1、2.1.5平面上两点间的距离一、选择题1.已知线段AB的中点坐标是(2,3)，点A的坐标是(2，1)，则点B的坐标是()A.(6,7) B.(6,7)C.(6，7) D.(6，7)答案A解析设点B的坐标是(x，y)，则解得2.已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为()A.xy0 B.xy0C.xy60 D.xy10答案D解析由已知得直线l是线段AB的垂直平分线，所以直线l的斜率为1，且过AB中点，由点斜式得方程为yx，化简得xy10.3.已知等腰ABC的顶点是A(3,0)，底边长BC4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为()A.2 B.2 C.2 D.4答案
2、A解析BDBC2，AD2.在RtADB中，由勾股定理，得腰长AB2.4.直线yx上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则PQ等于()A.4 B.4 C.2 D.2答案B解析P(1,1)，Q(5,5)，PQ4.5.直线xy10上与点P(2,3)的距离等于的点的坐标是()A.(4,5) B.(3,4)C.(3,4)或(1,2) D.(4,5)或(0,1)答案C解析设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0y010，且 ，两式联立解得或故选C.6.已知A(5,2a1)，B(a1，a4)，当AB取最小值时，实数a的值是()A. B. C. D.答案C解析AB，当a时，AB取得最小值.二、填空题7.已知A，B
3、两点都在直线y2x1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为_. 答案解析设点A(a,2a1)，点B(b,2b1)，|ab|，AB|ab|.8.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且PAPB，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程为_.答案xy50解析由已知，得A(1,0)，P(2,3)，由PAPB，得B(5,0)，由两点式得直线PB的方程为xy50.9.已知A(1,2)，B(1,1)，C(0，1)，D(2,0)，则四边形ABCD的形状为_.答案正方形解析由kAB，kCD，kBC2，kAD2得ABCD，BCAD，ABBC，ABCD为矩形，又AB.BC，所以AB
4、BC，故ABCD为正方形.10.已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于，则实数m的取值范围是_.答案(2，)解析由PQ，解得m2.三、解答题11.求证：梯形中位线平行于上底和下底且等于上底与下底和的一半.证明如图为梯形ABCD，以线段BC的中点为原点，直线BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，分别取AB，CD，AC的中点E，F，G，连结EG，GF.设A(a，b)，C(c,0)，则B(c,0).AB的中点E的坐标是，AC的中点G的坐标是.EG|c|；BC2|c|，所以EGBC.又E，G的纵坐标相同，所以EGBC.同理可证，FGAD，FGAD.于是可得EFADBC，EFEGFG(B
5、CAD).而EF即为梯形的中位线.故梯形中位线平行于上底和下底且等于上底和下底和的一半.12.若直线l过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点，且AB5，求直线l的方程.解当直线l的斜率不存在时，过点A(1，1)的直线方程为x1，解方程组得B点坐标为(1,4)，此时AB5，x1即为所求.当直线l的斜率存在时，设过点A(1，1)的直线为y1k(x1)，解方程组得(k2，否则与已知直线平行)，则B点坐标为.由已知得2252，解得k，直线方程为y1(x1)，即3x4y10.综上可知，所求直线的方程为x1或3x4y10.13.如图，ABD和BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形.试用坐标法
6、证明：AECD.证明如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.设ABD和BCE的边长分别为a和c，则A(a,0)，C(c,0)，E，D，由距离公式，得AE，CD，所以AECD.14.已知函数y2x的图象与y轴交于点A，函数ylg x的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点Q(0，2)，则PQ的最小值为_.答案解析易知A(0,1)，B(1,0)，所以直线AB：y1x.设P(x0，y0)，又y01x0，所以PQ，当x0时，PQ取得最小值.所以PQ的最小值为.15.有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且ABAC13 km，BC10 km，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处.(建立坐标系如图)(1)若希望点P到三镇距离的平方和最小，点P应位于何处？(2)若希望点P到三镇的最远距离最小，点P应位于何处？解(1)设P的坐标为(0，y)，则P至三镇距离的平方和为f(y)2(25y2)(12y)23(y4)2146，所以，当y4时，函数f(y)取得最小值，点P的坐标是(0,4).(2)设P至三镇的最远距离为g(y)由|12y|计算得出y，记y*，于是g(y)因为g(y)在y*，)上是增函数，而g(y)|12y|在(，y*上是减函数，所以yy*时，函数g(y)取得最小值.点P的坐标是.