二次函数和代数

1、称F(x)为偶函数；(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)F(x)成立，则称F(x)为奇函数2二次函数图象的对称性(1)二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象的对称轴是直线x；(2)如果函数f(x)对任意的h都有f(sh)f(sh)，那么f(x)的图象关于直线xs对称.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)|x2|x2|；(3)f(x)x2；(4)f(x)；(5)f(x).解(1)函数定义域为R，且f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)，所以该函数是奇函数；(2)函数定义域为R，且f(x)|x2|x2|x2|x2|f(x)，所以该函数是偶函数；(3)函数定义域是x|x0，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；(4)函数定义域是x|x1，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；(5)要使函数有意义，需满足解。

2、所示的直角坐标系中，你能得到函数图象解析式吗？二、合作探究探究点：二次函数 y a(x h)2的图象和性质【类型一】 y a(x h)2的图象与性质的识别已知抛物线 y a(x h)2(a0)的顶点坐标是(2，0)，且图象经过点(4，2)，求 a， h 的值解：抛物线 y a(x h)2(a0)的顶点坐标为(2，0)， h2.又抛物线y a(x2) 2经过点(4，2)，(42) 2a2， a .12方法总结：抛物线 y a(x h)2的顶点坐标为( h，0)，对称轴是直线 x h.【类型二】二次函数 y a(x h)2增减性的判断对于二次函数 y9( x1) 2，下列结论正确的是( )A y 随 x 的增大而增大B当 x0 时， y 随 x 的增大而增大C当 x1 时， y 随 x 的增大而增大D当 x1 时， y 随 x 的增大而增大解析：由于 a90，抛物线开口向上，而 h1，所以当 x1 时， y随 x的增大而增大故选 D.【类型三】确定 y a(x h)2与 y 。

3、 一、选择题一、选择题 1. （2019潍坊）抛物线 y=x2bx+3 的对称轴为直线 x=1若关于 x 的一元二次方程 x2bx+3t=0（t 为实数） 在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A2t11 Bt2 C6t11 D2t6 【答案】A 【解析】由题意得：1 2 b ，b=2，抛物线解析式为 y=x22x+3，当1x4 时，其图象如图所示： 从图象可以看出当 2t11。

4、22.1.1 二次函数二次函数 教学目标： 1 知识与技能 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
2 过程与方法 结合之前的知识，理解并会运用二次函数的关系式. 3 情感态度与价值观 注重学生参与，联系。

5、22.1.3 二次函数二次函数 yaxhk 图象和性质图象和性质 第第 1 课时课时 教学目标： 1 1 知识与技能知识与技能 使学生能利用描点法画出二次函数 yaxh2的图象。
2 2 过程与方法过程与方法 让学生经历二次函数 yaxh2。

6、递减(递增)，在，)上递增(递减)，图象曲线开口向上(下)，在x处取到最小(大)值f()，这里b24ac.点(，)叫作二次函数图象的顶点.题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式解方法一利用二次函数一般式设f(x)ax2bxc(a0)则由得ba，则2ac1，即c2a1.代入整理得a24a，解得a4，或a0(舍去)b4，c7.因此所求二次函数解析式为y4x24x7.方法二利用二次函数顶点式设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线对称轴为x，即m.又根据题意函数有最大值为n8，yf(x)a(x)28，f(2)1，a(2)281.解之得a4.f(x)4(x)284x24x7.方法三利用两根式由已知f(x)10的两根为x。

7、 第十二讲第十二讲 一次函数和代数综合一次函数和代数综合 模块模块一一：一次函数一次函数(0)ykxb k图像图像的的变换及特殊位置关系：变换及特殊位置关系： 1平移平移：上加下减，左加右减； 2对称对称：关于哪轴对称那轴对应坐标不变，另外一个变为原来的相反数； 3中心对称：中心对称：x 和 y 值都变 4三大变换通解方法：三大变换通解方法：找两个点（如与坐标轴的两个交点） ，进行相应变化后。

8、 第十六讲第十六讲 一次函数和代数综合一次函数和代数综合 模块一：模块一：一次函数一次函数(0)ykxb k图像图像的的变换及特殊位置关系：变换及特殊位置关系： 1平移平移：上加下减，左加右减； 2对称对称：关于哪轴对称那轴对应坐标不变，另外一个变为原来的相反数； 3中心对称：中心对称：x 和 y 值都变 4三大变换通解方法：三大变换通解方法：找两个点（如与坐标轴的两个交点） ，进行相应变化后。

9、22.1.2 二次函数二次函数 yax的图象和性质的图象和性质 教学背景： 学生通过前面已熟知了画函数图象的方法：列表描点连线，也学习了一次函数反比例函数的图像画法及形状，这为探究函数 yax2 的图象做好了知识上的准备。
学生也具备了基本作。

10、 知识点知识点 18 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用 一、选择题一、选择题 9（2020 衢州） 二次函数 2 yx的图象平移后经过点(2， 0)， 则下列平移方法正确的是 （ ） A向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位 C向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位 D向右平移 2 个单位，向上平。

11、x3)2,向左移 3个单位,y (x3)2 2,向上移 2个单位,yx2,y (x3)2,y (x3)22,变式：二次函数y (x1)2 6的图像和yx2的图像的位置有什么关系？,探索发现,y x22x3, (x1)22,由活动一可知：函数y (x1)22的图像可以看成yx2平移得到，即y x22x3是函数yx2先向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到的,x22x12,转化思考,解：yx24x5,你能将函数yx24x5 转化为ya(xm)2k的形式吗？, (x24x) 5, (x2 4x 44) 5, (x2) 245, (x2) 2 1,转化思考,解：yax2bxc,你能将函数yax2bxc 转化为ya(xm)2k的形式吗？, a (x2 x) c, a (x ) 2 c,转化思考,二次函数yax2bxc 的图像是一条抛物线，顶点是（ ， ）,对称轴是。

12、从对应点的位置看：函数yx21的图像和yx2的图像的位置有什么关系？,（3）根据图像，函数yx21的图像有哪些性质？,猜想：函数yx22的图像和y=x2的图像的位置有何关系？函数yx22的图像有哪些性质？,探索发现,由上面的例子，你发现二次函数yax2k的图像与函数yax2的图像有什么关系？,二次函数 yax2 k（ k 0）的图像是由二次函数 yax2 的图像沿y 轴向平移个单位长度得到的一条直线,二次函数 yax2 k （ k 0）的图像是由二次函数 yax2的图像沿 y 轴向平移 个单位长度得到的一条直线,上,k,下,k,二次函数yax2 k顶点坐标是 ，对称轴是 ,（0，k）,y轴,归纳概括,在同一平面直角坐标系中画出函数y x2和y (x3)2的图像,（1）填表,从表格的数值看：函数y (x3)2与函数yx2的函数值相等时，它们所对应的自变量 x 的值有什么关系？,。

13、0,0） y有最小值,议一议,例2 画出yx2图像,画一画,观察函数yx2图像，说出图像的特征,抛物线关于y轴对称,当x0时，y随x增大而减小,抛物线开口向下,当x0时，y随x增大而增大,图像有最高点，过(0,0) y有最大值,议一议,比较函数yx2与yx2图像，说出图像特征的异同点,说一说,如果是函数y2x2与y2x2 的图像呢？,练一练,在同一坐标系上画函数y2x，y2x ， y x和y x 图像，并说出图像特征,本节课我们学习了什么？你还有什么疑问？,谈一谈,。

14、顶点是抛物线的最低点,看一看,这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最高点,说一说,函数 和 、 和 的图像各有什么特征，并与同学交流,1二次函数yax的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴,2当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点,3当a0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点,记一记,观察yax的图像，你还能发现什么？,a0时，y轴左边的图像下降，y轴右边的图像上升.,a0时，y轴左边的图像上升，y轴右边的图像下降.,想一想,如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降？,a0时，由y轴左边的图像下降可以知道：当x0时，随着x增大y减小；,a0时，由y轴左边的图像上升可以知道：当x0时，随着x增大y增大,想一想,（1）a0时， 当x0时，y随x的增大而减小； 当x0时，y随x的增大而增大； 当x0时，y有最小值，最小值为0,（2）a0时， 当x0时。

15、3，当1x4 时，其图象如图所示： 从图象可以看出当 2t11 时，抛物线 y=x22x+3 与直线 y=t 有交点，故关于 x 的一元二次方程 x2bx+3t=0 （t 为实数）在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是 2t11，故选择 A 方法二：把 y=x22x+3t（1x4）的图象向下平移 2 个单位时图象与 x 轴开始有交点，向下平移 11 个单 位时开始无交点，故 2t11，故选择 A 2. （2019淄博）将二次函数 2 4yxxa 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数 图象与直线 y2 有两个交点，则a的取值范围是 （ ） A. 3a B. 3a C. 5a D. 5a 【答案】D. 【解析】 22 4(2)(4)yxxaxa，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析式为 2 (1)(3)yxa， 令 2 2(1)(3)xa，即 2 240xxa， 由44(4)0a，得5a. 3. （2019湖州）。

16、在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。
x叫自变量， y叫应变量。
,基础回顾 什么叫函数?,二次函数,函数知多少,节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？,抛物线型桥拱,奥运赛场腾空的篮球,y=6x2,情景引入：问题1,二、导入新课,正方体六个面是全等的正方形,设正方形棱长为 x,表面积为 y, 则 y 关于x 的关系式为_.,此式表示了正方体的表面积y与棱长x之间的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数.,n,(n3),即:,n,1、探究新知： 问题2,多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有_个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可作_条对角线.因此,n边形的对角线总数 d =_.,此式表示了多边形的对角线数d与 边数n之间的关系, 对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.。

17、点(m，n是实数)，当0x1x21时，求证：0mn.(1)解：乙求得的结果不正确理由如下：当x0时，y0；当x1时，y0，二次函数的图象经过点(0,0)，(1,0)，x10，x21，yx(x1)x2x，当x时，y，乙求得的结果不正确(2)解：对称轴为直线x，当x时，二次函数的最小值为y(x1)(x2).(3)证明：二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点，mx1x2，n(1x1)(1x2)，mnx1x2(1x1)(1x2)(x1x)(x2x)(x1)2(x2)20x1x21，0(x1)2，0(x2)2，0mn，x1x2，0mn.2(2019莆田质检)函数y1kx2axa的图象与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，函数y2kx2bxb的图象与x轴交于点C，D(点C在点D的左侧)，其。

18、的顶点坐标； 解题思路 将一般式化为顶点式即可得到顶点坐标 【解答】ymx22mxm1m(x1)21， 抛物线的顶点坐标为(1，1),例,典例精析,常考题型 精讲,3,(2)若抛物线经过点(3,5)，求抛物线的解析式； 解题思路 将点(3,5)代入到抛物线解析式得到m的值即可,4,(3)试说明抛物线与直线有两个交点； 解题思路 由ymx22mxm1和ymxm1可得mx22mxm1mxm1，整理，得mx(x1)0，即可知抛物线与直线有两个交点 【解答】由ymx22mxm1和ymxm1 可得mx22mxm1mxm1， 整理得mx2mx0，即mx(x1)0. m0，x10，x21， 抛物线与直线有两个交点,5,(4)若抛物线与直线相交于点M，N，且m3，则抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得MNG为直角三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由 解题思路 若MNG为直角三角形，则分三种情况： MGN90； MNG。

19、27cm解： 抛物线 的顶点在 轴上，2yxab.4()0b. 2a1 分（1） ， .b抛物线的解析式为 .21yx ， ，解得 ， . 1m10x22 分依题意，设平移后的抛物线为 .2()yk抛物线的对称轴是 ，平移后与 轴的两个交点之间的距离是 ，1xx4是平移后的抛物线与 轴的一个交点.(3,0)，即 .21k4变化过程是：将原抛物线向下平移 4 个单位. 4 分（2） . 6 分6m2. （2018 北京市朝阳区综合练习（一） ）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B.240yaxa（1）求点 A，B 的坐标；（2）若方程 24=x有两个不相等的实数根，且两根都在 1。

20、x521ky1)(2故函数与坐标轴仅有一个交点；（2）解： ，)21kxy函数 的顶点坐标为（ ，） ，k代入函数 得（ ） ，32kxy解得 或 ，3 或 ；25)1(21xxy 325)1(21xxy（3）解：当对称轴 时， ，abkk当 时，取最小值 ，x即 ，化简得 ，254)21kk 02k解得 （舍去）或 ；当对称轴 时， ，kk当 时，最小值恒为 ，故无解；xk当对称轴 时， ，k当 时，取最小值 ，x即 ，化简得 ，254)269kk 02k解得 （舍去）或 综上所述， 的值为 或 k2.已知二次函数 （ ） ，其中 .)(21xay0a21x（1）若 ， ， ，求二次函数顶点坐标；1ax42（2）若 ，当 时， ， 时， ，且 （ 为20y3x0ynxm2相邻整数） ，求 的值；nm（3）在（2）的条件下，已知点 ， 均在抛物线上，试比较。