第11讲等差数列求和知识点一,等差数列公式二,等差数列求和公式课堂内外著名的数学家高斯在9岁那一年用很短的时间计算出小学老师布置的任务,对自然数1到100的求和同时得到结果,5050,那么他是怎么算的呢,课堂例题一,等差数列求和1,计算,1,(a2a8)36.3已知数列an中,a11,anan1(n
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1、第11讲等差数列求和知识点一,等差数列公式二,等差数列求和公式课堂内外著名的数学家高斯在9岁那一年用很短的时间计算出小学老师布置的任务,对自然数1到100的求和同时得到结果,5050,那么他是怎么算的呢,课堂例题一,等差数列求和1,计算,1。
2、a2a8)36.3已知数列an中,a11,anan1(n2,nN*),则数列an的前9项和等于()A27 B. C45 D9答案A解析由已知数列an是以1为首项,以为公差的等差数列,S99191827.4在等差数列an和bn中,a125,b175,a100b100100,则数列anbn的前100项的和为()A10 000 B8 000C9 000 D11 000答案A解析由已知得anbn为等差数列,故其前100项的和为S10050(2575100)10 000.5在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为()A765 B665 C763 D663答案B解析a12,d7,2(n1)7100,n15,n14,S1414214137665.。
3、n,an,Sn知三求二(1)在等差数列an中,ana1(n1)d,Sn或Snna1d.两个公式共涉及a1,d,n,an及Sn五个基本量,它们分别表示等差数列的首项,公差,项数,项和前n项和(2)依据方程的思想,在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量,即“知三求二”知识点三数列中an与Sn的关系 对于一般数列an,设其前n项和为Sn,则有an特别提醒:(1)这一关系对任何数列都适用(2)若在由anSnSn1(n2)求得的通项公式中,令n1求得a1与利用a1S1求得的a1相同,则说明anSnSn1(n2)所得通项公式也适合n1的情况,数列的通项公式用anSnSn1表示若在由anSnSn1(n2)求得的通项公式中,令n1求得的a1与利用a1S1求得的a1不相同,则说明anSnSn1(n2)所得通项公式不适合n1的情况,数列的通项公式采用分段形式1若数列an的前n项和为Sn,则S1a1.()2若数列an的前n项和为Sn,则an。
4、若等差数列的项数为2n1(nN),则S2n1(2n1)an(an是数列的中间项),S奇S偶an,(S奇0)性质3an为等差数列为等差数列知识点二等差数列an的前n项和公式与函数的关系将等差数列前n项和公式Snna1d整理成关于n的函数可得Snn2n.知识点三等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中,当a10,d0时,Sn有最大值,使Sn取到最值的n可由不等式组确定;当a10时,Sn有最小值,使Sn取到最值的n可由不等式组确定(2)因为Snn2n,若d0,则从二次函数的角度看:当d0时,Sn有最小值;当d0时,Sn有最大值;且n取最接近对称轴的自然数时,Sn取到最值1等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数()2等差数列an的前n项和SnAn2bn.即an的公差为2A.()3若等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则的公差为.()4数列an的前n项。
5、2 B.3 C.2 D.3解析danan132n32(n1)2.答案C3.an是首项a11,公差d3的等差数列,an2 017,则序号n等于()A.670 B.671C.672 D.673解析ana1(n1)d13(n1)2 017,n673,故选D.答案D4.在数列an中,a11,an1an2,则a51的值为_.解析由条件知,an是等差数列且d2,a51a150d1502101.答案1015.已知f(n1)f(n)(nN),且f(2)2,则f(2 019)_.解析由f(n1)f(n),得f(n1)f(n)(nN).f(n)是一个以为公差的等差数列.f(2)2,f(2 019)f(2)(2 0192)d22 017.答案6.若数列an的通项公式为an10lg 2n,求证:数列an。
6、等差数列的公差,公差通常用字母d表示,可正可负可为零知识点二等差中项的概念如果三个数a,A,b组成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,且A.知识点三等差数列的通项公式若一个等差数列an,首项是a1,公差为d,则ana1(n1)d.此公式可用累加法证明1数列4,4,4,是等差数列()2数列3,2,1是等差数列()3数列1,3,4,5,6,是等差数列()4等差数列an中,a1,n,d,an任给三个,可求其余()题型一等差数列的判定例1判断下列数列是不是等差数列?(1)9,7,5,3,2n11,;(2)1,11,23,35,12n13,;(3)1,2,1,2,;(4)1,2,4,6,8,10,;(5)a,a,a,a,a,.解(1)通项公式an2n11,an1an2(n1)11(2n11)2.该数列是公差为2的等差数列(2)通项公式an12n13.an1an12。
7、a2a8的值等于()A.45 B.75 C.180 D.300解析a3a4a5a6a7(a3a7)(a4a6)a55a5450,a590.a2a82a5180.答案C3.下列是关于公差d0的等差数列an的四个结论:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an3nd是递增数列;其中正确的结论是()A.p1,p2 B.p3,p4C.p2,p3 D.p1,p4解析ana1(n1)ddna1d,因为d0,所以p1正确;an3nd4dna1d,因4d0,所以是递增数列,p4正确,故选D.答案D4.在等差数列an中,已知a12a8a1596,则2a9a10_.解析a12a8a154a896,a824.2a9a10a10a8a10a824.答案245.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59。
8、 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 等差数列的概念 一般地,如果一个数列从 起,每一项减去它的前一项所得的差都等于 ,那么这个数列就叫做 数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d表示. 思考1 等差数列an的概念可用符号表示为 . 思考2 等差数列an的单调性与公差d的符号的关系. 等差数列an中,若公差d0,则数列an为 数列;若公差d0,则数列an为 数列;若公差d0,则数列an为常数列.,答案,第二项,同一个常数,等差,公差,递增,递减,an1and(nN*),知识点二 等差中项的概念 若三个数a,A,b构成等差数列,则A叫做a与b的,并且A ab 2 . 知识点三 等差数列的。
9、等差数列的项数为2n1(nN*),则S2n1(2n1)an(an是数列的中间项),S奇S偶an,(S奇0)知识点二等差数列an的前n项和公式与函数的关系1将公式Snna1变形,得Snn2n.若令A,a1B,则上式可以写成SnAn2Bn,(1)等差数列前n项和Sn不一定是关于n的二次函数当公差d0时,Snna1,不是项数为n的二次函数当d0时,此公式可看成二次项系数为,一次项系数为,常数项为0的二次函数,其图象为抛物线yx2x上的点集,坐标为(n,Sn)(nN*)因此,由二次函数的性质可以得出结论:当d0时,Sn有最小值;当d0时,Sn有最大值(2)关于n的二次函数也不一定是等差数列的前n项和,由SnAn2BnC,当C0时,Sn不是某等差数列的前n项和;当C0时,令A,a1B,则能解出a1和d,因此这时一定是某等差数列的前n项和2若an为等差数列,公差为d,则为等差数列,公差为.1等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数(。
10、2已知数列an是等差数列,a22,a58,则公差d的值为()A. B C2 D2答案C解析设an的首项为a1,公差为d,根据题意得解得d2.3在数列an中,a12,2an12an1,则a101的值为()A52 B51 C50 D49答案A解析因为2an12an1,a12,所以数列an是首项a12,公差d的等差数列,所以a101a1100d210052.4已知在等差数列an中,a3a822,a67,则a5等于()A15 B22 C7 D29答案A解析设an的首项为a1,公差为d,根据题意得解得a147,d8.所以a547(51)(8)15.5等差数列20,17,14,11,中第一个负数项是()A第7项 B第8项C第9项 D第10项答案B解析a120,d3,an20(n1)&#。
11、1,数列an是等差数列,公差为1,ana1(n1)d2(n1)(1)3n.3等差数列20,17,14,11,中第一个负数项是()A第7项B第8项C第9项D第10项答案B解析a120,d3,an20(n1)(3)233n,a720,a810.4若5,x,y,z,21成等差数列,则xyz的值为()A26B29C39D52答案C解析5,x,y,z,21成等差数列,y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项5212y,y13,xz2y26.xyz39.5等差数列的前三项依次是x1,x1,2x3,则其通项公式为_答案an2n3解析x1,x1,2x3是等差数列的前三项,2(x1)x12x3,解得x0.a1x11,a21,a33,d2,an12(n1)2n3.6已知数列。
12、a7a9750,那么a3a6a9a99等于()A182B78C148D82答案D解析a3a6a9a99(a12d)(a42d)(a72d)(a972d)(a1a4a97)2d33502(2)3382.3下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an3nd是递增数列;其中的真命题为()Ap1,p2Bp3,p4Cp2,p3Dp1,p4答案D解析ana1(n1)ddna1d,因d0,所以p1正确;an3nd4dna1d,因4d0,所以是递增数列,p4正确,故选D.4在等差数列an中,若a2a4a6a8a1080,则a7a8的值为()A4B6C8D10答案C解析由a2a4a6a8。
13、5;54d),10a145d20a140d,10a15d,.3已知等差数列an中,aa2a3a89,且an0,则S10为()A9B11C13D15答案D解析由aa2a3a89,得(a3a8)29,an0,a3a83,S1015.4设等差数列an的前n项和为Sn,若S39,S636.则a7a8a9等于()A63B45C36D27答案B解析数列an为等差数列,则S3,S6S3,S9S6为等差数列,即2(S6S3)S3(S9S6),S39,S6S327,则S9S645.a7a8a9S9S645.5在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为()A765B665C763D663答案B解析a12,d7,2(n1)7100,n15,n14,S1414214。
14、答案A解析由已知得anbn为等差数列,故其前100项的和为S10050(2575100)10000.3若an为等差数列,Sn为其前n项和,若首项a17,公差d2,则使Sn最大的序号n为()A2B3C4D5答案C解析等差数列an的首项为7、公差为2,Sn7n(2)n28n(n4)216,当n4时,前n项和Sn有最大值故答案选C.4一个等差数列的项数为2n,若a1a3a2n190,a2a4a2n72,且a1a2n33,则该数列的公差是()A3B3C2D1答案B解析(a2a4a2n)(a1a3a2n1) nd729018.又a1a2n(2n1)d33,所以d3.5已知等差数列an中,|a5|a9|,公差d0,则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是_答案6或7解析由|a5|a9|且。
15、等差数列的通项公式ana1(n1)d,当d0时,an是关于n的常数函数;当d0时,an是关于n一次的函数;点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点2等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广:在等差数列an中,已知a1,d, am, an(mn),则d从而有anam(nm)d.(2)项的运算性质:在等差数列an中,若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq.3等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2.(2)若an、bn分别是公差为d,d的等差数列,则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数,kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p,q为常数)(3)an的。
16、答案2二次函数y2x24x3,当x_时,有最_值为_答案1小5解析函数y2x24x3,a20, x1时,ymin5.3把二次函数y2x24x3化成ya(xh)2k的形式是_,当x_时,y有最大值_答案y2(x1)2515解析y2x24x32(x22x)32(x1)25.x1时,y有最大值5.预习导引1数列前n项和的概念把a1a2an叫数列an的前n项和,记作Sn.a1a2a3an1Sn1(n2)2等差数列前n项和公式(1)若an是等差数列,则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn;(2)若首项为a1,公差为d,则Sn可以表示为Snna1n(n1)d.3等差数列前n项和的性质(1)若数列an是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为.。
17、1数列中an与Sn的关系对任意数列an,Sn与an的关系可以表示为an2由数列的Sn判断数列的类型由于等差数列前n项和公式Snna1dn2n.令A,Ba1,则SnAn2Bn.所以Sn是关于n的常数项为0的二次的函数,反过来,对任意数列an,如果Sn是关于n的常数项为0的二次的函数,那么这个数列也是等差数列3等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中,当a10,d0时,Sn有最大值,使Sn取到最值的n可由不等式组确定;当a10时,Sn有最小值,使Sn取到最值的n可由不等式组确定(2)因为Snn2n,若d0,则从二次函数的角度看:当d0时,Sn有最小值;当d0时,Sn有最大值;且n取最接近对称轴的自然数时,Sn取到最值.题型一利用Sn与an的关系求an例1已知数列an的前n项和为Snn2n,求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解根据Sna1a2an1an与Sn1a。
18、求公差d时,可以用danan1(n2,nN)或dan1an(nN)(2)对于公差d,当d0时,数列为常数列;当d0时,数列为递增数列;当d0,则该数列为递增数列()4若三个数a,b,c满足2bac,则a,b,c一定成等差数列()题型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列(1)9,7,5,3,2n11,;(2)1,11,23,35,12n13,;(3)1,2,1,2,;(4)1,2,4,6,8,10,;(5)a,a,a,a,a,.解由等差数列的定义得(1),(2),(5)为等差数列,(3),。
19、a37b37等于()A0 B37 C100 D37答案C解析a1b1100a2b2,anbn是常数列,a37b37100.3等差数列an中,若a3a4a5a6a7450,则a2a8的值等于()A45 B75 C180 D300答案C解析a3a4a5a6a7(a3a7)(a4a6)a55a5450,a590.a2a82a5180.4已知等差数列an的公差为d(d0),且a3a6a10a1332,若am8,则m的值为()A12 B8 C6 D4答案B解析由等差数列的性质,得a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832,a88,又d0,m8.5在等差数列an中,若a2a4a6a8a1080,则a7a8的值为()A4 B6 C8 D10答案C解析a2。
20、即自变量每增加1,函数值增加d.当d0时,an为递增数列,如图甲所示当d0时,an为递减数列,如图乙所示当d0时,an为常数列,如图丙所示知识点二等差中项的概念如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项,即A.知识点三等差数列的性质1若数列an是等差数列,m,n,p,qN,且mnpq,则amanapaq,反之不一定成立特别地,若mn2p,则aman2ap.2若数列an为等差数列,其公差为d,m,nN且mn,则anam(nm)d.3若数列an为等差数列,且公差为d,则数列anb(,b是常数)是公差为d的等差数列4若an是等差数列,则ak,akm,ak2m,(k,mN)组成公差为md的等差数列5若an,bn是等差数列,则anbn,kanbn(k为常数)也是等差数列思考若an1an12an(n2,nN),则数列an是不是等差数列?。