1、题一 压轴选择题 第六关 以抽象函数为载体考查函数奇偶性、周期性、对称性等性质为主的选择题【名师综述】抽象函数是高中数学的难点，也是近几年考试的热点和重点，尤其函数奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往使考生无从下手，本文从多方面例举其应用学-类型一 抽象函数的周期性典例1 【2019四川省棠湖中学期中考试】已知是定义在上的函数,且对任意都有 ,且满足，,则=A B C D【答案】D【解析】，函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，f（0）=0，f（1）=3，f（x+2）=f（2x）+4f（2）=f（x2）+4f（2），f（x+4）=f（x）+4f（2），f（x+8
2、）=f（x+4）+4f（2）=f（x），函数的周期为8，f（2019）=f（2528+3）=f（3），而f（2）=f（2）+4f（2），故f（2）=0，故f（3）=f（1）+4f（2）=f（1）=3，故选：D【名师指点】本题考查了函数的奇偶性与周期性，解题的关键是明确函数的周期类型四 奇偶性、对称性、周期性的结合.【举一反三】【陕西省西安市远东第一中学2019届高三10月月考】已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，则的值为()A1 B2 C2 D1【答案】A类型二 抽象函数的单调性典例2 【四川省成都市树德中学2019届高三11月阶段性测试】已知是定义在R上的偶函数，且有
3、，任意不等实数都有，则 、 、 的大小关系是（ ）A B C D【答案】B【解析】由，可得，故周期为2.因为对任意不等实数都有，即都有，所以在上单调递增。所以 ， ，因为是定义在R上的偶函数，所以 .由正弦函数性质可得，由余弦函数性质可得，故可得，而在上单调递增，来源:ZXXK所以，故选B.【名师指点】利用周期性将自变量变到同一个单调区间，进而利用单调性比较大小.【举一反三】已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】是偶函数，的图像关于对称，由得，解得，故选A学-类型三 抽象函数的零点问题典例3 【湖南省长郡中学2
4、019届高三上学期第一次月考】若定义在上的偶函数满足且时，则方程的零点个数是（ ）A个 B个 C个 D个【答案】C【解析】因为数满足，所以周期 当时，且为偶函数，所以函数图像如下图所示由图像可知，方程有四个零点所以选C【名师指点】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。【举一反三】甘肃省兰州市兰州第一中学2019届高三上学期期中考试已知函数是上的偶函数，且满足，在0,5上有且只有，则在2013,2013上的零点个数为（ ）A808 B806 C805 D804【答案】B【解析】f（5+x）=f（5x），来源:
5、ZXXK函数关于直线x=5对称，f（10+x）=f（x），函数f（x）是（，+）上的偶函数，f（x）=f（x）f（10+x）=f（x），即函数以10为周期在0，5上只有f（1）=0，在0，10上有两个零点2013=20110+3f（x）在0，2013上的零点的个数为403函数f（x）是（，+）上的偶函数，f（x）在2013，2013上的零点的个数为806故选：B类型四 抽象函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 典例4 【2018全国卷理科第11题】已知是定义域为的奇函数，满足若，则A B0 C2 D50【答案】C解法二 ： 由题意可设，作出的部分图象如图所示来源:Zxxk.Com来源:Zxxk.
6、Com由图可知，的一个周期为4，所以，所以，故选C 【名师指点】本题条件中的函数为抽象函数，给出了函数的性质，求函数值；解法一从函数性质入手，由奇偶性和对称性，推出了周期性从而完成求值；体现了数学抽象与逻辑推理能力；解法二结合题中的函数，联系，将抽象函数具体化，从而完成求解，体现了数学建模及数形结合思想。 来源:【举一反三】【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】已知函数满足，若函数的图象与函数图象的交点为，则（ ）A0 B C D【答案】B【解析】函数f（x）（xR）满足f，即（1+x）=f（1-x），则函数y=f（x）的图象关于x=1对称，与的图象均关于对称，函数y=f（x）的图象
7、与函数图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），也关于x=1对称，可知，故选B【精选名校模拟】1【山西省太原市第五中学2019届高三10月月考】已知函数是奇函数，且，若在上是增函数，的大小关系是（ ）A BC D【答案】D【解析】f（x+2）=f（x），函数f（x）是奇函数，f（x+2）=f（x）=f（x），函数f（x）关于x=1对称，且f（x+4）=f（x），函数是周期为4的周期数列f（x）在1，0上是增函数，f（x）在1，1上是增函数，f（x）在1，2上是减函数，f（）=f（4+）=f（）=f（），f（x）在1，2上是减函数，且1，f（1）f（）f（），即f（）f（）f（1），故选：D2
8、【2019山西省长治市第二中学模拟】已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数.，若方程在区间上有四个不同的根，则A-8 B-4 C8 D-16【答案】A【解析】f(x-8)=f(x-4)-4=-f(x-4)=-f(x)=f(x),所以函数是以8为周期的函数，函数是奇函数，且在0，2上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2（6）=-12，另两个交点的横坐标之和为22=4，所以x1+x2+x3+x4=8故答案为：A3【福建省厦门外国语学校2019届高三11月月考】定义域为的函数满足，若，且，则（）.A BC D与的大小不确定【答案】A【解析】由题意f（4
9、x）=f（x），可得出函数关于x=2对称又（x2）f（x）0，得x2时，导数为负，x2时导数为正，即函数在（，2）上是增函数，在（2，+）上是减函数又x1x2，且x1+x24，下进行讨论若2x1x2，显然有f（x1）f（x2）若x12x2，有x1+x24可得x14x2，故有f（x1）f（4x2）=f（x2）来源:综上讨论知，在所给的题设条件下总有f（x1）f（x2）故选：A来源:ZXXK4【重庆市第一中学2019届高三10月月考】已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】C5【安徽省肥东县高级中学2019届上学期高三8月调研】已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实
10、根之和为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意知即的图象关于点对称，函数的周期为2，则函数，在区间上的图象如图所示：由图形可知函数，在区间上的交点为，易知点的横坐标为-3，若设的横坐标为，则点的横坐标为-，所以方程在区间上的所有实数根之和为 故选C.6【2019河南省许汝平九校联盟联考】已知函数是奇函数，且与的图像的交点为，则( )A0 B6 C12 D18【答案】D【解析】，由此的图像关于点中心对称，是奇函数，由此，所以关于点中心对称，所以，故选D7. 【山东省泰安市2019届高三上学期期中】已知函数是偶函数，且函数的图象关于点成中心对称，当时，则A B C0 D2【答案】D【解析】根
11、据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为，则有，又由函数的图象关于点成中心对称，则，则有，即，变形可得，则函数是周期为8的周期函数，；故选D8【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试】已知函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则（ ）A45 B15 C10 D0【答案】A【解析】函数为定义域上的奇函数，则，关于点中心对称，那么关于点中心对称，由等差中项的性质和对称性可知：，故，由此 ，由题意：，若，则。故选A9【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试】已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，如果关于的方程有解，记所有解的和
12、为，则不可能为（ ）A B C D【答案】D【解析】作函数的图象，如图：观察图象，可得，若有解，则，有4解，；有3解，；或有2解，不可能为，故选D.10. 【天津市部分区2019年高三质量调查】已知函数的图象关于直线对称，且当时，设，则的大小关系为（ ）A B C D【答案】A【解析】函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移1个单位得到，则关于直线即轴对称，则函数是偶函数，当时，为减函数，当时为增函数， 即 则 ，即 当时为增函数， 即 故选A11【2017全国卷一理】函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是（）ABCD【答案】D12. 【2018届江西省六校高三上学期第五次联考理数试卷】已知函数是上的奇函数，当时为减函数，且，则=（）A. B. C. D. 【答案】A来源:ZXXK故选D.
