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2018-2019学年河北省唐山市高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年河北省唐山市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知集合M(x,y)|x+y3,N(x,y)|xy3,则MN()A0,3B3,0C(0,3)D(3,0)2(5分)已知cos,为第四象限角,则tan()A1B1CD3(5分)若幂函数yf(x)的图象经过点,则f(3)()ABC3D94(5分)下列函数中,既存在零点又是偶函数的是()AylnxBycosx+2Cysin(2x+)Dyx2+15(5分)已知向量,若,则实数t()ABC2D26(5分)已知alog0.22.1,b0.22.

2、1,c2.10.2,则()AcbaBcabCabcDacb7(5分)已知函数f(x)3x+2x的零点所在的一个区间是()A(2,1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)8(5分)已知,则()ABCD9(5分)若a0且a1,则在同一直角坐标系中,函数f(x)xa(x0),g(x)logax的图象可能是()ABCD10(5分)已知函数f(x)Asin(x+)(A0,0,0)的图象如图,则点P(,)的坐标是()A(,)B(,)C(,)D(,)11(5分)已知函数f(x)的图象向左平移个单位后,得到函数yg(x)的图象,下列关于函数yg(x)的说法正确的是()A图象关于点(,0)对称B图象关于直线对称

3、C在区间单调递增D最小正周期为212(5分)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)f(x),当x3,4时,f(x)x3,则()Af(sin1)f(cos1)BCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分把答案填写在题中横线上13(5分)已知向量,满足,若,则   14(5分)已知tan2,则sincos   15(5分)函数f(x)(a0且a1)值域为R,则实数a的取值范围是   16(5分)函数f(x)(6x10)的所有零点之和为   三、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知角的终边经过点P(

4、,)(1)求sin的值;(2)求的值18(12分)已知函数f(x)2(sinx+cosx)cosx1(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当时,求函数f(x)的值域19(12分)如图,平行四边形ABCD中,AD1,AB2,DAB60,点M在AB上,点N在DC上,且AMAB,DNDC(1)用和表示;(2)求20(12分)已知函数f(x)ex1,(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)g(x)0的x的值21(12分)已知奇函数(1)求实数a的值;(2)判断函数f(x)在(1,+)上的单调性,并利用函数单调性的定义证明;(3)当x2,5,时,ln(1+x)m+ln(x1)恒成立,求实数

5、m的取值范围22(12分)如图,已知单位圆O,A(1,0),B(0,1),点D在圆上,且AOD,点C从点A沿圆弧运动到点B,作BEOC于点E,设COA(1)当时,求线段DC的长;(2)OEB的面积与OCD面积之和为S,求S的最大值2018-2019学年河北省唐山市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知集合M(x,y)|x+y3,N(x,y)|xy3,则MN()A0,3B3,0C(0,3)D(3,0)【分析】解方程组即可求出MN的元素,从而得出MN【解答】解:解得,;MN(3,0)故

6、选:D【点评】考查描述法表示集合的定义,以及交集的定义及运算2(5分)已知cos,为第四象限角,则tan()A1B1CD【分析】由cos的值,及为第四象限角,利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值,即可确定出tan的值【解答】解:cos,为第四象限角,sin,则tan故选:D【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键3(5分)若幂函数yf(x)的图象经过点,则f(3)()ABC3D9【分析】利用待定系数法求出幂函数yf(x)的解析式,再计算f(3)的值【解答】解:设幂函数yf(x)x,其图象经过点,2,解得,f(x),f(3)故选:B【点评】本题考查了幂函

7、数的定义与应用问题,是基础题4(5分)下列函数中,既存在零点又是偶函数的是()AylnxBycosx+2Cysin(2x+)Dyx2+1【分析】根据题意,依次分析选项,综合即可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,ylnx,是对数函数,不是偶函数,不符合题意;对于B,ycosx+2,是偶函数,但ycosx+20恒成立,不存在零点,不符合题意;对于C,ysin(2x+)cos2x,是偶函数且存在零点,符合题意;对于D,yx2+1,是偶函数,但yx2+10恒成立,不存在零点,不符合题意;故选:C【点评】本题考查函数的零点以及函数的奇偶性,关键是掌握常见函数的奇偶性以及图象性质,属于基础

8、题5(5分)已知向量,若,则实数t()ABC2D2【分析】根据即可得出1(t)120,解出t即可【解答】解:;t20;t2故选:D【点评】考查向量坐标的定义,以及向量平行时的坐标关系6(5分)已知alog0.22.1,b0.22.1,c2.10.2,则()AcbaBcabCabcDacb【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a,b,c与0和1的大小得答案【解答】解:alog0.22.1log0.210,0b0.22.10.201c2.10.22.101abc故选:C【点评】本题考查对数值的大小比较,考查有理指数幂与对数的运算性质,是基础题7(5分)已知函数f(x)3x+2x的零点所在的

9、一个区间是()A(2,1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)【分析】依次代入区间的端点值,求其函数值,由零点判定定理判断【解答】解:f(2)32+2(2)40,f(1)31+2(1)20,f(0)10,f(1)3+20,f(2)9+40,f(1)f(0)0,故选:B【点评】本题考查了函数零点的判断,属于基础题8(5分)已知,则()ABCD【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值【解答】解:,cos()cos()sin()故选:B【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式的应用,是基础题9(5分)若a0且a1,则在同一直角坐标系中,函数f(x)xa(x0),g(x)logax的图

10、象可能是()ABCD【分析】对a的范围进行讨论,判断f(x)的单调性和增长快慢,判断g(x)的单调性,得出结论【解答】解:由g(x)logax有意义可知a0且a1,f(x)xa在0,+)是过原点的增函数,排除A;(1)若a1,则g(x)为过点(1,0)的增函数,f(x)axa1,f(x)是增函数,即f(x)的增加速度逐渐变大,排除C,(2)若0a1,则g(x)为过点(1,0)的减函数,f(x)axa1,f(x)是减函数,即f(x)的增加速度逐渐减小,排除B,故选:D【点评】本题考查了基本初等函数的性质,导数的几何意义,属于中档题10(5分)已知函数f(x)Asin(x+)(A0,0,0)的图象

11、如图,则点P(,)的坐标是()A(,)B(,)C(,)D(,)【分析】由函数f(x)的部分图象求得A、T、和的值即可【解答】解:由函数f(x)Asin(x+)的部分图象知,A2,T2(41)6,又x1时,y2,+2k,kZ;+2k,kZ;又0,点P(,)故选:C【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,是基础题11(5分)已知函数f(x)的图象向左平移个单位后,得到函数yg(x)的图象,下列关于函数yg(x)的说法正确的是()A图象关于点(,0)对称B图象关于直线对称C在区间单调递增D最小正周期为2【分析】辅助角公式得:f(x)sin(2x+),三角函数的对称性、单调性及周期性逐一判断

12、即可【解答】解:由f(x)sin(2x+),将函数f(x)sin(2x+)的图象向左平移个单位后,得到函数yg(x)的图象,则g(x)sin2(x+)+sin(2x+),令2x+k,解得:x(kz)当k0时,函数图象对称点为:(,0),故选项A正确;令2x+k+,解得:x(kz),解方程(kz),k无解,故选项B错误令2k2x+,解得:k(kz)即函数增区间为:k,k(kz),则函数在区间单调递减,故选项C错误,由T,即函数的周期为:,故选项D错误,综合得:选项A正确;故选:A【点评】本题考查了辅助角公式、三角函数的相关性质,属简单题12(5分)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)f(x

13、),当x3,4时,f(x)x3,则()Af(sin1)f(cos1)BCD【分析】根据条件可知,f(x)的周期为2,可设x0,1,从而得出4x3,4,这样即可得出f(x)f(4x)1x,得出f(x)在0,1上单调递减,从而可判断每个选项的正误【解答】解:f(x+2)f(x);f(x)的周期为2,且f(x)是偶函数,x3,4时,f(x)x3;设x0,1,则4x3,4;f(x)f(x4)f(4x)4x31x;f(x)在0,1上单调递减;sin1,cos10,1,且sin1cos1;f(sin1)f(cos1)故选:A【点评】考查周期函数的定义,偶函数的定义,以及一次函数的单调性,减函数的定义二、填

14、空题:本题共4小题,每小题5分,共20分把答案填写在题中横线上13(5分)已知向量,满足,若,则5【分析】根据即可得到,再由即可求出,从而可得出的值【解答】解:;,且;故答案为:5【点评】考查向量垂直的充要条件,向量的数量积运算,向量长度的概念14(5分)已知tan2,则sincos【分析】把所求的式子提取后,先利用二倍角的正弦函数公式化简,然后再利用万能公式化为关于tan的式子,将tan的值代入即可求出值【解答】解:tan2,sincossin2故答案为:【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式,以及万能公式熟练掌握公式是解题的关键15(5分)函数f(x)(a0且a1)值域为R,则实数a的取值

15、范围是a2【分析】由题意讨论x1时,函数y是单调增函数,且y2;x1时,函数y为单调增函数,且y2;由此求得a的取值范围【解答】解:由题意知,当x1时,函数yx2+2x+1是单调增函数,且y2;当x1时,函数yloga(x+3)为单调增函数,且y2;,解得a2;实数a的取值范围是a2故答案为:a2【点评】本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题,是基础题16(5分)函数f(x)(6x10)的所有零点之和为16【分析】构造函数g(x)()|x2|,h(x)2cos,由于6x10时,函数g(x),h(x)的图象都关于直线x2对称,可得函数f(x)在6x10的图象关于直线x2对称运用6x10时,函数

16、g(x),h(x)的图象的交点共有8个,即可得到f(x)的所有零点之和【解答】解:构造函数g(x)()|x2|,h(x)2cos,6x10时,函数g(x),h(x)的图象都关于直线x2对称,函数f(x)()|x2|+2cos(6x10)的图象关于直线x2对称6x10时,函数g(x),h(x)的图象的交点共有8个,函数f(x)的所有零点之和等于4416故答案为:16【点评】本题考查函数的零点,解题的关键是构造函数,确定函数图象的对称性及图象的交点的个数三、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知角的终边经过点P(,)(1)求sin的值;(2)求的值【

17、分析】(1)根据任意角的三角函数的定义即可求出,(2)根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出【解答】解:(1)因为角的终边经过点P(,),由正弦函数的定义得sin;(2)原式,由余弦函数的定义得cos,故所求式子的值为2【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义和同角的三角函数的关系,属于基础题18(12分)已知函数f(x)2(sinx+cosx)cosx1(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当时,求函数f(x)的值域【分析】(1)求出f(x)sin2x+2cos2x1sin2x+cos2xsin(2x+),由此能求出函数f(x)的最小正周期(2)当x,时,2x+,由此能求出函数f(x)

18、的值域【解答】解:(1)f(x)sin2x+2cos2x1sin2x+cos2xsin(2x+)(3分)函数f(x)的最小正周期为T(5分)(2)当x,时,2x+,(8分)当2x+,即x时,f(x)取得最小值1,(9分)当2x+,即x时,f(x)取得最大值,(10分)所以函数f(x)的值域为1,(12分)【点评】本题考查函数的最小正周期的求法,考查三角函数的性质等基础知识,考查化归与转化思想,考查推理论论能力、运算求解能力,是中档题19(12分)如图,平行四边形ABCD中,AD1,AB2,DAB60,点M在AB上,点N在DC上,且AMAB,DNDC(1)用和表示;(2)求【分析】(1)运用向量

19、的加法可解决此问题;(2)运用数量积的性质和运算可解决此问题【解答】解:根据题意得,(1)在平行四边形ABCD中,DNDC所以+,(2)因为AMAB所以;又因为AD1,AB2,DAB60,所以(+)()|2|2121【点评】本题考查平面向量的加法运算,平面向量的数量积的性质和运算20(12分)已知函数f(x)ex1,(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)g(x)0的x的值【分析】(1)由指数函数的值域求解函数g(x)的值域;(2)由f(x)g(x)0,得ex20,对x分类求解得答案【解答】解:(1)3()|x|+1,|x|0,e|x|1,则以0()|x|1,03()|x|3,即1

20、g(x)4,故g(x)的值域是(1,4;(2)由f(x)g(x)0,得ex20,当x0时,方程无解;当x0时,有ex20,整理得(ex)22ex30,即(ex+1)(ex3)0,ex0,ex3,即xln3【点评】本题考查函数值域的求法,考查函数的零点与方程的根的关系,是中档题21(12分)已知奇函数(1)求实数a的值;(2)判断函数f(x)在(1,+)上的单调性,并利用函数单调性的定义证明;(3)当x2,5,时,ln(1+x)m+ln(x1)恒成立,求实数m的取值范围【分析】(1)利用函数的奇偶性的定义,推出结果即可(2)利用函数的单调性的定义证明即可(3)推出m的表达式,利用函数的单调性求解

21、函数的最值,推出结果即可【解答】解:(1)f(x)是奇函数,f(x)f(x),(1分)即lnln(2分),即(a21)x20,得a1,(3分)经检验a1时不符合题意,a1(4分)(2)f(x)ln,f(x)在(1,+)上为减函数(6分)下面证明:任取x1,x2(1,+),且x1x2,(7分)f(x1)f(x2)lnlnln()ln,x1x2,x2x10,1,(8分)f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2),f(x)为(1,+)上的减函数(9分)(3)由已知得mln(1+x)ln(x1),即mln(10分)由(2)知f(x)ln在2,5上为减函数则当x5时,(ln)minln,(11分)于是

22、mln(12分)【点评】本题考查函数恒成立函数的奇偶性以及函数的单调性的应用,考查转化思想以及计算能力22(12分)如图,已知单位圆O,A(1,0),B(0,1),点D在圆上,且AOD,点C从点A沿圆弧运动到点B,作BEOC于点E,设COA(1)当时,求线段DC的长;(2)OEB的面积与OCD面积之和为S,求S的最大值【分析】(1)根据题意,分析可得当时,COD+,由余弦定理分析可答案;(2)根据题意,由COA,利用表示OEB的面积与OCD面积,进而可得Ssincos+(sin+cos),令tsin+cos,运用换元法分析可得答案【解答】解:(1)根据题意,当时,COD+,又由ODOC1,则D

23、C2OC2+OD22OCODcosCOD3,则DC;(2)根据题意,COA,OBE,OEsin,BEcos,SOEBsincos,因为AOD,COA所以COD+,OCOD1,取CD中点H,则OHCD,DOHCOD+,DHsin(+),OHcos(+),所以SOCDcos(+)sin(+)sin(+)(sin+cos),OEB的面积与OCD面积之和Ssincos+(sin+cos),令tsin+cos,0,则t1,且sincos;所以S+t(t2+t1)(t+)2,因为t1,当t时,S取得最大值,最大值为;【点评】本题考查三角函数的建模问题,涉及三角函数的最值和余弦定理的应用,注意用表示)OEB的面积与OCD面积之和