1、2018-2019学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题4分，共56分把答案填在答题卡指定位置上1（4分）已知集合A1，2，3，B1，X，若ABA，则实数x的值为 2（4分） 3（4分）已知|3，|6，的夹角为60，则（+） 4（4分）已知tan（+），tan（），那么tan（+）的值是 5（4分）函数ycos2xcosx的值域是 6（4分）已知函数f（x）Asin（x+）（xR）（其中A0，）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为（，3），则该函数的解析式为f（x） 7（4分）把函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位，得到函
2、数yg（x）的图象，则函数yg（x）的单调递减区间是 8（4分）九章算术）是我国古代数学成就的出代表作，其中（方田）章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是 9（4分）函数f（x）x24x（1xa）的值域为4，5，则实数a的取值范围为 10（4分）a则a，b，c的大小关系用“”连接是 11（4分）已知函数yf（x）为偶函数，且yf（x）在（0，+）上单调递增，f（1）0，f（0）1，则f（x1）0的解集为 1
3、2（4分）已知下列命题，写出所有正确的命题的题号： ：函数ytanx在第一象限是增函数；函数ycos2（x）是偶函数； 函数y4sin（2x）的一个对称中心是（，0）；函数ysin（x+）在闭区间，上是增函数13（4分）如图，扇形AOB的圆心角为，半径为1M，N分别是半径OB，OA的中点，点P是弧AB上任意一点，则的取值范围是 14（4分）偶函数yf（x）满足f（x+3）f（3x），在x3，0时，f（x）2x若存在x1，x2，xn满足0x1x2xn，且|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xn1）f（xn）|2019，则xn最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共64分解答
4、时应写出文字说明、证明过程成演算步骤15（10分）函数f（x）ln（x3）的定义域为A，集合Bx|a1xa+3，其中aR（1）若a2，求AB；（2）若ABA，求实数a的取值范围16（10分）已知向量（cos，sin），（1，2）（1）若，求的值；（2）若|，求tan的值17（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点（1）A、B、C三点满足+，求证：A、B、C三点共线；（2）已知A（sinx，cosx），B（cosx，cosx），函数f（x）（+），求使不等式f（x）成立的x的取值范围18（10分）（1）求cos15的值并写出“两角差的余弦公式”（角用，表示）（2）证明“两角差的余弦公式”（备用
5、图是单位圆，如果用到备用图请在答卷上作图）19（12分）如图，学校图书馆前有一块矩形草坪，草坪长AB80米，宽BC40米，为了便于师生体闲散步，打算在这块草坪内铺设三条小路，要求三条小路连成直角三角形，其中两条路的一端在草坪长的中点处（此处为所成直角三角形的直角顶点），另一端分别在草坪两条宽上，三条路铺设费用均为每米500元，铺设这三条小路至少需要经费多少元？20（12分）设函数f（x）ax（k+1）ax（a0且a1）是定义域为R的奇函数（1）若f（1）0，求k的值并判断函数f（x）的单调性（要说明理由）；（2）在（1）的条件下若不等式f（sin2+cos2）+f（1mcos）0对所有的（0，
6、）恒成立，求m的取值范围；（3）若f（1），g（x）a2x+a2x2tf（x），且g（x）在1，2上的最小值为2，求t的值2018-2019学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题4分，共56分把答案填在答题卡指定位置上1（4分）已知集合A1，2，3，B1，X，若ABA，则实数x的值为2或3【分析】根据ABA即可得出BA，从而得出x2或3【解答】解：ABA；BA；x2或3故答案为：2或3【点评】考查并集、子集的定义，列举法的定义，元素与集合的关系2（4分）【分析】将所求式子中的角变形为+，然后利用诱导公式sin（+）sin化简后，再利用
7、特殊角的三角函数值即可求出值【解答】解：sinsin（+）sin故答案为：【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键3（4分）已知|3，|6，的夹角为60，则（+）18【分析】利用已知条件结合向量的夹角以及向量的数量积运算法则求解即可【解答】解：|3，|6，的夹角为60，则（+）9+18故答案为：18【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，考查计算能力4（4分）已知tan（+），tan（），那么tan（+）的值是【分析】直接利用两角和的正切函数公式求解即可【解答】解：因为tan（+），所以tan（+）tan（+）（）故答案为：【
8、点评】本题考查两角和与差的三角函数，基本知识的考查5（4分）函数ycos2xcosx的值域是，2【分析】直接利用三角函数的有界性，结合二次函数的性质求解即可【解答】解：ycos2xcosx，令cosxt （1t1），则yt2t（t）2，1t1，当x时，ymin；当x1时，ymax2函数ycos2xcosx的值域为，2故答案为：，2【点评】本题考查了二次函数值域的求法，考查了换元法和配方法，是中档题6（4分）已知函数f（x）Asin（x+）（xR）（其中A0，）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为（，3），则该函数的解析式为f（x）3sin（2x+）【分析】根据条件先求出
9、函数的周期和，利用最值点代入求出A和即可【解答】解：图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，即，则T，即2，图象上一个最高点为（，3），A3，则f（x）3sin（2x+），为f（）3sin（2+）3，即sin（+）1，0，+，即，则f（x）3sin（2x+），即函数的解析式为f（x）3sin（2x+），故答案为：3sin（2x+）【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数的性质求出周期和 和的值是解决本题的关键7（4分）把函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位，得到函数yg（x）的图象，则函数yg（x）的单调递减区间是（kZ）【分析】首先利用函数关系式的平移变换求出正弦型函数的解析式
10、，进一步利用整体思想求出函数的单调递减区间【解答】解：函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位，得到函数yg（x）sin（2x）的图象令：（kZ），解得：（kZ），所以函数的单调递减区间为：（kZ）故答案为：（kZ）【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型8（4分）九章算术）是我国古代数学成就的出代表作，其中（方田）章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之
11、差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是42平方米【分析】根据在直角三角形的边角关系求出弦AB，以及弦长“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算即可【解答】解：如图，由题意可得AOB，OA4，在RtAOD中，AOD，DAO，ODAO42，可得矢422，由ADAOsin42，可得弦AB2AD4，所以弧田面积（弦矢+矢2）（42+22）42平方米，故答案为：42平方米【点评】本题考查扇形的弧长公式和面积公式的运用，结合弧田面积公式分别求出对应的弦和矢是解决本题的关键9（4分）函数f（x）x24x（1xa）的值域为4，5，则实数a的取值范围为2，5【分析】根据二次函数的
12、解析式，求出函数的对称轴，结合函数值域确定定义域的范围即可【解答】解：f（x）（x2）24，对称轴为x2，由（x2）245，得（x2）29，即x23或x23，即x5或x1，f（1）5，f（2）4，2a5，即实数a的取值范围是2，5，故答案为：2，5【点评】本题主要考查一元二次函数值域的应用，利用二次函数的对称性是解决本题的关键10（4分）a则a，b，c的大小关系用“”连接是bac【分析】容易看出，从而可用“”连接a，b，c【解答】解：，；bac故答案为：bac【点评】考查分数指数幂的运算，指数函数的单调性，以及增函数的定义11（4分）已知函数yf（x）为偶函数，且yf（x）在（0，+）上单调递
13、增，f（1）0，f（0）1，则f（x1）0的解集为（，0）（2，+）【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出f（x）的草图，结合图象先求出（x）0的解，然后进行求解即可【解答】解yf（x）为偶函数，且yf（x）在（0，+）上单调递增，f（1）0，f（0）1，作出函数f（x）的图象如图：则f（x）0的解为x1或x1，由x11或x11，得x2或x0，即不等式，f（x1）0的解集（，0）（2，+），故答案为：（，0）（2，+）【点评】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质作出函数f（x）的图象是解决本题的关键12（4分）已知下列命题，写出所有正确的命题的题号：函数ytanx在第一象限
14、是增函数；函数ycos2（x）是偶函数； 函数y4sin（2x）的一个对称中心是（，0）；函数ysin（x+）在闭区间，上是增函数【分析】直接举反例说明命题错误；化简函数ycos2（x），然后代值验证说明错误；由x时y4sin（2x）0说明命题正确【解答】解：对于，取，但函数ytanx在第一象限不是增函数命题错误；对于，函数ycos2（x）当x时，y1当x时，y0函数ycos2（x）是非奇非偶函数命题错误；对于，当x时，y4sin（2x）0函数y4sin（2x）的一个对称中心是（，0）命题正确；对于，x时，y1x时，y函数ysin（x+）在闭区间，上是增函数错误故正确命题的题号是故答案为：【点
15、评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象与性质，属中档题13（4分）如图，扇形AOB的圆心角为，半径为1M，N分别是半径OB，OA的中点，点P是弧AB上任意一点，则的取值范围是，【分析】可设POM，将所求用向量、和表示，利用向量的数量积公式表示为的代数式，再利用三角函数求范围【解答】解：由题意，设POM，则（+）（+）+（）（）+（）+（）+111cos11cos11cos（）+1cos（cos+sin）+1（cos+sin）sin（+），因为0，所以+，所以sin（+），1，所以的取值范围是，故答案为：，【点评】本题考查了向量的数量积运算以及三角函数的恒等变形求范围问题，关键
16、是将所求用向量的夹角表示，利用三角函数的有界性求范围14（4分）偶函数yf（x）满足f（x+3）f（3x），在x3，0时，f（x）2x若存在x1，x2，xn满足0x1x2xn，且|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xn1）f（xn）|2019，则xn最小值为1012【分析】由函数yf（x）是最小正周期为6的偶函数可知函数的值域为1，8，对任意xi，xj（i，j1，2，3，m），都有|f（xi）f（xj）|f（x）maxf（x）min7，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i1，2，3，m）取得最高点，然后可得xn的最小值【解答】解：偶函数yf（x）满足f（x+3）f（3x）
17、f（x3），f（x+6）f（x），函数yf（x）是最小正周期为6的偶函数，且在x3，0时，f（x）2x函数的值域为1，8，对任意xi，xj（i，j1，2，3，m），都有|f（xi）f（xj）|f（x）maxf（x）min7，若0x1x2xn3，x3，0时，f（x）2x单调递减，根据偶函数的对称性可知x0，3时，f（x）2x单调递增，f（0）1，f（3）f（3）8， 要使xn取最小值，尽可能多让xi（i1，2，3n）取最高点与最低点，满足0x1x2xn，且|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xn1）f（xn）|2019，20197288+3，|f（0）f（3）|+|f（3）
18、f（6）|+|f（864）f（867）|+|f（1008）f（1009）|+|f（1009）f（1012）|4504+|f（0）f（1）|+|f（1）f（3）|4504+|01|+|0+1|2018，则xn最小值为1012，故答案为：1012【点评】本题考查函数的图象和性质，考查函数的有界性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题二、解答题：本大题共6小题，共64分解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤15（10分）函数f（x）ln（x3）的定义域为A，集合Bx|a1xa+3，其中aR（1）若a2，求AB；（2）若ABA，求实数a的取值范围【分析】（1）可求出A
19、x|x3，a2时，得出集合Bx|1x5，然后进行交集的运算即可；（2）根据ABA可得出BA，从而得出a13，解出a的范围即可【解答】解：（1）Ax|x3，a2时，Bx|1x5；ABx|3x5；（2）ABA；BA；a13；a4；实数a的取值范围为（4，+）【点评】考查函数定义域的概念及求法，描述法的定义，以及交集的运算，并集和子集的定义16（10分）已知向量（cos，sin），（1，2）（1）若，求的值；（2）若|，求tan的值【分析】（1）由已知结合向量共线的坐标运算求得tan，然后化弦为切求解的值；（2）由|，得2sincos2，联立平方关系可得sin，cos的值，则答案可求【解答】解：（1
20、）（cos，sin），（1，2），由，得2cossin，tan2；（2）由|，得（cos+1）2+（sin2）22，2sincos2，联立，又，解得tan【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查平面向量共线的坐标运算，是基础的计算题17（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点（1）A、B、C三点满足+，求证：A、B、C三点共线；（2）已知A（sinx，cosx），B（cosx，cosx），函数f（x）（+），求使不等式f（x）成立的x的取值范围【分析】（1）两边同时减去，易得为共线向量，得证；（2）利用数量积把f（x）转化为三角函数，从而解三角不等式，得解【解答】解：（1）证明：由，得，得，
21、为共线向量，A，B，C三点共线；（2）f（x）（sinx，cosx）（sinx+cosx，2cosx）sin2x+sinxcosx+2cos2x1+sin2x+sin（2x+），由f（x），得sin（2x+）0，2k2x2k+，kZ，k，kZ，故x的取值范围为k，k，kZ【点评】此题考查了数量积，三角公式，三角不等式等，难度不大18（10分）（1）求cos15的值并写出“两角差的余弦公式”（角用，表示）（2）证明“两角差的余弦公式”（备用图是单位圆，如果用到备用图请在答卷上作图）【分析】（1）利用两角和差的余弦公式进行求解即可（2）在单位圆中，作出两个向量，利用向量数量积的定义和坐标公式进行求
22、解即可【解答】解：（1）cos15cos（4530）cos45cos30+sin45sin30，两角差的余弦公式为cos（）coscos+sinsin（2）：如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作一单位圆，再以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角，设它们的终边分别交单位圆于点P1（cos，sin），P2（cos，sin），即有两单位向量，它们的所成角是|，根据向量数量积的性质得：，cos（）cos|又根据向量数量积的坐标运算得：，coscos+sinsin由得 cos（）coscos+sinsin【点评】本题主要考查两角和差的应用和推导，利用向量数量积的定义以及坐标公式是解决本题的关键1
23、9（12分）如图，学校图书馆前有一块矩形草坪，草坪长AB80米，宽BC40米，为了便于师生体闲散步，打算在这块草坪内铺设三条小路，要求三条小路连成直角三角形，其中两条路的一端在草坪长的中点处（此处为所成直角三角形的直角顶点），另一端分别在草坪两条宽上，三条路铺设费用均为每米500元，铺设这三条小路至少需要经费多少元？【分析】设BOE，用表示出三条小路的长度，根据三角变换和的范围得出经费的最小值【解答】解：由题意可知OAOB40，设BOE，则AOF，AFOOE，OF，EF三条小路的总长为+BE40tan40，AF40，tan令sin+cost，则sincos，又tsin+cossin（+），t当
24、t时，取的最小值80（+1）铺设这三条小路至少需要经费50080（）40000（+1）元【点评】本题考查了三角恒等变换，解三角形的应用，求出的范围是解题关键所在20（12分）设函数f（x）ax（k+1）ax（a0且a1）是定义域为R的奇函数（1）若f（1）0，求k的值并判断函数f（x）的单调性（要说明理由）；（2）在（1）的条件下若不等式f（sin2+cos2）+f（1mcos）0对所有的（0，）恒成立，求m的取值范围；（3）若f（1），g（x）a2x+a2x2tf（x），且g（x）在1，2上的最小值为2，求t的值【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可（2）利用函数奇偶
25、性和单调性的性质，进行转化，利用参数分离法转化为求出最值问题即可（3）根据f（1），求出a的值，利用换元法转化为一元二次函数，讨论对称轴与区间的关系进行求解【解答】解：（1）f（x）是定义域为R的奇函数，f（0）0，即f（0）1（k+1）k0，得k0，则f（x）axax，f（1）0，f（1）aa10，即a，得a21，得a1或a1（舍），此时f（x）为增函数，yax是增函数yax是减函数，f（x）axax，是增函数（2）不等式f（sin2+cos2）+f（1mcos）0得不等式f（sin2+cos2）f（1mcos）f（mcos1），f（x）axax，是增函数，sin2+cos2mcos1，所有
26、的（0，）恒成立，即2sincos+2cos21mcos1，得2sincos+2cos2mcos，（0，），cos0，等价为2sin+2cosm在（0，）恒成立，2sin+2cos2sin（+），当（0，）时，+（，），当+时，2sin+2cos取得最大值为2sin2，则m2（3）若f（1），则f（1）aa1，即2a23a20，得a，（舍）或a2，则g（x）a2x+a2x2tf（x）a2x+a2x2t（axax）（2x2x）22t（2x2x）+2，设mf（x）2x2x，则函数m2x2x为增函数，f（2）4，且m，则yh（m）m22tm+2（mt）2+2t2，若t，函数的最小值为h（）（）22t+22，得t，此时t无解，若t，函数的最小值为h（）（）22t+22，得t，此时t无解，若t，函数的最小值为h（t）2t22，得t24，即t2【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，以及不等式恒成立问题，利用换元法转化是为一元二次函数是解决本题的关键综合性较强，运算量较大
