1、压轴题分类汇编练习类型一 探究等腰三角形的存在性问题1.（2013昆明）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得AOP是等腰三角形，则这样的点P共有8个考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质专题：压轴题；数形结合分析：建立网格平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解解答：解：如图所示，使得AOP是等腰三角形的点P共有8个故答案为：8点评：本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观2.（2015四川遂宁第25题12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（2，0），B（4，0），C（0，3）三点（1）求该抛物线的
2、解析式；（2）在y轴上是否存在点M，使ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式考点：二次函数综合题.分析：（1）把A（2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c，求解即可；（2）作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则AM1C是等腰三角形，然后求出OM1得出M1的坐标，当CA=CM2时，则AM2C是等腰三角形，求出OM2得出M2的坐标，当CA=AM3时，则AM3
3、C是等腰三角形，求出OM3得出M3的坐标，当CA=CM4时，则AM4C是等腰三角形，求出OM4得出M4的坐标，（3）当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，先求出SBOC，再根据BPDBOC，得出=（）2，=（）2，求出S=SBPD；当点P在y轴左侧时，设直线与AC交与点E，根据=（）2，得出=（）2，求出S=SABCSAPE=9，再整理即可解答：解：（1）把A（2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得：，解得：，则抛物线的解析式是：y=x2+x+3；（2）如图1，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则AM1C是等腰三角形，AC=，C
4、N=，CNM1COA，=，=，CM1=，OM1=OCCM1=3=，M1的坐标是（0，），当CA=CM2=时，则AM2C是等腰三角形，则OM2=3+，M2的坐标是（0，3+），当CA=AM3=时，则AM3C是等腰三角形，则OM3=3，M3的坐标是（0，3），当CA=CM4=时，则AM4C是等腰三角形，则OM4=3，M4的坐标是（0，3），（3）如图2，当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，OB=4，OC=3，SBOC=6，BP=BOOP=4t，=，BPDBOC，=（）2，=（）2，S=SBPD=t23t+6（0t4）；当点P在y轴左侧时，设直线与AC交与点E，OP=t，AP=t+2，=
5、，=（）2，=（）2，SAPE=，S=SABCSAPE=9=t23t+6（2t0）点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意分类讨论，数形结合的数学思想方法3.（2015四川巴中,第31题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx4（a0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条
6、件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m0，n0），连结PB，PD，BD，求BDP面积的最大值及此时点P的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；（2）先求得直线BC的解析式为y=x4，则可设E（m，m4），然后分三种情况讨论即可求得；（3）利用PBD的面积S=S梯形SBODSPFD即可求得解答：解：（1）二次函数y=ax2+bx4（a0）的图象与x轴交于A（2，0）、C（8，0）两点，解得，该二次函数的解析式为y=x2x4；（2）由二次函数y=x2x4可知对称轴x=3，D（3，0），C（8，0），
7、CD=5，由二次函数y=x2x4可知B（0，4），设直线BC的解析式为y=kx+b，解得，直线BC的解析式为y=x4，设E（m，m4），当DC=CE时，EC2=（m8）2+（m4）2=CD2，即（m8）2+（m4）2=52，解得m1=82，m2=8+2（舍去），E（82，）；当DC=DE时，ED2=（m3）2+（m4）2=CD2，即（m3）2+（m4）2=52，解得m3=0，m4=8（舍去），E（0，4）；当EC=DE时，（m8）2+（m4）2=（m3）2+（m4）2解得m5=5.5，E（，）综上，存在点E，使得CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（82，）、（0，4）、（，）（3）
8、过点P作y轴的平行线交x轴于点F，P点的横坐标为m，P点的纵坐标为m2m4，PBD的面积S=S梯形SBODSPFD=m4（m2m4）（m3）（m2m4）34=m2+m=（m）2+当m=时，PBD的最大面积为，点P的坐标为（，）点评：此题考查了学生的综合应用能力，要注意数形结合，认真分析，仔细识图注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求法，注意三角形面积的求法4（2015怀化，第22题8分）如图，已知RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从ABC方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒（1）在运
9、动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（2.24，结果保留一位小数）考点： 相似形综合题分析： （1）如图1，过Q作QEAC于E，连接PQ，由ABCAQE，得到比例式，求得PE=，QE=，根据勾股定理得到PQ2=QE2+PE2，求出PQ=t，当Q与B重合时，PQ的值最大，于是得到当t=5时，PQ的最大值=3；（2）由三角形的面积公式即可求得；（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，分三种情况当CQ=CP时，当PQ
10、=CQ时，当PQ=PC时，列方程求解即可解答： 解：（1）如图1，过Q作QEAC于E，连接PQ，C=90，QEBC，ABCAQE，AQ=2t，AP=t，C=90，AC=8，BC=6，AB=10，PE=，QE=，PQ2=QE2+PE2，PQ=t，当Q与B重合时，PQ的值最大，当t=5时，PQ的最大值=3；（2）如图1，ABC被直线PQ扫过的面积=SAQP，当Q在AB边上时，S=APQE=t=，（0t5）当Q在BC边上时，ABC被直线PQ扫过的面积=S四边形ABQP，S四边形ABQP=SABCSPQC=86（8t）（162t）=t2+16t40，（5t8）；经过t秒的运动，ABC被直线PQ扫过的面
11、积S与时间t的函数关系式：S=或S=t2+16t40（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，由（1）知QE=，CE=ACAE=8，PQ=t，CQ=2，当CQ=CP时，即：2=8t，解得；t=，当PQ=CQ时，即；t=2，解得：t=，t=（不合题意舍去），当PQ=PC时，即t=8t，解得：t=351.7；综上所述：当t=，t=，t=1.7时，PQC为等腰三角形点评： 本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，特别是（3）要分类讨论，不要漏解5.（2014遵义）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C若点P，
12、Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由（3）当P，Q运动到t秒时，APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标【考点】二次函数综合题【专题】代数几何综合题；压轴题【分析】（1）将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标（2）等腰三角形有三种情况，AE
13、=EQ，AQ=EQ，AE=AQ借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标（3）注意到P，Q运动速度相同，则APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示【解答】方法（1）：解：（1）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），解得 ，y=x2x4C（0，4）（2）存在如图1，过点Q作QDOA于D，此时QDOC，A（3，0），B（1，0），C（0，4），O（0，0），AB=4，OA=3，
14、OC=4，AC=5，当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，AQ=4QDOC，QD=，AD=作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即AEQ为等腰三角形，设AE=x，则EQ=x，DE=ADAE=|x|，在RtEDQ中，（x）2+（）2=x2，解得 x=，OAAE=3=，E（，0），说明点E在x轴的负半轴上；以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，ED=AD=，AE=，OAAE=3=，E（，0）当AE=AQ=4时，1当E在A点左边时，OAAE=34=1，E（1，0）2当E在A点右边时，OA+AE=3+4=7，E（7，0）综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（
15、，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（，）理由如下：如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQAP于F，AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，AP=AQ=QD=DP，四边形AQDP为菱形，FQOC，AF=，FQ=，Q（3，），DQ=AP=t，D（3t，），D在二次函数y=x2x4上，=（3t）2（3t）4，t=，或t=0（与A重合，舍去），D（，）方法二：（1）略（2）点P、Q同时从A点出发，都已每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC运动过点Q作x轴垂线，垂足为HA（3，0），C（0，4），lAC：y=x4，点P运动到B点时，点Q停止运动，AP=
16、AQ=4，QH=，Qy=，代入LAC：y=x4得，Qx=，则Q（，），点E在x轴上，设E（a，0），A（3，0），Q（，），AEQ为等腰三角形，AE=EQ，AE=AQ，EQ=AQ，（a3）2=（a）2+（0+）2，a=，（a3）2=（3）2+（0+）2，a1=7，a2=1，（a）2+（0+）2=（3）2+（0+）2，a1=，a2=3（舍）点E的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）（3）P，Q运动到t秒，设P（3t，0），Q（3t，t），KPQ=，KPQ=2，ADPQ，KPQKAD=1，KAD=，A（3，0），lAD：y=x，y=，x1=3（舍），x2=，D（，），DY=QY，即t=
17、，t=，DQAP，DQ=AQ=AP，此时四边形APDQ的形状为菱形【点评】本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目类型二 探究直角三角形的存在性问题1. A.（2015云南,第23题9分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出
18、点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（1）由C的坐标确定出OC的长，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB的长，确定出点B坐标，把B与C坐标代入直线解析式求出k与n的值，确定出直线BC解析式，把A与B坐标代入抛物线解析式求出a的值，确定出抛物线解析式即可；（2）在抛物线的对称轴上不存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分两种情况考虑：当PCCB时，PBC为直角三角形；当PBBC时，BCP为直角三角形，分别求出P的坐标即可解答：解：（1）C（0，3），即OC=3，BC=5，在RtBOC中，根据勾股定理得：OB=4，即B（4，0）
19、，把B与C坐标代入y=kx+n中，得：，解得：k=，n=3，直线BC解析式为y=x+3；由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x1）（x4）=ax25ax+4a，把C（0，3）代入得：a=，则抛物线解析式为y=x2x+3；（2）存在如图所示，分两种情况考虑：抛物线解析式为y=x2x+3，其对称轴x=当PCCB时，PBC为直角三角形，直线BC的斜率为，直线PC斜率为，直线PC解析式为y3=x，即y=x+3，与抛物线对称轴方程联立得，解得：，此时P（，）；当PBBC时，BCP为直角三角形，同理得到直线PB的斜率为，直线PB方程为y=（x4）=x，与抛物线对称轴方程联立得：，解得：，
20、此时P（，2）综上所示，P（，）或P（，2）点评：此题考查的是二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质，以及两直线垂直时斜率的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键1.B（2012云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（1，0），并与直线相交于A、B两点（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作ACAB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有
21、【专题】压轴题【分析】（1）首先求出A点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用相似三角形（RtOCARtOPA）比例线段之间的关系，求出线段OC的长度，从而得到C点的坐标，如题图所示；（3）存在所求的M点，在x轴上有3个，y轴上有2个，注意不要遗漏求点M坐标的过程并不复杂，但要充分利用相似三角形比例线段之间的关系【解答】解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，A（0，2），抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（1，0），解得抛物线的解析式为：y=x2+x+2 （2）直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，P（6，0），A（0，2），OP=6，OA
22、=2ACAB，OAOP，RtOCARtOPA，OAC=OPA，OC=，又C点在x轴负半轴上，点C的坐标为C（，0）（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，令x2+x+2=x+2，解得x1=0，x2=，B（，）如答图所示，过点B作BDx轴于点D，则D（，0），BD=，DP=6=点M在坐标轴上，且MAB是直角三角形，有以下几种情况：当点M在x轴上，且BMAB，如答图所示设M（m，0），则MD=mBMAB，BDx轴，即，解得m=，此时M点坐标为（，0）；当点M在x轴上，且BMAM，如答图所示设M（m，0），则MD=mBMAM，易知RtAOMRtMDB，即，化简得：m2m+=0，解
23、得：m1=，m2=，此时M点坐标为（，0），（，0）；（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）当点M在y轴上，且BMAM，如答图所示此时M点坐标为（0，）；当点M在y轴上，且BMAB，如答图所示设M（0，m），则AM=2=，BM=，MM=m易知RtABMRtBMM，即，解得m=，此时M点坐标为（0，）综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得MAB是直角三角形符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质等重要知识点难点在
24、于第（3）问，所求的M点有5个（x轴上有3个，y轴上有2个），需要分情况讨论，不要遗漏3（2015枣庄,第25题10分）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标考点：二次函数综合题.专题：几何综合题；压轴题分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中
25、，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值（3）当PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解解答：解：（1）B（4，m）在直线y=x+2上，m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，解得，抛物线的解析式为y=2x28x+6（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n28n+6），PC=（n+2）（2n28n+6）
26、，=2n2+9n4，=2（n）2+，PC0，当n=时，线段PC最大且为（3）PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则APC=90由题意易知，PCy轴，APC=45，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则PAC=90如答图31，过点A（，）作ANx轴于点N，则ON=，AN=过点A作AM直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，AMN为等腰直角三角形，MN=AN=，OM=ON+MN=+=3，M（3，0）设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，直线AM的解析式为：y=x+3 又抛物线的解析式为：y=2x28x+6 联立式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）C（3，0），即点C、M
27、点重合当x=3时，y=x+2=5，P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则ACP=90y=2x28x+6=2（x2）22，抛物线的对称轴为直线x=2如答图32，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）当x=时，y=x+2=P2（，）点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，综上所述，PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识4（2015聊城）如图，在直角坐标系中，RtOAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3动点M从点A出发，以每秒1个单
28、位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动当两个动点运动了x秒（0x4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由【考点】相似形综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）由勾股定理求出OB，作NPOA于P，则NPAB，得出OPNOAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；（2）由三角形的面积公式得出S
29、是x的二次函数，即可得出S的最大值；（3）分两种情况：若OMN=90，则MNAB，由平行线得出OMNOAB，得出比例式，即可求出x的值；若ONM=90，则ONM=OAB，证出OMNOBA，得出比例式，求出x的值即可【解答】解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，在RtOAB中，由勾股定理得：OB=5，作NPOA于P，如图1所示：则NPAB，OPNOAB，即，解得：OP=x，PN=，点N的坐标是（x，）；（2）在OMN中，OM=4x，OM边上的高PN=，S=OMPN=（4x）=x2+x，S与x之间的函数表达式为S=x2+x（0x4），配方得：S=（x2）2+，0，S有最大值，当x=2时
30、，S有最大值，最大值是；（3）存在某一时刻，使OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：若OMN=90，如图2所示：则MNAB，此时OM=4x，ON=1.25x，MNAB，OMNOAB，即，解得：x=2；若ONM=90，如图3所示：则ONM=OAB，此时OM=4x，ON=1.25x，ONM=OAB，MON=BOA，OMNOBA，即，解得：x=；综上所述：x的值是2秒或秒【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形
31、相似才能得出结果类型三 探究平行四边形的存在性问题1（2013昆明）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x2）2+3，将A的
32、坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DMAN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADMN为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形NMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，将y=代入得：=x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN求出ON的长即可确定出N坐标【解答】解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA
33、=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=，则抛物线解析式为y=（x2）2+3=x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行四边形，DMAN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，N1（2，0），N2（6，0）；当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQx轴于点Q，过点
34、M作MPx轴于点P，可得ADQNMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，将yM=代入抛物线解析式得：=x2+3x，解得：xM=2或xM=2+，xN=xM3=1或1，N3（1，0），N4（1，0）综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（1，0），N4（1，0）【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题2.(2013年临沂压轴题)如图，抛物线经过三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)
35、点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.xyAOCB（第26题图）解析：解：（1）设抛物线的解析式为 ， xyAOCB（第26题图）PNMH 根据题意，得，解得抛物线的解析式为： (3分)（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点 即为所求.设直线BC的解析式为，由题意，得解得 直线BC的解析式为 (6分)抛物线的对称轴是，当时，点P的坐标是. (7分)（3）存在 (8分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，四边形ACNM是平行四边形，CNx
36、轴，点C与点N关于对称轴x=2对称，C点的坐标为，点N的坐标为 (11分)（II）当存在的点在x轴上方时，如图所示，作轴于点H，四边形是平行四边形，,RtCAO Rt,.点C的坐标为,即N点的纵坐标为，即解得点的坐标为和.综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为， (13分)3.（2014山东潍坊，第24题13分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（aO）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为
37、17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。考点：二次函数综合题分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；（2）设存在点K，使得四边形ABFC的面积为17，根据点K在抛物线y=x2+2x+3上设点K的坐标为：（x，x2+2x+3），根据S四边形ABKC=SAOC+S梯形ONKC+SBNK得到有关x的一元二次方程求出x即可.（3）将x=1代入抛物线解析式，求出y的值，确定出D坐标，将x=1代入直线BC解析式求出y的值，确定出E坐
38、标，求出DE长，将x=m代入抛物线解析式表示出F纵坐标，将x=m代入直线BC解析式表示出P纵坐标，两纵坐标相减表示出线段PQ，由DE与QP平行，要使四边形PEDQ为平行四边形，只需DE=PQ，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，检验即可解：(1)由抛物线经过点C(O，4)可得c=4, 对称轴x= =1，b=2a， 又抛物线过点A（一2，O）0=4a2b+c， 由 解得：a=, b=1 ,c=4 所以抛物线的解析式是y=x+x+4(2)假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF、OF过点F分别作FHx轴于H , FGy轴于G设点F的坐标为（t, t2+t+4），其中Ot4， 则FH=
39、t2 +t+4 FG=t, OBF=OB.FH=4（t2+4t+4）=一t2+2t+8 ,SOFC=OC.FC=4t=2tS四边形ABFCSAOC+SOBF +SOFC=4t2+2t+8+2t=t2+4t+12令一t2+4t+12 =17，即t24t+5=0，则=(一4)245=一40,方程t2 4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F (3)设直线BC的解析式为y=kx+b（kO），又过点B(4,0，), C(0,4)所以，解得：， 所以直线BC的解析式是y=一x+4由y=x2+4x+4=一（x一1)2+，得D（1，），又点E在直线BC上，则点E(1，3)，于是DE=一3= .若以D.E.P
40、.Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DEPQ，只须DE=PQ,设点P的坐标是（m，一m+4），则点Q的坐标是（m，一t2+m+4）当Om4时，PQ=（一t2+m+4）一（一m+4）=一m2+2m 由一m2+2m= ，解得：m=1或3当m=1时，线段PQ与DE重合,m=1舍去,m=3，此时P1 (3,1) 当m4时，PQ=（一m+4）一（一m2+m+4)= m22m,由m22m=，解得m=2，经检验适合题意，此时P2（2+，2一），P3（2一，2+）综上所述，满足条件的点P有三个，分别是P1 (3,1)，P2（2+，2 ），P3（2，2十）. 点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与
41、图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题4. （2015贵州省贵阳,第24题9分）如图，经过点C（0，4）的抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于A（2，0），B两点（1）a0，b24ac0（填“”或“”）；（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（1）根据抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，即可做出判断；（2）由抛物线的对称轴及A的坐标，确定出B的坐标，将A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出抛物线解析式；（3）存在，理由为：假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CEx轴，交抛物线于点E，过点E作EFAC，交x轴于点F，如图1所示；假设在抛物线上还存在点E，使得以A，C，F，E为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E作EFAC交x轴于点F，则四边形ACFE即为满足条件的平行四边形，可得AC=EF
