1、 专题二 压轴填空题 第二关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.类型一 可转化为二次函数的恒成立问题典例1【山西省太原市2019届高三上学期阶段性（期中)考试】已知函数=，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_；【答案】(0,1)【解析】函数f（x）=exex2x+1，xR；可设g（x）=exex2x，xR；则f（x）
2、=g（x）+1，且g（x）=exex+2x=（exex2x）=g（x），g（x）是定义域R上的奇函数；又g（x）=ex+ex20恒成立，g（x）是定义域R上的增函数；不等式f（x2+a）+f（2ax）2恒成立，化为g（x2+a）+g（2ax）+22恒成立，即g（x2+a）g（2ax）=g（2ax）恒成立，x2+a2ax恒成立，即x2+2ax+a0恒成立；=4a24a0，解得0a1，实数a的取值范围是（0，1）故答案为：（0，1）【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号去掉，转化为二次不等式恒成立问题，若实数范围内的二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理；若给定区间的二次不等式恒成立或有解问
3、题，可利用参变分离法或图象处理【举一反三】（2019昌吉教育共同体）若关于的不等式，在上恒成立,，则实数的最大值为（ ）A B C D 1【答案】B【解析】，令.，并代入不等式，则问题转化为不等式在上恒成立，即.类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题典例1 （2019湖北四市联考*构造函数）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为A B C D 【答案】D令,由可得,则在上单调递增，又由题意，则，即，故，.选D【名师指点】恒成立等价与恒成立，记，则，本题中由于有参数，需要分类讨论，利用导数求最值来源:Z,X,X,K【举一反三】设函数，若对所有都有，则实数的取值范围为_【答案】【解析】
4、令，则（）若，当时， 故在上为增函数，所以， 时， 即类型三 利用参变分离求恒成立问题典例2 （2019大庆模拟）已知函数，若对任意的且，都有，则实数的取值范围是( )A B C D 【答案】D【解析】根据题意，将x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1）变形可得f（x1）f（x2）（x1x2）0，所以函数f（x）为增函数或常数函数.当f（x）为增函数时，则f（x）=x-3kx-x ，所以3k ，h（x）= ，h（x）=0, h(x)为增函数, x , h(x) 1 3k ， k .【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，
5、按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集若按照参数讨论则取并集，是中档题不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“”形式，则只要求出的最大值，然后解即可【举一反三】【江西省新余市2018届高三第二次模拟考试数学（理）试题】设函数，对，不等式恒成立，则正数的取值范围为 . 【答案】类型四 利用图像法求恒成立问题典例3 （2018曲靖检测*数形结合）设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】f（x）=3xex，令y=kxk，f（x）=3ex（x+1），f（x）=3xex在（，1上是减函数，在（1，+）上是增函数，又y=kxk是恒过
6、点（1，0）的直线，作f（x）=3xex与y=kxk的图象如下：当直线y=kxk与f（x）=3xex相切时，设切点为（x，3xex），=3ex+3xex，则x，x=；令g（x）=3xexkx+k结合图象可知：，解得： 【名师指点】等价于在公共定义域区间内，函数的图像落在的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围【举一反三】【宁夏银川一中2019届高三第三次月考】函数在，上恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】当时，满足题意，当时，函数在上恒成立，即，令，则，令g(x)=则 所以g(x)在递增，因为g(0)=0,所以g(x)恒大于0，所以函数在上单
7、调递增，所以当时，函数，所以实数的取值范围是.【精选名校模拟】1已知曲线在点处的切线方程是，若恒成立，则实数的最大值为_【答案】.【解析】由题可得，则，因为 ，即恒成立，所以恒成立令，则，显然在上单调递增，且有唯一零点，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故实数的最大值为2【安徽六校教育研究会2019届高三第一次素质测试】已知函数，其中e为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数a的值为_.来源:Z*X*X*K【答案】【解析】令，令，故在上是减函数，上是增函数，故当时，有最小值，而，来源:（当且仅当，即时，等号成立）；故，若存在实数，使成立（当且仅当等号同时成立时，等号成立），故
8、，即，故答案为3已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_来源:Z.X.X.K【答案】【解析】函数的定义域为，恒成立,即等价于，令，则，令，则在上恒成立，在上单调递增， 来源:Z+X+X+K故当时，函数单调递减；来源:当时，函数单调递增，则，故，故答案为.4【陕西省西安市远东第一中学2019届高三10月月考】已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】若f（x）x2在（1，+）上恒成立，则等价为lnxax2在（1，+）上恒成立，即lnxx2a在（1，+）上恒成立，设h（x）=lnxx2，则h（x）=2x=，当x1时，h（x）0，即h（x）在1，+）上为减函数，则当x1
9、时，h（x）h（1）=12=1，则a1，故答案为： 5【四川省自贡市普高2019届第一次诊断性考试】函数存在唯一的零点，且 ，则实数的取值范围是_来源:ZXXK【答案】【解析】（i）当 时， ，令 ，解得 ，函数有两个零点，舍去（ii）当 时， ，令，解得x=0或 当a0时，0，当x或x0，f（x）0，此时函数f（x）单调递减；当0x-时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增故x=是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点函数f（x）=ax3+3x2-1存在唯一的零点x0，且x00，则 即a24得a2（舍）或a-2当a0时0，当x或x0时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增；当x0
10、时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减x=是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点f（0）=-10，函数f（x）在（0，+）上存在一个零点，此时不满足条件综上可得：实数a的取值范围是（-，-2）故答案为：（-，-2） 6【四川省绵阳市江油中学2019届高三9月月考】已知函数，(e是自然对数的底数)，对任意的R，存在，有，则的取值范围为_.【答案】【解析】对任意的x1R，存在x2，2，有f（x1）g（x2），故f（x）maxg（x）max，f（x）=，（x0），令f（x）0，解得：0xe，令f（x）0，解得：xe，故f（x）在（0，e）递增，在（e，+）递减，故f（x）max=f（
11、e）=，g（x）=2ex+a，a0时，g（x）0，g（x）在，2递减，g（x）max=g（）=e+a，解得：a+（舍），a0时，令g（x）=0，解得：x=，（i）即a时，g（x）在，2递减，结合，不合题意，舍，（ii）2即a4e时，g（x）在，）递增，在（，2递减，故g（x）max=g（）=，解得：a2；（iii）2即a4e时，g（x）在，2递增，g（x）max=g（2）=4e+2a，解得：a2e+，综上，a2，故答案为：2，+）7（2018江门调研*数形结合）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是_【答案】【解析】设，-网由题意知,存在唯一的整数使得在直线的下方，当时，当时，当
12、时，取最小值，当时，当时，直线恒过定点且斜率为，故且，解得, 8【山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试】若不等式在(0，+)上恒成立，则a的取值范围是_.【答案】，+)来源:Z_X_X_K【解析】设，则，(i)当a0时， ，则在(0，+)上单调递增，所以在(0，+)上恒成立，与已知不符，故a0不符合题意.(jj )当 a0 时，令， ，且，当2a1，即时， ，于是在 (0，+)上单调递减，所以，即在上成立.则f(x)在上单调递减，故f(x) f (0)=0在(0，+)上成立，符合题意.当02a1，即0a时， ， ，若，则， 在上单调递増；若在，则， 在上单调递减，又，则在上成立，即在上恒成
13、立，所以在上单调递增，则在上恒成立.与已知不符，故0a不符合题意.综上所述，a的取值范围，+).故答案为，+).学-9已知关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是_【答案】 【解析】 令 因此10（2019衡水中学调研*参变分离）已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为_【答案】【解析】，解得，解得，在递增，而，在恒成立，在恒成立，在递减，在递增，若存在实数使得不等式成立，只需即可，解得：11已知函数，其中为自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最大值为_【答案】即： ，整理可得： ，即恒成立，则原问题转化为求解的最大值.求导可得： ，令，则 ，令可得： ，当时， 单调递增，
14、当时， 单调递减，当时， 取得最大值： ，且： 时， ， ，据此可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，即函数的最大值为，综上可得： 的最大值为.12（2019赣州联考*参变分离）已知函数（x2），若恒成立，则整数k的最大值为_【答案】3【解析】f（x）恒成立，即h（x）=k即h（x）的最小值大于k而h（x）=，记g（x）=x3ln（x-1），（x2），则g（x）=0，g（x）在（2，+）上单调递增，又g（4）=1ln30，g（5）=22ln20，g（x）=0存在唯一实根a，且满足a（4，5），a-3=ln（a-1），当xa时，g（x）0，h（x）0，当2xa时，g（x）0，h（x）0，h（x）min=h（a）=a-1（3，4），故正整数k的最大值是3 13设，不等式对恒成立，则的取值范围_【答案】【解析】根据题意有，即，结合题中所给的角的范围，求得的取值范围是
