极小值

9、解(1)f(x)ex(axab)2x4.曲线在点(0,f(0)处的切线方程为y2x3.f(0)3,f(0)2,解得(2)由(1),知f(x)ex(x3)x24x,f(x)ex(x2)2x4(x2)(ex2)令f(x)0,得xln 2或x2.当x(,ln 2)(2,)时,f(x)0;当x(ln 2,2)时,f(x)0得x3;令g(x)0得0x3.函数g(x)在(,0)上为增函数,在(0,3)上为减函数,在(3,)上为增函数函数在x0处取得极大值,在x3处取得极小值要使g(x)有三个零点,只需解得m1 7501 0000,当x50,即年产量为50 000吨时,利润最大,最大利润为(1 000ln

10、50250)万元21(12分)已知函数f(x)xexxax2.(1)当a时,求f(x)的单调区间;(2)当x0时,f(x)0,求实数a的取值范围解(1)当a时,f(x)x(ex1)x2,f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令f(x)0,则x1或0,当x(,1)时,f(x)0;当x(1,0)时,f(x)0.故f(x)在(,1),(0,)上单调递增,在(1,0)上单调递减故f(x)的单调递增区间为(,1),(0,),单调递减区间为(1,0)(2)f(x)x(ex1ax)令g(x)ex1ax,则g(x)exa.若a1,则当x(0,)时,g(x)0,g(x)为增函数,而g(0)0,从而当x0时,g

11、(x)0,即f(x)0.若a1,则当x(0,ln a)时,g(x)0,g(x)为减函数,而g(0)0,从而当x(0,ln a)时,g(x)0,即f(x)1),则g(x)(x1),当x(1,e)时,g(x)0,所以g(x)在(1,e)上单调递减,在(e,)上单调递增故当xe时,g(x)有极小值且为最小值,最小值为g(e)e.所以me.即m的取值范围是(,e(2)由题意,得k(x)x2ln xa.令(x)x2ln x,又函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点,相当于函数(x)x2ln x的图象在x(1,3)上与直线ya有两个交点(x)1,当x(1,2)时,(x)0,(x)单调递增又(1)1,(2)22ln 2,(3)32ln 3,要使直线ya与函数(x)x2ln x的图象在x(1,3)上有两个交点,则22ln 2a32ln 3.即实数a的取值范围是(22ln 2,32ln 3)