导引 包含

1、第第 16 讲讲 构造论证一构造论证一 内容概述 各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手寻找规律。
本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整除性的分析方法。
典型问题 兴趣篇 1.如图 16-1，用1 2和1 3两种规格的小长方形地板砖铺满地面，至少需要地板砖多少块？ 2.国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图 16-2 中一个皇后（图中五角星）。

2、 第第 7 讲讲 周期问题周期问题 典型问题典型问题 兴趣篇 1. 如图，由一系列黑、白三角形按一定的规律排成一行。
请问：第 26 个图形应该是什么样子？ 2. 在学校运动会的开幕式上，46 名同学组成仪仗队站成一排。
如图所示，每人手里都举着一面彩旗，从左 到右颜色依次是红、黄、蓝、绿四种颜色依次循环。
最右侧的同学手里的彩旗是多少颜色的？ 3. 如图所示，将自然数从 1 开始顺次写在。

3、第第 17 讲讲 计算综合一计算综合一 内容概述 了解等比数列的基本概念，学会利用错位相减的方法进行求和；灵活使用各种方法简化比较复杂的分数算 式；具有一定综合性的“定义新运算”问题；较复杂的数列与数表问题。
典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.计算： （1）1248163264128256； （2） 11111111 1 248163264128256 。
2.计算： 23456 33333 。

4、第第 11 讲讲 约数与倍数约数与倍数 内容概述 掌握约数与倍数的概念，学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方 法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题。
典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.（1）请写出 105 的所有约数； （2）请写出 72 的所有约数。
2.（1）20000 的约数有多少个？（2）720 的约数有多少个？ 3.计算： （1）。

5、第第 19 讲讲 工程问题工程问题 内容概述 掌握工作总量、工作效率、工作时间的基本概念和关系；理解“单位 1”的概念并灵活应用；熟悉多人、多工 程、效率变化等各种形式的问题；学会处理“水池注水”形式的问题。
典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.甲、乙两辆车运一堆煤，如果只用甲车运，15 小时可以运完；如果只用乙车运，10 小时可以运完。
请问： （1）如果两车一起运，多少小时可以运完？ （2）如果甲车从早。

6、第第 10 讲：讲：几何计数几何计数 内容概述内容概述 合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方 格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算。
典型问题典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.如图 10-1，线段ABBCCDDE、的长度都是 3 厘米。
请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度 之和是多少厘米？ 2.小明把巧克力棒摆成了。

7、第第 21 讲讲 数数字字问题问题 内容概述内容概述 各种与数字有关的数字谜问题。
学会位值原理的分析方法；综合应用已学的数字谜技巧和数论知识。
兴趣篇兴趣篇 1.一个两位等于它的数字和的 6 倍，求这个两位数。
2.今年是 2008 年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同”。
请问：小王今年多大？ 3.用 3 个不同的数字组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是。

8、第第 12 讲讲 余数余数 内容概述：内容概述： 掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法。
学会利用余数的可加性、可减 性和可乘性计算余数；学会运用周期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数”问题。
典型问题 兴趣篇兴趣篇 1. 72 除以一个数，余数是除以一个数，余数是 商可能是多少？。
商可能是多少？ 2. 100 和和 84 除以同一个数，得到的余数相同，但余数。

9、第第 2 讲讲 数的整除数的整除 内容概述： 掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。
通过分析整除特征解决数的补填 问题，以及多位数的构成问题等。
典型问题： 兴趣篇兴趣篇 1.下面有 9 个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，2412在这些自然数中，请问： （1）有哪些数能被 2 整除？哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？ （2）有哪。

10、1 2019上中学教育知识与能力考试真题一单项选择题本大題共21 小题每小题 2 分，共 42 分1. 传统教育派代表人物赫尔巴特主张的 三中心 是指A 教师中心，教材中心和课堂中心B 儿童中心经验中心和活动中心C 管理中心活动中心和教学中。

11、215;22+56 33+5644 (2) 22233+88966.3. 计算：(1) 3747+36 53 (2) 12376124 74. 计算：10099+9897+9695+ +1211+10.5. 计算：50+494847+46+454443+43+2+1.6. 计算：(1+3+5+7+199+201) (2+4+6+8+198+200).7. 计算：1+2+3+4+48+49+50+49+48+4+3+2+1.8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。
游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个 7 和 8 组成的口令进行一连串的变换。
口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。
例如：给出的数是 1995，口令是“87， ”在第一个口令“8”发出后变成 995，在第二个口令“7”发出后变成 999如果给出数“6595”以及口令“87878。

12、与排除原理，简称容斥原理 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含” 进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B 类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类 的元素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示如下： 知识梳理 教学目标 1先包含AB 重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2再排除ABAB 把多加了1次的重叠部分AB减去 在解答有关包含排除问题时。

13、学目标 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理 一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积1先包含重叠部分计算了次，多加了次；2再排除把多加了次的重叠部分减去 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去(意思。

14、在一群小朋友中，有 12 人看过动画片黑猫警长 ，有 21 人看过动画片大闹天宫 ，并且有 8 人两部动画片都看过请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？3五年级一班 45 个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有 10 人，数学及语文均得满分的有 3 人，这两科都没有得满分的有 29 人请问：语文成绩得满分的有多少人？4某餐馆有 27 道招牌菜小悦吃过其中的 13 道，冬冬吃过其中的 7 道，而且有 2 道菜是两人都吃过的请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？5如图 4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为 30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为 2请问：(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？(2)只被这 3 个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？6在一个由 30 人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有 10 个人爱喝红茶，12 个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？7光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别。

15、目标 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理 一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积1先包含重叠部分计算了次，多加了次；2再排除把多加了次的重叠部分减去 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去(意思是。

16、若一个集合是空集，则没有真子集，故错；画图易知正确2已知集合A0,1,2，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A6B5C4D3答案A解析集合0,1,2的子集为：，0，1，2，0,1，0,2，1,2，0,1,2，其中含有偶数的集合有6个3设集合Px|yx2，Q(x，y)|yx2，则P与Q的关系是()APQBPQCPQD以上都不对答案D解析集合P是指函数yx2的自变量x的取值范围，集合Q是指所有二次函数yx2图象上的点，故P，Q不存在谁包含谁的关系4已知集合Ax|1x4，Bx|xa，若AB，则实数a满足()Aa4Ba4Ca4Da4答案D解析由AB，结合数轴，得a4.5集合1,0,1共有_个子集答案8解析由于集合中有3个元素，故该集合有238(个)子集。

17、a1)x10的根一定有两个吗？答案不一定预习导引1集合之间的关系关系概念符号表示图形表示子集如果集合B的每个元素都是集合A的元素，就说B包含于A，或者说A包含B.若B包含于A，称B是A的一个子集BA或真子集如果B是A的子集，但A不是B的子集，就说B是A的真子集BA集合相等如果B是A的子集，A也是B的子集，就说两个集合相等AB全集、补集如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合I的元素和子集，就可以约定把集合I叫作全集若A是全集I的子集，I中不属于A的元素组成的子集叫作A的补集IA2.常用结论(1)任意一个集合A都是它本身的子集，即AA.(2)空集是任意一个集合的子集，即对任意集合A，都有A.题型一有限集合的子集确定问题例1写出集合A1,2,3的所有子集和真子集解由0个元素构成的子集：；由1个元素构成的子集：1，2，3；由2个元素构成的子集：1,2，1,3，2,3；由3个元素构成。

18、第第 4 讲讲 包含与排除包含与排除 内容概念： 有重叠部分的若干对象的计数问题，能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合 文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重 复计数问题。
典型问题： 兴趣篇兴趣篇 1. 暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”。
他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两 人都去过的。
如果小悦去过其。