1、2018-2019学年江苏省连云港市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上1（5分）若直线过两点A（1，2），B（3，6），则该直线的斜率为（）A2B3C4D52（5分）不等式x22x30的解集为（）A（3，1）B（，3）（1，+）C（1，3）D（，1）（3，+）3（5分）在ABC中，若b2asinB，则A（）A30B60C60或120D30或1504（5分）已知x1，则x+的最小值为（）A3B4C5D65（5分）若直线x+2ay2a+2与直线ax+2y0平行，则
2、实数a（）A0B1C1D16（5分）若连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P的坐标，则点P落在圆x2+y215内的概率为（）ABCD7（5分）点P（1，2）到直线kxyk0的距离的最大值为（）A2BC2D38（5分）在空间中，有三条不重合的直线a，b，c，两个不重合的平面，其中正确的是（）A若a，b，则abB若ba，ca，则bcC若a，则aD若a，b，则ab9（5分）圆（x+2）2+y24与圆（x2）2+（y1）29的位置关系为（）A内切B相交C外切D相离10（5分）已知圆C1：x2+y2a关于直线l对称的圆为圆C2：x2+y2+2x2ay+30，则直线l的方程为（）A2x4y+50B2x+4
3、y+50C2x4y50D2x+4y5011（5分）已知x0，y0，2xy，则2x+y的最小值为（）AB2C3D412（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y24，圆C2：x2+y26，点M（1，0），动点A，B分别在圆C1和圆C2上，且MAMB，N为线段AB的中点，则MN的最小值为（）A1B2C3D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上13（5分）若方程x2+y2+2mx4y+2m2+30表示圆，则实数m的取值范围为 14（5分）若正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为 15（5分）随机抽取10
4、0名年龄在10，20），20，30），50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在50，60）年龄段抽取的人数为 16（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y21，圆O1：（x+4）2+y24，动点P在直线l：x2y+b0上（其中b0），过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB2PA的点P有且只有一个，则实数b的值为 三、解答题：共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知圆C过两点A（1，1
5、），B（1，3），且圆心在直线x+y+30上（1）求圆C的标准方程；（2）求过点B且与圆C相切的直线方程18（12分）如图，在四棱锥EABCD中，平面EDC平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EDEC，点F，G分别是EC，AB的中点，求证：（1）直线FG平面ADE；（2）平面ADE平面EBC19（12分）在ABC中，已知abccosBccosA（1）判断ABC的形状；（2）若C120，a2，求c20（12分）设f（x）ax2+（1a）x+a2（1）若不等式f（x）2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）a1（aR）21（12分）如图，三条直线型公路l1，l2，
6、l3，在点O处交汇，其中l1与l2、l1与l3的夹角都为，在公路l1上取一点A，且OA2km，过A铺设一直线型的管道BC，其中点B在l2上，点C在l3上（l2，l3足够长），设OBakm，OCbkm（1）求出a，b满足的关系式；（2）试确定B，C的位置，使得公路OB段与OC段的长度之和最小22（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O的方程为x2+y216，过点M（0，1）的直线l与圆O交于点A，B（1）若AB3，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴交于点N，设，求m+n的值2018-2019学年江苏省连云港市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5
7、分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上1（5分）若直线过两点A（1，2），B（3，6），则该直线的斜率为（）A2B3C4D5【分析】直接利用过两点的斜率公式求解【解答】解：两点A（1，2），B（3，6），故选：A【点评】本题考查由直线上的两点坐标求直线的斜率，是基础题2（5分）不等式x22x30的解集为（）A（3，1）B（，3）（1，+）C（1，3）D（，1）（3，+）【分析】把不等式左边的二次三项式因式分解后求出二次不等式对应方程的两根，结合二次函数的图象可得二次不等式的解集【解答】解：由x22x30，得（x+1）（x
8、3）0，解得x1或x3所以原不等式的解集为x|x1或x3，故选：D【点评】本题考查一元二次不等式的解法，训练了因式分解法，是基础题3（5分）在ABC中，若b2asinB，则A（）A30B60C60或120D30或150【分析】利用正弦定理，可把b2asinB变形为sinB2sinAsinB，从而解出sinA，进而求出A【解答】解：将a2RsinA，b2RsinB代入b2asinB中，得2RsinB22RsinAsinB，解得sinA，0A180，A30或150故选：D【点评】本题利用了正弦定理的变形a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，比较简单4（5分）已知x1，则x+的最小值为（）
9、A3B4C5D6【分析】利用基本不等式即可得出【解答】解：x1，+15当且仅当x3时取等号故选：C【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键5（5分）若直线x+2ay2a+2与直线ax+2y0平行，则实数a（）A0B1C1D1【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解【解答】解：直线x+2ay2a+2与直线ax+2y0平行，解得实数a1故选：B【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）若连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P的坐标，则点P落在圆x2+y215内的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数n6636，利用列举法求出点P落在圆
10、x2+y215内包含的基本事件有8个，由此能求出点P落在圆x2+y215内的概率【解答】解：连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P的坐标，基本事件总数n6636，点P落在圆x2+y215内包含的基本事件有8个，分别为：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，2），（2，3），（3，2），则点P落在圆x2+y215内的概率为p故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（5分）点P（1，2）到直线kxyk0的距离的最大值为（）A2BC2D3【分析】求出直线恒过的定点，再由两点间的距离公式求解【解答】解：由kxyk0，得
11、k（x1）y0，直线kxyk0过点（1，0），点P（1，2）到直线kxyk0的距离的最大值为故选：A【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，考查数学转化思想方法，是基础题8（5分）在空间中，有三条不重合的直线a，b，c，两个不重合的平面，其中正确的是（）A若a，b，则abB若ba，ca，则bcC若a，则aD若a，b，则ab【分析】由线面平行的性质和线线的位置关系可判断A；由线线的位置关系可判断B；由线面垂直的性质和面面平行的性质可判断C；由面面平行的定义可判断D【解答】解：三条不重合的直线a，b，c，两个不重合的平面，若a，b，则ab，或a，b异面，或a，b相交，故A错误；若ba，ca，则bc
12、，b，c异面，或b，c相交，故B错误；若a，则a，故C正确；若a，b，则ab或a，b异面，故D错误故选：C【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，以及推理能力，属于基础题9（5分）圆（x+2）2+y24与圆（x2）2+（y1）29的位置关系为（）A内切B相交C外切D相离【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系【解答】解：圆（x+2）2+y24的圆心C1（2，0），半径r2圆（x2）2+（y1）29的圆心C2（2，1），半径R3，两圆的圆心距d，R+r5，Rr1，R+rdRr，所以两圆相交，故
13、选：B【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径10（5分）已知圆C1：x2+y2a关于直线l对称的圆为圆C2：x2+y2+2x2ay+30，则直线l的方程为（）A2x4y+50B2x+4y+50C2x4y50D2x+4y50【分析】分别求出两圆的圆心坐标与半径，由半径相等求得a，再求出两圆心的中点坐标，由直线方程的点斜式求解【解答】解：圆C1：x2+y2a的圆心坐标为（0，0），半径为，圆C2：x2+y2+2x2ay+30，即（x+1）2+（ya）2a22，其圆心坐标为（1，a），半径为由题意，解得a2圆C2的圆心为（1，2），则（0，0）与（1，2）的中点为
14、（，1），直线l的斜率为，直线l的方程为y1（x+），即2x4y+50故选：A【点评】本题考查圆关于直线的对称圆的求法，考查计算能力，是基础题11（5分）已知x0，y0，2xy，则2x+y的最小值为（）AB2C3D4【分析】由题意可得2x+y+，即有（2x+y）2（+）（2x+y），展开后运用基本不等式，计算可得所求最小值【解答】解：x0，y0，2xy，可得2x+y+，即有（2x+y）2（+）（2x+y）10+10+218，即有2x+y3，当且仅当y2，x时，2x+y取得最小值3故选：C【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用“1”的代换，以及等号成立的条件，考查转化思想和运算能力，
15、属于中档题12（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y24，圆C2：x2+y26，点M（1，0），动点A，B分别在圆C1和圆C2上，且MAMB，N为线段AB的中点，则MN的最小值为（）A1B2C3D4【分析】设A（x1，y1）、B（x2，y2），由已知条件可得|AB|2122（x1+x2）设AB中点为N（x0，y0），则|AB|2124x0，利用线段的中点公式求得（x0）2+y02，再由x0的范围求得|AB|的范围，则|MN|的最小值可求【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则|AB|2（x2x1）2+（y2y1）2102（x1x2+y1y2）2x12，MAMB，（x11
16、，y1）（x21，y2）0，即 （x11）（x21）+y1y20，x1x2+y1y2x1+x21，|AB|2102（x1+x21）122（x1+x2）设AB中点N（x0，y0），则|AB|2124x0，4（x02+y02）10+2（x1x2+y1y2）10+2（x1+x21）8+4x0，即（x0）2+y02，点N（x0，y0）的轨迹是以（，0）为圆心、半径等于的圆，x0的取值范围是，2，4|AB|220，|AB|的范围为2，2，则|MN|AB|的最小值为1故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式，圆的标准方程，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请
17、把答案直接填写在答题卡相应位置上13（5分）若方程x2+y2+2mx4y+2m2+30表示圆，则实数m的取值范围为（1，1）【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件分析可得（2m）2+424（2m2+3）0，变形解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，若方程x2+y2+2mx4y+2m2+30表示圆，必有（2m）2+424（2m2+3）0，变形可得：m21，解可得：1m1，即m的取值范围为（1，1）；故答案为：（1，1）【点评】本题考查圆的一般方程的形式，涉及不等式的解法，属于基础题14（5分）若正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为4【分析】先求出该正四棱锥的
18、高，再求出该正四棱锥的底面积，由此能求出该正四棱锥的体积【解答】解：正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，该正四棱锥的高为：h1，该正四棱锥的底面积为：S12，该正四棱锥的体积：V4故答案为：4【点评】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题15（5分）随机抽取100名年龄在10，20），20，30），50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在50，60）年龄段抽取的人数为3【分析】由样本的频率分布直方图得不小于40岁的人所占频率为0.2
19、，50，60）的频率为0.05，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，由此能求出在50，60）年龄段抽取的人数【解答】解：由样本的频率分布直方图得：小于40岁的人所占频率为：（0.015+0.005）100.2，50，60）的频率为：0.005100.05，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在50，60）年龄段抽取的人数为：123故答案为：3【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y21，圆O1：（x+4）2+y24，动点P在直线l：x2y+
20、b0上（其中b0），过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB2PA的点P有且只有一个，则实数b的值为【分析】求出P的轨迹方程为圆，由动点P在直线x2y+b0上，且满足PB2PA的点P有且只有一个，转化为直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径列式即可求出实数b的值【解答】解：由题意O（0，0），O1（4，0），设P（x，y），PB2PA，|PB|24|PA|2，（x+4）2+y244x2+4y24，整理得3x2+3y28x160其圆心坐标为（，0），半径为动点P在直线x2y+b0上，满足PB2PA的点P有且只有一个，该直线与圆得3x2+3y28x160相切，圆心到直线的距离满足
21、d，解得：b故答案为：【点评】本题考查求点的轨迹方程以及直线与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题三、解答题：共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知圆C过两点A（1，1），B（1，3），且圆心在直线x+y+30上（1）求圆C的标准方程；（2）求过点B且与圆C相切的直线方程【分析】（1）设圆心坐标C为（a，a3），由CACB列式求得a，则圆心C的坐标与圆C的半径可求，则圆C的方程可求；（2）设切线为l，由两点求斜率公式求得BC的斜率，再由lBC求得直线l的斜率，由直线方程的点斜式得答案【解答】解：（1）设圆心坐标C为（a，
22、a3），由CACB，得，解得a4，圆心（4，1），半径r5，圆C的标准方程为（x+4）2+（y1）225；（2）设切线为l，B（1，3）在圆C上，lBC又，kBCkl1，则直线l的方程为，整理得：切线方程为3x4y90【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查了直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是基础题18（12分）如图，在四棱锥EABCD中，平面EDC平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EDEC，点F，G分别是EC，AB的中点，求证：（1）直线FG平面ADE；（2）平面ADE平面EBC【分析】（1）取DE中点H，连接FH，AH，推导出四边形ABCD为矩形，四边形AGFH为平行四边形，从而F
23、GAH，又FG面ADE，AH面ADE，由此能证明直线FG面ADE（2）推导出BCDC，从而BC面DEC，进而EDBC，由EDEC，得ED面EBC，由此能证明平面ADE平面EBC【解答】证明：（1）取DE中点H，连接FH，AH，在EDC中，H，F分别为DE，EC中点，则FHDC，且FHDC，又四边形ABCD为矩形，G为AB中点，AGDC，且AGDC，FHAG，且FHAG，故四边形AGFH为平行四边形，从而FGAH，又FG面ADE，AH面ADE，直线FG面ADE（2）矩形ABCD，BCDC，又平面EDC面ABCD，面EDC面ABCDDC，BC面ABCD，BC面DEC，又ED面DEC，则EDBC，又
24、EDEC，BCECC，ED面EBC，又ED面ADE，平面ADE平面EBC【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）在ABC中，已知abccosBccosA（1）判断ABC的形状；（2）若C120，a2，求c【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cosC（sinBsinA）0，可得cosC0或sinBsinA0，解得C90，或AB，即可得解（2）由已知可求ab2，由余弦定理可求c的值【解答】解：（1）由正弦定理及abccosBccosA，可得：sinAsinBsinCcosBsinC
25、cosA，可得：sin（B+C）sin（A+C）sinCcosBsinCcosA，可得：sinBcosC+cosBsinCsinAcosCcosAsinCsinCcosBsinCcosA，可得：sinBcosCsinAcosC0，则cosC（sinBsinA）0，则cosC0或sinBsinA0，所以C90，或AB，所以ABC为直角三角形或等腰三角形（2）因为C120，则ABC为等腰三角形，从而ab2，由余弦定理c2a2+b22abcosC，得c24+4222cos120，所以c2【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了方程思想和转化思想，属
26、于中档题20（12分）设f（x）ax2+（1a）x+a2（1）若不等式f（x）2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）a1（aR）【分析】（1）由已知可得，ax2+（1a）x+a20对于一切实数x恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论进行求解（2）由已知可得，ax2+（1a）x10，结合二次不等式的求解可求【解答】解：（1）f（x）2对于一切实数x恒成立等价于ax2+（1a）x+a0对于一切实数x恒成立，当a0时，不等式可化为x0，不满足题意；当a0时， 即，解得：a；（2）不等式f（x）a1等价于ax2+（1a）x10当a0时，不等式
27、可化为x1，所以不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式可化为（ax+1）（x1）0，此时，所以不等式的解集为x|；当a0时，不等式可化为（ax+1）（x1）0，当a1时，不等式的解集为x|x1；当1a0时，不等式的解集为x|x或x1；当a1时，不等式的解集为x|x1或x【点评】本题主要考查了二次不等式与二次函数性质的相互转化，及二次不等式的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用21（12分）如图，三条直线型公路l1，l2，l3，在点O处交汇，其中l1与l2、l1与l3的夹角都为，在公路l1上取一点A，且OA2km，过A铺设一直线型的管道BC，其中点B在l2上，点C在l3上（l2，l3足够长），
28、设OBakm，OCbkm（1）求出a，b满足的关系式；（2）试确定B，C的位置，使得公路OB段与OC段的长度之和最小【分析】（1）（法一）观察图形可得SAOB+SAOCSCOB，由此根据三角形的面积公式建立方程，化简即可得到a，b满足的关系式；（法二）以O为坐标原点，OC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，找到各点坐标，根据三点共线即可得到结论；（2）运用“乘1法”，利用基本不等式直接可以求得最值【解答】解：（1）（法一）由图形可知SAOB+SAOCSCOB，2（a+b）ab，即（法二）以O为坐标原点，OC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则O（0，0），C（b，0），由A，B，C三点共线得
29、（注：以O为坐标原点，OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系同样得分）（2），当且仅当ab4（km）时取等号答：当OBOC4km时，公路OB段与OC段的总长度最小为8km【点评】本题主要考查三角形的面积公式及利用基本不等式求最值，属于基础题22（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O的方程为x2+y216，过点M（0，1）的直线l与圆O交于点A，B（1）若AB3，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴交于点N，设，求m+n的值【分析】（1）根据弦长公式直接求解k即可得直线l的方程；（2）根据k存在和不存在讨论，结合向量的坐标运算和设而不求的思想，通过韦达定理即可求解【解答】解（1）当直
30、线l的斜率不存在时，AB8，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为：ykx+1，所以圆心O到直线l的距离d，因为AB3，所以AB32，解得k，所以直线l的方程为yx+1（2）当直线l的斜率不存在时，不妨设A（0，4），B（0，4），N（0，0），因为m，n，所以（0，4）m（0，3），（0，4）n（0，5），所以m，n，所以m+n当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为：ykx+1，因为直线l与x轴交于点N，所以N（0，）直线l与圆O交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（k2+1）x2+2kx150，所以x1+x2，x1x2；因为m，n，所以（x1+，y1）m（x1，y11），（x2+，y2）n（x2，y21），所以m1+，n1+，所以m+n2+（+）2+2+综上，m+n【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属中档题
